推翻歌德巴赫猜想

　　1978年，已故著名作家徐遲先生的報告文學《歌德巴赫猜想》在引用數學王子高斯的名言“科學的皇帝是數學，數學的皇帝是數論”時談到，“自然科學的皇后是數學。數學的皇冠是數論。歌德巴赫猜想，則是皇冠上的明珠”。(《歌德巴赫猜想》，人民文學出版社1978版，P52)現在看來，歌德巴赫猜想這顆“明珠”是假的；因為如果能夠稱為“明珠”，那么無論如何它必須是一個真命題，然而歌德巴赫猜想不是，它只能是一個偽命題，一個終于不真的假命題，或許今天的“明珠”應該改為“黎曼猜想”。因為我堅信“黎曼猜想”是真命題。
　　
　　為什么說歌德巴赫猜想是偽命題?
　　
　　首先，我們來看一看什么是“歌德巴赫猜想”。
　　歌德巴赫是18世紀德國的一位數學家，1742年提出了一種關于數論問題的直觀的猜想。即：任何一個大于2的偶數，都將可以表示為一個素數與另一個素數相加之和，即所謂“1加1”的問題。與他同時代的大數學家歐拉也曾就這個“猜想”進行過“證明”，兩百多年來更是吸引了成千上萬數學家們的注意，包括被稱為數學王子的高斯。然而，全都無功而返。
　　18、19世紀，無聲無息；20世紀開始有了“進展”：1920年，挪威數學家布朗證明了“9加9”；1924年，數學家拉德馬哈爾證明了“7加7”；1932年，數學家愛斯斯爾曼證明了“6加6”；1938年，數學家布赫斯塔勃證明了“5加5”；1940年，他又證明了“4加4”；1948年，匈牙利數學家蘭恩易證明了“1加6”；1956年，數學家維諾格拉多夫證明了“3加3”；1958年，我國數學家王元證明了“2加3”；1962年，我國數學家潘承洞證明了“1加5”；1962年，我國數學家王元與潘承洞又證明了“1加4”；1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎都證明了“1加3”；1966年，我國數學家陳景潤證明了“1加2”。
　　這是迄今為止，全人類數學家們不斷“推進地”(有理由懷疑，不是“推進”了，而是完全走偏了)證明歌德巴赫猜想的一個大致的歷史過程。
　　到了21世紀的2010年11月13日的早晨，我突然發現，關于“1加1”的歌德巴赫“猜想”的問題，根本就不值得去“證明”。因為這個“猜想”并不是一個關于真理的命題，而是一個并非真理的偽命題、假命題。它之所以偽、假，在于它僅僅是一個既非永恒必然，也非永恒普遍的只能具有“特稱判斷”正確性的命題，而根本就不是一個真正能夠符合永恒必然性、普遍性，從而具有“全稱判斷”正確性的真命題。說白了，歌德巴赫猜想之中真正出問題的是“任何偶數”之中的“任何”(相當于“全稱”的“一切”)兩字。如果僅僅是“有一些”，甚或“有大量”，它都沒有問題；但是如果真是這樣，這個命題也顯然就沒有價值了。換言之，根本就不值得人們拼命地去“證明”它了。
　　
　　為什么會這樣呢?這得從什么是素數談起。
　　
　　眾所周知，自然數可以分為偶數和奇數，但也可以分為素數和合數。什么是素數呢?素數即只能被1和自身整除的數，例如2，3，5，7，11，13，17，19，等等等等。什么是合數呢?即可以被其他數整除的數，或可以被因數分解的數，例如4，6，9，12，14，15，16，18，20等等等等。比較奇特的是，1不被稱為素數，這只是定義的問題，無關大體。由上面所述可知，自然數之中，不是素數即是合數，沒有其他。通過上面所述，我們也可以知道，除了2之外，偶數都是合數；而素數除了2之外，其余必須是奇數，但奇數卻不必都是素數，例如9、15，等等。
　　我運用集合論的方法來討論自然數、偶數、奇數、合數、素數這五者之間的關系。我們把自然數、偶數、奇數、合數、素數全都看成是不同數字的集合，并運用z、O、T、H、s五個字母來分別表示自然數集合、偶數集合、奇數集合、合數集合和素數集合所具有的“勢”。什么是集合的“勢”?即集合中所含有的單位元素的可估算的個數，或可進行比較所設想的個數。
　　很顯然，它們之間具有如下的關系：
　　z≥H≥O=J>s
　　(1)
　　公式之中所表示的“大于”(>)，不是一般數學之中的“大于”，而是集合論中特有的“大于”。說白了，它表示的“大于”是有關于“無窮大”的數量級別的“大于”；與大于同時的“等于”，則表示可以具有某種確定的“一一對應”的“映射”或某種完全確定的“運算”(公式)關系。
　　眾所周知，自然數集合之中的整數的元素，顯然是“無窮”的，而其他集合之中的元素也同樣是“無窮”的。因為后面無論合數、偶數、奇數、素數集合，全都只是自然數集合的真子集，所以它們的集合的“勢”絕對都只會比自然數集合的“勢”(z)小，或如果具有其間“一一對應”的確定的“運算”關系的話，也可能成為“等于”。
　　合數集合的“勢”(H)大于偶數集合的“勢”(O)也是顯然的，因為偶數中除了2之外，全都是合數，而合數集合之中還包括部分非素數的奇數。
　　在自然數集合之中，偶數的個數等于奇數的個數，這是顯然的，所以有：
　　O=J
　　(2)
　　素數除了2之外，其余均屬于奇數，而奇數之中除了素數之外，還包含了大量的屬于奇數的合數，所以明顯有：
　　J>s
　　(3)
　　如同上述，很顯然，除了2之外，素數集合實際上是奇數集合的一個真子集，而且還可以更進一步地指出，奇數集合不僅是包含素數集合的集合，而且是包含了素數集合的所有冪集合的集合，即奇數集合不僅包含有單個素數組成的素數集合，還包含了雙素數、三素數、四素數……全素數相乘等等的冪集合。說白了，奇數集合是素數集合以及其所有冪集合的全集合。所以非常顯然，奇數集合的“勢”，的確是遠大于素數集合的“勢”，二者在有關“無窮大”的意義上是完全不可以相互比擬的。明確地說，如果素數集合趨向無窮大的話，那么與此同時，奇數集合將以無窮大的無窮大的乘方的方式趨向無窮大的無窮大；或者更明確地說，它們之間根本就不可能存在任何可能一一對應，以及一以多應的確定的映射關系，或任何可能明確的加和運算(公式)的關系。
　　也正是因此，并由于公式(2)，所以也具有下面的公式：
　　O>s
　　(4)
　　因為偶數集合的“勢”等于奇數集合的“勢”，所以偶數集合的“勢”也同樣遠遠大于素數集合的“勢”。
　　更普遍的還有，自然數集合的“勢”更同樣是遠遠大于素數集合的“勢”，如下面的公式所示：
　　z>s
　　(5)
　　這樣一來問題就尖銳地爆發出來了，同時也基本上可以獲得解決全部問題的最關鍵的途徑了。
　　歌德巴赫猜想指出：任何一個偶數，都可以由兩個素數之和來(與之一一對應，或一以多應地)相等。這從集合論的理論來說，即是偶數集合之中的任何一個元素，都將可以與素數集合中的兩個元素之和至少“一一對應”(所謂“至少”是指，也包括“一以多應”，例如一個偶數在通常的情況之下，很可能會有多個雙素數之和與之“對應”)。但是這可能嗎?事實上它絕對不會普遍地可能，不僅兩個素數之和不會普遍地可能，甚至任何有限的k個素數之和也同樣不會普遍地可能，因為偶數集合的“勢”，以及自然數集合的“勢”均遠遠大于素數集合的“勢”，所以它們的元素與素數集合的元素之間，將絕對不可能會具有任何完全確定的(單方向的或雙方向的)一一對應的，或一以多應的“映射”，或完全確定的“運算”(例如數個素數相加之和)的關系。
　　運用通常的語言來說，即是在愈來愈趨向“無窮大”的場合，所有的素數都將會被愈來愈大量的合數所沖散、所隔離，也即素數的密度將絕對地會變得愈來愈非常非常地稀疏，甚至不可避免地將愈來愈趨向于0，以至將絕對必然地會發生如下非常普遍的情形：
　　s(n)>ks(n-1)+1，其中k=2、3、……m
　　(6)
　　公式之中s(n)、s(n-1)分別表示第n和第n-1個素數，m、n均表示任意有限大的自然整數。
　　如果在上述公式之中取k=2成立，那么即可以明顯地看到，任何處于2s(n-1)與s(n)之間的偶數，就將絕對不可能會具有兩個素數之和能夠與之一一對應地，或一以多應地相等。這正是說明了歌德巴赫“猜想”的不可能存在的絕對的必然性。
　　另外，如果相應地取k=3、4、5，等等等等，上面的公式(6)也依然成立，那么也可以更一般地說，任何處于ks(n-1)與s(n)之間的自然數，也同樣將不可能會有三個、四個、五個，等等直到(奇數或偶數)k個素數之和與之一一對應地，或一以多應地相等。例如對于任何一個處于ks(n-1)與s(n)之間的奇數來說，就將不可能會具有3個、5個等等直到奇數k個素數之和能夠與之一一對應地或一以多應地相等；或對于任何一個處于1(s(n-1)與s(n)之間的偶數來說，就將不可能會具有2個、4個等等直到偶數k個素數之和能夠與之一一對應地或一以多應地相等。
　　
　　這樣一來，我們就完全地推翻了歌德巴赫猜想作為真理性規律存在的任何普遍、必然的可能性。
　　
　　由上述公式也可以一般地進行理解，素數在自然數軸上的分布密度，將隨著自然數的加大而逐漸地變得愈來愈稀疏，我們不妨做一個比喻，在全部自然數域，合數是“太平洋”，而素數僅僅是太平洋上非常有限的“小島”。或者還可以更進一步精確地指出，在自然數軸上，隨著自然數字的不斷地增大，合數所擁有的存在發生的概率，將愈來愈趨近于1，當然不會等于1；而素數所擁有的存在發生的概率則將愈來愈趨近于0，當然也不會等于0，而只是變得愈來愈稀疏，亦正是因此，也將永遠都不會產生最大的素數。這種情形也可以通過下述的關于自然數、偶數、奇數、合數、素數在實軸上的分布密度的趨勢來加以說明。
　　很顯然，自然數在實數軸上的分布密度是均勻的1，而偶數和奇數的分布密度分別為1／2，而且它們的分布也是非常均勻的；然而合數和素數的分布則是非常不均勻的，合數的分布密度是從0不斷起伏地趨近于1，而完全相反，素數的分布密度則是從1不斷起伏地趨近于0。我們還可以在實數軸上具體地畫出上述各種數的分布密度變化的情形。
　　很顯然，由于素數在自然數軸上的分布，必然會按照自然數的無限地加大而變得愈來愈稀疏，所以上述的公式(6)就將會必然地在達到了某個巨大的數字之后獲得滿足，所以，歌德巴赫猜想，也將必然地不可能是一個能夠獲得“全稱判斷”的真命題。所以，歌德巴赫猜想作為一個“全稱判斷”的命題就將絕對必然地不可能是一個真命題，從而獲得了證明。
　　在上述的意義上，有理由認為相傳已久的素數定理，其實也只是一個非常粗糙的近似的定理，即Ⅱ(x)／(x／10g x)當x趨向無窮大時，并不是簡單地等于1，而是一定小于1，甚至最后有可能趨于0，但不會最終等于0；而且這個定理也在很大的程度上掩蓋了如下事實的真象：Ⅱ(x)是實數軸上離散地存在的小于x的素數(整數)的個數，而且它出現的離散的程度將一定會愈來愈變得巨大，到了最后，甚至長距離地不出現，而x／(logx)則是實數軸上連續存在的實數，關于這一點，讀者必須清醒地認識到。正是為此，我們必須進一步弄清楚，黎曼猜想如果是正確的話，它的可能獲得最后證明的真正的結果，這個結果對于進一步證偽歌德巴赫猜想將會是極有價值的。
　　曾在全世界最早證明了費馬大定理的我國著名的數學家蔣春暄先生，曾證明黎曼猜想是錯誤的。我看過了蔣春暄先生的證明，他的關于蔡塔函數不能直接等于零的證明是正確的，但卻不能因此而完全否定黎曼猜想。關于這一點我的看法完全不同：真正具有零點的應該是關于蔡塔函數的微分方程，而不是蔡塔函數本身(在這點上，關于黎曼猜想問題的描述者們，甚至包括黎曼本人，幾乎全都錯了)。我認為，只有在這個意義上，黎曼猜想才會是正確的，而且黎曼猜想確實是一個非常偉大的數學天才的構想。我以后將專門討論黎曼猜想的問題，并希望有可能真正破解黎曼猜想，以便充分地證明他偉大的正確的預見，而不僅僅是猜想。我深信，當黎曼猜想進一步獲得了證明之后，歌德巴赫猜想的問題也將會非常容易地被證偽。
　　因為歌德巴赫猜想必然不是一個真命題，所以歌德巴赫猜想不可能是數學皇冠上的真明珠，而只能是一顆長期以來未能獲得人們真正辨識的假明珠。
　　令人遺憾的是，如此一個非常明確的結論，竟然會在過去的260多年的漫長的歲月之中，蒙蔽了那么多偉大的數學家。他們為它付出了那么巨大的“證明”的努力，視之為世界數學難題。現在看來，如此的“證明”真是意義不太大，而且是浪費智力。這完全應該看成是260多年來人類整個數學界的一個巨大的迷誤，甚或是對過去的某些數學大天才的盲目的迷信。數學界的所謂歌德巴赫猜想問題，很有點類似物理學界的“永動機”問題。只不過，物理學界的永動機問題還不至于成為像這個猜想，在延續了長達兩百六十多年之后，人類仍然不能對之作出任何具有真實意義的辨識。
　　我今天斗膽推翻歌德巴赫猜想，并希望永遠終結這個猜想，從此完全回歸數學的真實。
　　另外，古希臘以來，西方的數學界就一直視“素數”為全部數學的“原子”，并從而認定正是“素數”組成了所有一切的數。其實，這是一個非常不符合邏輯的迷信，我今天不僅要推翻歌德巴赫猜想，還要進一步推翻“素數”是全部數學“原子”的更古老的希臘數學傳統的迷信。因為我認為，全部數學真正的“原子”，或“基本粒子”應該是。和±1，正是這三者，生成了全部數學的“萬物