微元法在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用題型分析

　　摘 要： 本文針對(duì)目前江蘇高考中電磁感應(yīng)中微元法的應(yīng)用進(jìn)行了深入淺出的分析。首先對(duì)微元法的定義和步驟作簡(jiǎn)要的分析。然后把電磁感應(yīng)中出現(xiàn)的題目作了簡(jiǎn)要的分類(lèi)：（1）導(dǎo)體棒所受的合力為單一安培阻力。（2）安培阻力與物體速度成正比，導(dǎo)體在受到安培力的作用下和一個(gè)恒定外力的作用下做變加速運(yùn)動(dòng)。（3）導(dǎo)體棒由于切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培阻力作用做變加速運(yùn)動(dòng)，安培力與速度的不成正比。對(duì)每種題型作了詳盡的分析，并且得出了更易于學(xué)生接受的推論。此方法已經(jīng)在教學(xué)實(shí)踐中加以應(yīng)用，并收到了良好的效果。
　　關(guān)鍵詞： 微元法 電磁感應(yīng) 應(yīng)用
　　
　　一、背景
　　微元法是中學(xué)物理中的一種重要的思想方法。從近幾年的江蘇省的高考試題來(lái)看多次出現(xiàn)應(yīng)用微元法解決電磁感應(yīng)的題目，如2006年最后一題，2007年最后第二題，2008年的最后一題，2009年最后一題。說(shuō)明在江蘇高考中微元法占有相當(dāng)重要的地位。在大學(xué)普通物理中，許多問(wèn)題的求解都要用到“微元法”的思想。因此微元法非常重要。我在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)微元法的理解不夠深入。學(xué)生對(duì)微元法什么時(shí)候用，為什么要用，怎樣用微元法往往是一知半解，在考試中亂用一氣。在電磁感應(yīng)與力學(xué)綜合題中，導(dǎo)棒在磁場(chǎng)中切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而產(chǎn)生感應(yīng)電流。導(dǎo)棒中的感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中受到了安培力的作用。而安培力與物體的速度有關(guān)，安培力是變力，進(jìn)而使導(dǎo)棒做變加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)求導(dǎo)棒在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移，或發(fā)生一定位移時(shí)需要的時(shí)間，由于導(dǎo)棒發(fā)生變加速運(yùn)動(dòng)，不能應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求解，這為微元法的應(yīng)用提供了非常好的素材。因此本文借助于電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題的素材來(lái)研究微元法的應(yīng)用。本文主要討論兩個(gè)方面：一是怎樣引導(dǎo)利用微元法來(lái)解題；二是就電磁感應(yīng)中利用微元法解答的幾種題型作初步的探討。
　　二、微元法的定義
　　微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的。這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而起到鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。
　　三、微元法的解題步驟
　　1.分割取對(duì)象。選取微元用以量化元事物或元過(guò)程；微元可以是一小段線(xiàn)段、圓弧，一小塊面積，一個(gè)小體積、小質(zhì)量，一小段時(shí)間……但應(yīng)具有整體對(duì)象的基本特征。
　　2.近似用規(guī)律。視元事物或元過(guò)程為恒定，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對(duì)應(yīng)的微元表達(dá)式。
　　3.取極限求和。在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)施以疊加演算，進(jìn)而求得待求量。
　　四、微元法在電磁感應(yīng)解題中的應(yīng)用
　　【題型一】:導(dǎo)體棒所受的合力為單一安培阻力，安培阻力與物體速度成正比
　　例1.如圖1，水平放置的導(dǎo)體電阻為R，R與兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，其間有垂直導(dǎo)軌平面的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。導(dǎo)軌上有一導(dǎo)體棒ab質(zhì)量為m以初速度v向右運(yùn)動(dòng)。
　　①導(dǎo)體棒將做什么運(yùn)動(dòng)？
　　②請(qǐng)描繪出運(yùn)動(dòng)的v-t圖像。
　　③能否求出這個(gè)過(guò)程的總位移呢？
　　【分析】教師引導(dǎo)學(xué)生分析導(dǎo)體棒在安培阻力的作用下做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)。繪出速度時(shí)間圖像，如圖2所示。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不知道，導(dǎo)棒的速度隨時(shí)間作非均勻的變化。不知道怎樣求位移。教師讓學(xué)生意識(shí)到整體來(lái)求位移無(wú)法下手，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果導(dǎo)棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，怎樣求導(dǎo)棒的位移呢？學(xué)生會(huì)想到用勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式。然后引導(dǎo)學(xué)生回憶勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式怎樣推導(dǎo)出現(xiàn)來(lái)的，學(xué)生能回憶起把物體的運(yùn)動(dòng)分為幾個(gè)小段，用每一段的時(shí)間乘以每一段開(kāi)始時(shí)的瞬時(shí)速度，然后用這些乘積求和就代表了物體的位移。但是分的段數(shù)越少，誤差越大。當(dāng)把段數(shù)分得足夠多，每一段時(shí)間足夠小時(shí)，這些乘積之和就是勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移。可以看到，實(shí)質(zhì)上上述分析過(guò)程用到了微元法中間的分割取對(duì)象——把宏觀(guān)時(shí)間分割為微觀(guān)時(shí)間，近似用規(guī)律——每一個(gè)微觀(guān)時(shí)間內(nèi)的位移等于相應(yīng)的微觀(guān)時(shí)間與相應(yīng)的速度乘積，取極限求和——把所有的微觀(guān)乘積求和即為勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移。但是在真正求勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)，由于速度隨時(shí)間作線(xiàn)性變化，梯形面積可用幾何方法直接求得，問(wèn)題得到解決。但此題的曲邊三角形的面積不好直接求。因此必須利用物理規(guī)律定量寫(xiě)出微小時(shí)間內(nèi)位移的表達(dá)式。通過(guò)剛才的引導(dǎo)，學(xué)生意識(shí)到由于速度的不均勻變化不能整體地求出位移，應(yīng)當(dāng)類(lèi)比勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移公式的推導(dǎo)，先把整個(gè)過(guò)程分為無(wú)數(shù)個(gè)微小的過(guò)程，即微元法的第一步。還應(yīng)該使學(xué)生認(rèn)識(shí)到每一微小的時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒受到的合外力都只是安培力，只不過(guò)在不同的微小的時(shí)間段內(nèi)導(dǎo)體棒受到的安培力的大小不同而已，也就是在每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的。我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后求出相應(yīng)元過(guò)程所對(duì)應(yīng)的元位移。最后把所有的元位移求和，就得到結(jié)果。
　　【解答】1.分割取對(duì)象
　　從t時(shí)刻到t+Δt取一元過(guò)程，Δt極小，由于元過(guò)程對(duì)應(yīng)的時(shí)間很短，可以把這一過(guò)程看作是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則在這一元過(guò)程的元位移Δx=vΔt，設(shè)vi為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，a是該元過(guò)程的加速度。
　　2.近似用規(guī)律
　　根據(jù)牛頓第二定律：-=ma…①，得：-=m…②，化簡(jiǎn)得-vΔt=mΔt…③.
　　3.取極限求和
　　-∑vΔt=∑mΔv…④，-∑vΔt=m∑Δv…⑤，-∑Δx=m∑Δv…⑥，-x=m（v-v）…⑦.由于導(dǎo)棒的末速度為零，則上式可以化為x=mv…⑧，最后得到結(jié)果x=…⑨
　　【推論1】由上面的推導(dǎo)過(guò)程中的第⑦式，我們可以看到導(dǎo)體棒所受的合力為單一安培阻力。安培阻力與物體速度成正比，如果某在一宏觀(guān)過(guò)程中用v來(lái)代表初速度，用來(lái)v代表末速度，用x來(lái)代表位移，只要知道（v，v，x）中的任意兩個(gè)物理量就可以利用微元法求得第三個(gè)物理量。我們可以把第⑦式變形為-x=mΔv…⑦*，還可以看出導(dǎo)棒每發(fā)生相同的位移x，則速度的改變量Δv是相同的。我們來(lái)看下面一題。
　　【推論應(yīng)用1】（2007年江蘇高考題）如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1T，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻R＝0.1Ω的正方形線(xiàn)框MNOP以v=7m/s的初速?gòu)淖髠?cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求：
　　（1）線(xiàn)框ＭＮ邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小F。
　　（2）線(xiàn)框從開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q。
　　（3）線(xiàn)框能穿過(guò)的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n。
　　【分析】由于本文只研究微元法解題，因此我們只討論第三問(wèn)。
　　線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)在水平方向上只受安培阻力的的作用，使線(xiàn)框在水平方向的速度減小，而在線(xiàn)框全部進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量不發(fā)生變化，沒(méi)有感應(yīng)電流，沒(méi)有安培阻力，線(xiàn)框在水平方向上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。所以線(xiàn)框在穿過(guò)每一個(gè)條形磁場(chǎng)過(guò)程中，有安培力存在時(shí)發(fā)生的位移為2l，磁感應(yīng)強(qiáng)度B和導(dǎo)棒有效的切割長(zhǎng)度L及回路的電阻R不變，則每穿過(guò)一個(gè)條形磁場(chǎng)線(xiàn)框的水平速度的減少量為定值。如果計(jì)算出每穿過(guò)一條形磁場(chǎng)的速度變化量就可以求出通過(guò)完整磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n。
　　
　　【解答】只有在線(xiàn)框進(jìn)入和穿出條形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，線(xiàn)框部分進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域x時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Blv…①，感應(yīng)電流I=E/R…②，安培力F=BIl…③。解得：F=…④。在t-t+Δt時(shí)間內(nèi)，由牛頓第二定律-F=m…⑤，求和∑vΔt=∑Δx=m（v-v）…⑥，穿過(guò)一條形磁場(chǎng)的有效位移為2l，代入上式求得每穿過(guò)條形磁場(chǎng)速度的變化量Δv===1.6m…⑦，穿過(guò)的條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)為n==4.4…⑧，可穿過(guò)4個(gè)完整的條形磁場(chǎng)區(qū)域。
　　【題型二】導(dǎo)體在受到安培力（安培阻力與物體速度成正比）的作用下和一個(gè)恒定外力的作用下作變加速運(yùn)動(dòng)。
　　例2.如圖，水平放置的導(dǎo)體電阻為R，R與兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，其間有垂直導(dǎo)軌平面的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。導(dǎo)軌上有一導(dǎo)體棒ab質(zhì)量為m受到大小為F的恒力作用從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)。
　　①導(dǎo)體棒將做什么運(yùn)動(dòng)？
　　②請(qǐng)描繪出運(yùn)動(dòng)的v-t圖像。
　　③末速度多大？
　　④若在t時(shí)刻，棒作勻速運(yùn)動(dòng)，求這段時(shí)間內(nèi)的總位移。
　　【分析】教師引導(dǎo)學(xué)生分析加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速運(yùn)動(dòng)，外力F與安培力平衡。描繪出運(yùn)動(dòng)的v-t圖像。由例一學(xué)生很容易想到用微元法來(lái)求導(dǎo)體棒在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的總位移。
　　【解答】1.分割取對(duì)象
　　從t時(shí)刻到t+Δt取一元過(guò)程，Δt極小，由于元過(guò)程對(duì)應(yīng)的時(shí)間很短，可以把這一過(guò)程看作是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則在這一元過(guò)程的元位移Δx=vΔt，設(shè)v為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，a是該元過(guò)程的加速度。
　　2.近似用規(guī)律
　　根據(jù)牛頓第二定律：F-=ma…①，得：F-=m…②，化簡(jiǎn)得FΔt-vΔt=mΔv…③。
　　3.取極限求和
　　∑FΔt-∑vΔt=∑mΔv…④，F(xiàn)∑Δt-∑vΔt=m∑Δv…⑤，F(xiàn)∑Δt-∑Δx=m∑Δv…⑥，F(xiàn)t-=m（v-v）…⑦。由于導(dǎo)棒的初速度為零，則上式可以化為:Ft-x=mv…⑧。由于在t時(shí)刻導(dǎo)棒已達(dá)到勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由安培力等于外力F可得F=…⑨，把⑨式代入⑧式得:x=-…⑩。
　　【推論2】由上面的推導(dǎo)過(guò)程中的第⑦式，我們可以看到導(dǎo)體在受到安培力（安培力僅是導(dǎo)體棒速度的函數(shù)）的作用下和一個(gè)恒定外力的作用下作變加速運(yùn)動(dòng)。如果某一宏觀(guān)過(guò)程中用v來(lái)代表初速度，用v來(lái)代表末速度，用x來(lái)代表位移，用t來(lái)代表運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。則可以利用微元法，只要知道（v，v，x，t）中的任意三個(gè)物理量就可以求得第四個(gè)物理量。
　　【推論應(yīng)用2】（2009江蘇高考物理）如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線(xiàn)框連接在一起組成“”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫(huà)出）。線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為d（d＜l），電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為g。
　　求：（1）裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中，線(xiàn)框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
　　（2）線(xiàn)框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t；
　　（3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線(xiàn)框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離xm。
　　【分析】此處我們只分析與微元法相關(guān)的第二問(wèn)。我們可以畫(huà)出如下圖所示的俯視圖，在線(xiàn)框通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中，也就是圖中的a位置運(yùn)動(dòng)到b位置的過(guò)程中，整個(gè)裝置在沿斜面方向受到沿斜面方面方向向下的恒力mgsinα和沿斜面向上的安培力F的作用做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。依據(jù)前面的推論，在這一個(gè)過(guò)程中待求量為時(shí)間t，必須要知道初速度v0末速度vt和位移x，由題意易知初速度為0，位移x=2d，只要求得線(xiàn)框離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度v就可以依據(jù)微元法求得線(xiàn)框通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間t，從線(xiàn)框離開(kāi)磁場(chǎng)到導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中由于穿過(guò)“正”型裝置的磁通量不發(fā)生變化，沒(méi)有電磁感應(yīng)現(xiàn)象產(chǎn)生，線(xiàn)框在沿斜面方向上只受重力的分力mgsinα作用作勻加速運(yùn)動(dòng)，至導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，“正”型裝置在斜面方向上除受重力的分力mgsinα作用外還受到沿斜面向上的安培力F=BIL作用作勻減速運(yùn)動(dòng)。從圖中的b到c過(guò)程可以利用動(dòng)能定理求得線(xiàn)框剛離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度v。
　　【解答】設(shè)線(xiàn)框剛離開(kāi)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d到C位置
　　由動(dòng)能定理mgsinα×2d-BIld=0-mv…①
　　感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bdv…②
　　感應(yīng)電流I′=E/R…③
　　安培力F′=BI′d…④
　　裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力F=mgsinα-F′…⑤
　　由牛頓第二定律，在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，有mgsinα-F′=m…⑥
　　則mgsinα∑Δt-∑Δx=m∑Δv…⑦，
　　mgtsinα-×2d=m（v-0）…⑧。
　　由⑧有v=gtsinα-…⑨。
　　把①代入⑨解得:t=…⑩。
　　【推論應(yīng)用3】（2008年江蘇省高考物理）如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)。場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d，間距為d。兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。（設(shè)重力加速度為g）
　　（1）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能△Ek。
　　（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同。求b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q。
　　（3）對(duì)于第（2）問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v。
　　【分析】此處我們討論第三問(wèn)，由題意分析可知，設(shè)導(dǎo)體棒a從圖9A所在位置運(yùn)動(dòng)到圖9B所在位置（即經(jīng)過(guò)第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域）的時(shí)間為t，導(dǎo)體棒a在第二個(gè)磁場(chǎng)內(nèi)受到沿斜面方向向下的重力的分力mgsinα（恒力）和安培力F=作用，作加速度a=加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)。與此同時(shí)在這一段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒b從圖9A所在位置運(yùn)動(dòng)到圖9B所在位置剛好經(jīng)過(guò)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域，導(dǎo)體棒b在這個(gè)過(guò)程中作加速度a=gsinα勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。由于a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同。導(dǎo)體棒a在第二段相同時(shí)間t內(nèi)在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)作加速度a=gsinα勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)從圖9B所在位置運(yùn)動(dòng)到達(dá)圖9C的位置。在相同的時(shí)間t內(nèi)導(dǎo)體棒b剛好經(jīng)過(guò)第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域從圖9B所在位置運(yùn)動(dòng)到達(dá)圖9C的位置。為了滿(mǎn)足兩棒a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同，那么兩棒在每次加速后最大速度v和減速后的最小速度v都相同，兩棒的速度—時(shí)間圖像如圖10所示。所以a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率與a穿出第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v相同。根據(jù)推論2，導(dǎo)體棒a在經(jīng)過(guò)第二磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，時(shí)間t不知道，初速度v不知道，末速度v是待求的物理量，除了位移x=d1是已知的。因此四個(gè)物理量中只有一個(gè)位移可知，其它三個(gè)量都是未知。因此需要找到關(guān)于三個(gè)未知量的三個(gè)方程才能解決問(wèn)題。
　　【解答】a導(dǎo)體棒在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)，
　　根據(jù)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律v-v=gtsinθ…①
　　且平均速度=d…②
　　a導(dǎo)體棒有磁場(chǎng)區(qū)域
　　棒a受到合力F=mgsinθ-BIl…③
　　
　　感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=Blv…④
　　感應(yīng)電流I=…⑤
　　解得：F=mgsinθ-v…⑥
　　根據(jù)牛頓第二定律，在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)
　　∑Δv=∑Δt…⑦
　　則有：∑Δv=∑［gsinθ-］Δt…⑧
　　解得：v-v=gtsinθ-…⑨
　　聯(lián)列①②⑨式，解得：
　　v=v=sinθ-。
　　【題型三】導(dǎo)體棒由于切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培阻力作用作變加速運(yùn)動(dòng)，安培力與速度不成正比。
　　例3.（2006年江蘇高考物理）頂角θ=45°的導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)。導(dǎo)軌處在方向豎直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v延導(dǎo)軌MON向右滑動(dòng)。導(dǎo)體棒的質(zhì)量為M，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b。導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過(guò)程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸。和t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處，求：
　　（1）t時(shí)刻流過(guò)導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I和電流方向。
　　（2）導(dǎo)體棒作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力F的表達(dá)式。
　　（3）導(dǎo)體棒在0-t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q。
　　（4）若在t時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x。
　　【分析】導(dǎo)體棒在切割過(guò)程中，導(dǎo)體棒的有效切割長(zhǎng)度l=vt與時(shí)間成正比，整個(gè)回路的電阻R＝（2x＋x）r=（2+）vtr與時(shí)間成正比。則感應(yīng)電流I==為定值。導(dǎo)棒受的安培力F=BIl=是有效切割長(zhǎng)度l和速度v的函數(shù)。當(dāng)t時(shí)刻將外力F撤去后，導(dǎo)棒在安培力作用下作變加速的減速運(yùn)動(dòng)。由于Δx=vΔt，所以lvΔt=lΔx=Δs。Δs是導(dǎo)體棒在Δt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒掃過(guò)的面積。
　　【解答】撤去外力時(shí)，設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取很短時(shí)間Δt或很短距離Δx，導(dǎo)體棒在Δt時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是Δs，導(dǎo)體棒掃過(guò)的總面積ΔS。
　　在t—t+Δt時(shí)間內(nèi)，由牛頓第二定律得:
　　-=m…①
　　-∑（lvΔt）=∑mΔv…②
　　-∑Δs=∑mΔv…③
　　ΔS=mv…④
　　導(dǎo)體棒掃過(guò)的總面積:ΔS==…⑤（x=vt），
　　由④⑤可得x＝+（vt）。
　　由上面的分析我們可以得到如下結(jié)論。當(dāng)導(dǎo)體棒滿(mǎn)足題型一所述的條件時(shí)，由微元法可推導(dǎo)得推論1：-x=m（v-v）…①和-x=mΔv…①*，由①可得題目的待求量為（v，v，x）中的一項(xiàng)，如例一是已知導(dǎo)棒的初速度與末速度由導(dǎo)棒的位移。由②可得題目的待求量可以是已知導(dǎo)棒（線(xiàn)圈）的位移求速度的變化量，進(jìn)而求得通過(guò)的條形磁場(chǎng)的個(gè)數(shù)。如推論應(yīng)用1。當(dāng)導(dǎo)體棒（線(xiàn)圈）滿(mǎn)足題型二所述條件時(shí)，由微元法可推導(dǎo)得推論2：Ft-x=m（v-v）…②。由②可得題目的待求量為（v，v，x，t）的一項(xiàng)。如例2中已知v，v，t，求x。推論應(yīng)用2中待求量是時(shí)間t，已知量為初速度和位移，還有末速度通過(guò)后的過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理求得。推論應(yīng)用3中的待求量是導(dǎo)棒的末速度v，但其它三量只有位移明顯可知。因此找到三個(gè)有關(guān)于v，v，t的關(guān)系式使問(wèn)題得于求解。從題型二可以看出關(guān)鍵要分析在變加速度過(guò)程中的（v，v，x，t）這四個(gè)物理量。哪個(gè)是待求量，然后找出其余三個(gè)物理量，利用微元法可以解題。當(dāng)導(dǎo)體棒滿(mǎn)足題型三，則設(shè)法用換元的方法，如例3把微元化為面積元，使問(wèn)題求解。當(dāng)然題目是千變?nèi)f化的，我們不只局限于分析。在此我只是通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析，使同學(xué)們能從宏觀(guān)上把握電磁感應(yīng)中微元法的應(yīng)用。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”