與人教社關于阻尼振動圖像的再討論

　　摘 要： 人教社阻尼振動的圖像中相鄰兩次同向到平衡位置所需時間顯著不相等，很多學生大惑不解，很多解釋牽強附會，文章通過科學探究證明人教社的阻尼振動圖像存在明顯的錯誤。
　　關鍵詞： 人教社 阻尼振動 圖像 周期
　　
　　下面是人民教育出版社關于阻尼振動圖像的論述：
　　“做簡諧運動的物體受到回復力，是振動系統內部的相互作用力。如果振動系統不受外力的作用，此時的振動叫固有振動，其振動的頻率成為固有頻率。當系統受到阻力作用時，我們說振動受到了阻尼。系統克服阻尼的作用要做功，消耗機械能，因而振幅減小，最后停下來。這種振幅減小的振動，叫阻尼振動。圖1是阻尼振動的圖像。”
　　從阻尼振動的圖像可以看出阻尼振動相鄰兩次同向運動到平衡位置所需時間是越來越短，特別是最后相鄰兩次同向運動到平衡位置所用的時間比開始所用時間明顯偏短，這不難讓學生產生疑惑：
　　阻尼振動是否具有周期性？阻尼振動若有周期，其周期為何會變小？是不是人教社的阻尼振動圖像錯了？
　　為了搞清楚學生心目中的疑問，我們首先來看阻尼振動是否有周期的問題。
　　物體完成一次全振動所需的時間，叫做振動的周期。在周期的定義中存在全振動這個概念，全振動是指做機械振動的物體從某個點出發，等到下次回到該點時的運動狀態和開始振動時的運動狀態完全相同，且所用時間最短。所以能重復原來的運動狀態（位移、速度、加速度等）的機械振動才是全振動，非等幅的阻尼振動不是全振動，所以它是沒有周期的。例如：大阻尼振動和臨界阻尼振動，阻尼比大于等于1，振子運動隨時間t按指數規律減小，并趨向平衡位置，故不具備振動性質，也就不具有周期。對于小阻尼振動，阻尼比小于1，振子運動規律是按指數規律衰減的振幅為時間t的函數的振動，稱衰減振動。不過cos（ω′t+φ）是周期變化的，它使得質點每連續兩次通過平衡位置并沿著相同方向運動所需的時間是一樣的，于是把cos（ω′t+φ）的周期叫做阻尼振動的周期用T′表示，與數學上通常理解的周期不同。
　　搞清了阻尼振動的周期，我們重點來看小阻尼振動的周期T′。
　　阻尼振動是否具有“等時性”，有兩種不同的說法。第一種說法認為具有“等時性”，理由是阻尼振動的振幅雖然在不斷減小，但可以看成是由很多個振幅不斷減小的簡諧運動的疊加，由于簡諧運動具有等時性，它的周期與振幅無關，所以阻尼振動和簡諧運動的相位是一致的，節奏也是相同的，所以具有“等時性”。第二種說法認為不具有“等時性”，理由是物體做阻尼振動時，由于機械能的損失。振子前后兩次通過同一點時，后一次的速度肯定比前一次的小。這樣，從平衡位置到達最大位移處的平均速度總比返回時的平均速度大，所以回來就變慢了，對應的時間也就長了。按這種推理，阻尼振動的振動節奏會變得越來越慢，最后停止下來，周期變為無窮大，所以不具有“等時性”。
　　下面我們來討論小阻尼振動的振幅和周期T′，以便來探究人民教育出版社關于阻尼振動圖像科學性。
　　為此，我們先來求簡諧運動振動方程。
　　根據牛頓第二定律，作簡諧振動的質點的微分方程寫成：
　　m=-kx
　　即：
　　+ωx=0
　　式中ω=，ω是簡諧振動的圓頻率。微分方程的解是：x=Acos（ωt+α）。
　　流體力學告訴我們，振子在流體中運動時所受阻力的大小和速度的大小成正比，由牛頓第二定律，得：
　　m=-kx-y。
　　兩邊除以m，得：
　　=-x-。
　　令ω=，β=，
　　ω為振動系統的固有圓頻率，β為阻尼系數，和振動系統的性質以及介質的性質有關。于是，方程可寫為：
　　=2β+ωx=0。
　　為了和高中教材討論的阻尼振動一致，我們討論的是阻力很小的阻尼振動，即β＜ω，由上式可求出振子的運動學方程為：
　　x=Aecos（ω′t+α），（ω′=）
　　A和a為待定常數，由初始條件決定。Ae表示隨時間衰減的振幅，cos（ω′t＋a）表示振動以ω′為圓頻率周期性變化，二因子相乘表示質點做運動范圍不斷縮小的往復運動。由于質點的運動狀態不可能每經過一定時間便完全重復出現，因此阻尼振動不是周期運動。不過，cos（ω′t＋a）是周期變化的，它保證了質點每連續兩次同向運動到平衡位置的時間間隔是相同的，可見“等時性”具有非常嚴格的條件。而且由于阻尼振動的周期T′=大于簡諧運動的固有周期T=，可見阻尼振動的節奏想對于簡諧振動來說變慢了。我們可以在阻尼很小的情況下，用單擺來驗證上述結論。
　　由以上分析可以知道，阻尼振動的周期T′是不變的，但比無阻尼振動的周期長了。上述第一種說法不完全正確，第二種說法是錯誤的。
　　由此得出結論：人教社所給的阻尼振動的圖像是在阻尼較小的情況下的振動圖像，這個圖像是不科學的。錯在：振子相鄰兩次同向運動到平衡位置應當需要相等的時間。這會給師生帶來不必要的誤會，有失科學課的初衷。
　　
　　參考文獻：
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　　［2］唐果南.普通高中課程標準實驗教材《教師用書》選修3—4［M］.北京：人民教育出版社，2008：15.
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”