案例與實驗教學(xué)法在大學(xué)數(shù)學(xué)通識課教學(xué)中的應(yīng)用

　　摘 要： 數(shù)學(xué)通識課是大學(xué)工科的公共基礎(chǔ)課，是培養(yǎng)學(xué)生思維、掌握數(shù)學(xué)基本理論和方法的重要課程。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)存在的一個最主要的問題就是理論與實踐聯(lián)系不夠密切。為改變這種狀況，本文采用“案例與實驗”相結(jié)合的方法，通過利用數(shù)學(xué)計算機(jī)軟件，做到實踐與理論有機(jī)結(jié)合，從而培養(yǎng)工科大學(xué)學(xué)生的實踐能力與創(chuàng)新能力。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)通識課 案例 數(shù)學(xué)實驗
　　
　　一、 引言
　　工科類數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)面向生產(chǎn)、管理、服務(wù)等第一線工作的高級技術(shù)應(yīng)用型人才，工科類數(shù)學(xué)教育與專業(yè)數(shù)學(xué)教育有著根本的區(qū)別，工科類教育強調(diào)在所有的教學(xué)過程中必須注重學(xué)生能力的培養(yǎng)［１］。數(shù)學(xué)通識課作為高等學(xué)校重要的基礎(chǔ)課程，對學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要的作用。這就要求數(shù)學(xué)教師在傳授數(shù)學(xué)知識的同時，更要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，適當(dāng)擴(kuò)大知識面，使他們在思維、認(rèn)識和學(xué)習(xí)方法上有根本的轉(zhuǎn)變。從目前大多教材與教法看，教學(xué)內(nèi)容仍然未脫離數(shù)學(xué)專業(yè)的模式，注重結(jié)論的推斷和理論方法的研究。導(dǎo)致許多學(xué)生不明白開設(shè)數(shù)學(xué)這門課的真正目的，不知道學(xué)數(shù)學(xué)有什么用，甚至在學(xué)完該課程后還不知道如何用學(xué)過的知識解決實際問題。所以，我們有必要對工科數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行改革研討。本文結(jié)合一般本科工科院校的教學(xué)實際情況，提出了案例與實驗教學(xué)法。案例教學(xué)和數(shù)學(xué)實驗相結(jié)合是一種新穎的教學(xué)法，它將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模與計算機(jī)應(yīng)用三者融為一體。將數(shù)學(xué)建模的案例恰當(dāng)?shù)厝谌氲綌?shù)學(xué)通識課教學(xué)中，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型，并且通過數(shù)學(xué)實驗使學(xué)生熟悉常用的數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的能力。
　　二、案例實驗教學(xué)的優(yōu)勢
　　案例實驗教學(xué)法［２］是以實際工作中遇到的問題為背景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、總結(jié)、分析與互相討論，通過數(shù)學(xué)的理論和方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)軟件和計算機(jī)的手段解決問題。即從一個實際問題出發(fā)，來討論分析如何解決這個問題。每個問題的解決基本上是通過“問題的提出→建立數(shù)學(xué)模型→分析研討→計算機(jī)處理→小結(jié)與進(jìn)一步思考”等幾個過程。
　　與傳統(tǒng)的教學(xué)法相比，案例實驗教學(xué)法有以下幾方面的優(yōu)勢。
　　（1）案例可以把抽象的原理、概念等具體化，把它們置于一定的實際情境中，學(xué)生可以清楚地認(rèn)識到這些原理、概念在實際生活中的用處和表現(xiàn)；
　　（2）案例實驗教學(xué)注重的是學(xué)生的創(chuàng)造能力與解決實際問題能力的培養(yǎng)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的個體的自主性，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握；
　　（3）案例實驗教學(xué)大大縮短了教學(xué)情境與實際生活情境的差距，還可以改變學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是紙上談兵的錯誤認(rèn)識。
　　三、案例實驗教學(xué)在數(shù)學(xué)通識課教學(xué)中的實踐
　　大學(xué)數(shù)學(xué)通識課由多門數(shù)學(xué)課程組成，它的涉及面很廣，教學(xué)內(nèi)容隨著學(xué)生的專業(yè)與方向不同而不同，案例選取時應(yīng)舍去部分?jǐn)?shù)學(xué)教材中純數(shù)學(xué)的例題，以激起學(xué)生的興趣和求知欲，強化他們的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高他們的專業(yè)能力。如：對機(jī)械學(xué)院的學(xué)生可引用圖解法和解析法設(shè)計盤形凸輪輪廓的例子。在講授函數(shù)的最值時，經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)可選取最小投入、最大收益、利潤等典型例題，有條件的話，還可以讓學(xué)生課外調(diào)查物品進(jìn)價、售價與銷售量的關(guān)系，尋找模擬函數(shù)，找出物品的最佳售價，等等。
　　我們在日常的教學(xué)中，將案例實驗教學(xué)法運用到《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》三門公共基礎(chǔ)課中，具體實施如下。
　　1?郾案例實驗教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
　　高等數(shù)學(xué)是最基礎(chǔ)并且是課時最多的一門課，這門課的內(nèi)容較多，課程時間也較長，所以在合理安排好課時的基礎(chǔ)上，融入精心選好的案例，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。比如在講解微分方程時，可以引入微分方程案例。
　　（1）問題。
　　傳染病高潮的來到是醫(yī)療衛(wèi)生部門所關(guān)注的，可以通過改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平推遲傳染病高潮的來到。因此，預(yù)測傳染病高潮的來到時刻十分必要，而預(yù)測此時刻的惟一方法就是根據(jù)實際問題建立方程，求解。
　　（2）問題分析與建立模型。
　　設(shè)時刻t的病人人數(shù)x（t）是連續(xù)的可微函數(shù)，并且每天每個病人有效接觸（足以使人致病的接觸）的人數(shù)為常數(shù)λ，考察t到t+Δt病人人數(shù)的增加，就有：
　　x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δ（t），再設(shè)t=0時有x個病人，即得微分方程=λx，x（0）=x。
　　（3）學(xué)生利用計算機(jī)計算，得出結(jié)論。
　　首先教師引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)了哪些數(shù)學(xué)軟件知識，哪種軟件適合求解微分方程。這里，教師很自然地利用啟發(fā)式強調(diào)個體自主活動，將學(xué)生引入到數(shù)學(xué)實驗中去。學(xué)生選擇了軟件Maple，運用數(shù)學(xué)軟件Maple判斷它是變量可分離方程，并且用Maple來求其通解和其滿足初始條件的解。具體過程如下：先定義方程，利用語句odel:diff（x（t），t）=λx;回車后Maple輸出的結(jié)果為odel:=（x（t））=λx，接下來調(diào)入Maple解微分方程的軟件包，判斷所給方程是否為變量可分離方程，其指令為with（DEools）;odeadvisor（odel）;回車后Maple的輸出結(jié)果為［-Separable］，這表明上方程是變量可分離的，利用下面的指令都可以求方程的通解，dsolve（odel，x（t））;，回車后Maple的輸出結(jié)果為x（t）=Ce，得到方程的顯式通解。將初始條件代入，得到方程的特解x（t）=xe。
　　（4）小結(jié)與進(jìn)一步思考。
　　在學(xué)生學(xué)完利用Maple軟件命令進(jìn)行數(shù)值計算之后，教師在知識間的聯(lián)系上做了細(xì)致扎實的引導(dǎo)工作，既便于學(xué)生長時間記憶，又能激活將要學(xué)習(xí)的相關(guān)的新知識。
　　分析結(jié)果表明，隨著時間t的增加，病人人數(shù)x（t）無限增長，這顯然是不符合實際的。因為每天每個病人有效接觸的人數(shù)為常數(shù)，傳染病傳播后期，病人有效接觸的人群中，健康人少，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在新的模型中要區(qū)別這兩種人。這就進(jìn)一步吸引學(xué)生去求解更為復(fù)雜的微分方程。
　　2?郾案例實驗教學(xué)法在線性代數(shù)中的應(yīng)用。
　　線性代數(shù)是一門高度抽象的學(xué)科，學(xué)生普遍反映比較難學(xué)，由于這門課的特點，我們認(rèn)為更有必要選擇一些案例應(yīng)用于教學(xué)，比如可用矩陣知識破譯密碼，預(yù)測動物繁殖，計算交通流量，求解投入產(chǎn)出問題，用向量的定義和計算及多步?jīng)Q策理論可以解決怎樣安全過河問題，等等，以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的熱情。
　　在線性代數(shù)課程中運用案例實驗教學(xué)法主要分為三步：第一步，講授基本概念、基本理論和基本計算方法，并布置課堂作業(yè)。第二步，上機(jī)實驗，用Matlab數(shù)學(xué)軟件求解本章的習(xí)題和課外做的習(xí)題，讓學(xué)生比較兩種方式做習(xí)題難易程度。一般計算機(jī)解題速度很快，而用筆解習(xí)題速度很慢。第三步，講授與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)建模案例，對每個案例進(jìn)行：（1）分析問題；（2）建立數(shù)學(xué)模型；（3）用計算機(jī)求解。講完案例后，再布置1-2大作業(yè)題讓學(xué)生自己模仿去做。例如：在講完矩陣和線性方程組的內(nèi)容后，我們講授“工資問題的設(shè)計”，“交通流量問題“具體案例，讓學(xué)生清楚地意識到我們的身邊所發(fā)生的事情常常要用到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能，在解決問題的過程中加強學(xué)生基礎(chǔ)實驗的訓(xùn)練。
　　3?郾案例實驗教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用。
　　概率統(tǒng)計是大學(xué)課程中的最重要的公共基礎(chǔ)課程之一，具有很強的應(yīng)用背景。我們結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用性較強的特點，在課堂教學(xué)中，還注意收集經(jīng)濟(jì)生活中的實例，并根據(jù)各章節(jié)的內(nèi)容選擇適當(dāng)?shù)陌咐?wù)于教學(xué)。比如：有趣的婚姻配對問題、生日問題、彩票的發(fā)行及購買問題、組合證券投資決策問題、平均值的質(zhì)量控制圖、教育經(jīng)費問題等應(yīng)用實例，通過這些實例的閱讀和講解，將理論教學(xué)與實際案例有機(jī)的結(jié)合起來，縮短了數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用的距離，使學(xué)生確實感到數(shù)學(xué)有用。例如在講解中心極限定理時，可以引入學(xué)生最熟悉的生活案例。
　　打開水問題：某學(xué)校有5000名學(xué)生，每天傍晚打開水的人較多，開水房經(jīng)常出現(xiàn)排長隊的現(xiàn)象，應(yīng)增加多少個水龍頭才能解決這種現(xiàn)象？
　　分析：首先讓學(xué)生統(tǒng)計開水房現(xiàn)有多少水龍頭個數(shù)，再調(diào)查每個學(xué)生在傍晚一般有多少時間占用一個水龍頭（如2%），最后分析發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生占用水龍頭是相互獨立的，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到中心極限定理，又考慮到每個人有兩種情況：占用水龍頭和不占用水龍頭，占用水龍頭的概率為0.02，所以學(xué)生是否占用水龍頭可以看作是一次獨立試驗。該問題就可以看作是n=5000的n重伯努利試驗，設(shè)用水龍頭學(xué)生數(shù)位x，x~B（5000，0.02），可以使用拉普拉斯中心極限定理及Matlab數(shù)學(xué)軟件解決此問題。
　　四、結(jié)語
　　總之，數(shù)學(xué)案例實驗教學(xué)法的實施無論從教學(xué)內(nèi)容，還是從教學(xué)形式、教學(xué)方法和手段上講，都是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的一種發(fā)展和補充，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加開放和更具有活力，增強了數(shù)學(xué)教學(xué)的時代感。它也必將對數(shù)學(xué)教育改革起著積極的促進(jìn)作用。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　基金項目：淮陰工學(xué)院教育教學(xué)研究項目［2009］76號（JYC200929）。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”