方法教學是思維發散的催化劑

　　摘 要： 方法教學是分析數學問題的形式結構、暴露探究思維過程的教學。 思維的發散性，是指一種不依常規尋求變異，從多角度、多方向、多層次去思考問題的思維形式。教學中從不同角度尋求解題的切入點；從不同知識點、不同知識層次尋找解題的入口；以一題多解，一題多變為追求目標；以滲透數學思想為教學的出發點；從條件、結論的等價命題考查問題；在演示“碰壁”的過程中培養思維的發散性。
　　關鍵詞： 方法教學 思維教學 思維的發散性
　　
　　方法教學應是分析數學問題的形式結構、暴露探究思維過程的教學。方法教學的中心是思維教學，它能激發學生濃厚的學習興趣，調動學生的積極性，提高教學效果，而思維的發散性又是思維教學的重要組成部分。我結合自己在數學教學中的體會談談培養學生思維發散性的幾點做法。
　　一、利用不同角度尋求切入點，培養思維的發散性
　　觀察題目是思維啟動的開始，觀察能導致發現。解數學題也有個從觀察到發現的過程，只有對問題中的數、式、形作認真的觀察，才有可能較快地獲得解題的切入點。
　　例1.在正三棱柱ABC-ABC中，若AB⊥BC，求證：AB⊥CA.
　　法1：若取AB、BB、BC的中點D、E、F，再取BA、AA、AC的中點D、E、F，易證△DEF≌△DEF（SSS），故有∠DEF=90°，知∠DEF=90°，從而AB⊥CA.
　　法2：如圖1，補一個正三棱柱，則AD∥BC，易證AB⊥平面ACD，∴AB⊥CA.
　　法3：如圖2，取CD=AC，補長方形CDDC，則AC∥CD，由BC=AC=CD知AB⊥BD，再有三垂線定理知AB⊥BD，從而AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，從而AB⊥CA.
　　點評：課堂教學中，教師從不同角度啟發學生思維，可活躍課堂氣氛，同時也可開闊學生的解題思路。
　　二、利用知識層次尋求切入點，培養思維的發散性
　　現在高考解答題不偏不怪，解答的入口較寬，這就對學生各方面的能力要求較高，對各知識點、各知識層次掌握也要較全面。若教學中對有些問題教師點明各知識點、各知識層次，深入解題，會產生各種思路。
　　例2.已知復數Z滿足式子|Z+-i|=1，求|Z|的最大值.
　　法1：從幾何意義（數形結合）易得|Z|的最大值=|OC|+r=3.
　　法2：∵|Z+-i|=1∴可設Z+-i=cosβ+isinβ.
　　法3:三角式，令Z=r（cosθ+isinθ），則r-4sin（θ-）+3=0.
　　法4：不等式，||Z|--i|≤|Z+-i|≤|Z|+|-i|=|Z|+2，∴||Z|-2|≤1，∴1≤|Z|≤3.
　　點評：從不同知識點、知識層次入口解題，不僅能起到全面復習知識的功效，而且能起到對知識點關聯的強化，提高分析問題、解決問題的能力。
　　三、利用多解多變尋求切入點，培養思維的發散性
　　一題多解訓練的最終目標是通過題目的多解訓練培養思維的發散性，尋求多種解題方法，并從中比較各種方法的優劣。這種“多解擇優”的訓練對打破思維定勢，克服消極作用有很大的意義。
　　這里的“一題多解”主要是指在不同的教學階段解決同一個問題的不同層次的方法。由于這多種解法在不同的層次上，它們往往表現越來越優，因而較高層次的解法可打破前幾層次解法形成的思維定勢。
　　例3.已知AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點O，則AC⊥BD，DO=BO.
　　這個命題證明隨著教學內容的擴展，有以下三種不同層次的方法：
　　法1：（教學“全等三角形判定”后）先證△ABD≌△ADC（SSS），再由△AOB≌△AOD（SAS）可得結論。
　　法2：（學了“等腰三角形性質”后）先證△ABC≌△ADC得∠1=∠2，再由等腰三角形的性質，結論可證。
　　法3：（教學“線段垂直平分線性質定理及逆定理”后）直接由條件知A、C兩點在BD的中垂線上，因而AC垂直平分BD，從而證得結論。
　　點評：教學中用多角度思考問題、改變題型等方法能充分拓展學生頭腦中的知識，所學的方法深刻化，并得到廣泛的應用，思維得到主動、全面的發展。
　　四、利用數學思想尋求切入點，培養思維的發散性
　　數學思想方法是數學知識的精髓，現在高考中十分重視并逐步深入考查數學思想方法。在教學中不斷滲透數學思想能培養學生思維的發散性。
　　例4.已知等差數列{a}中，s=100，s=10，求s.
　　法1：（一般化思想），問題轉化成已知s?p=q，s?q=p（p≠q），求s.
　　由通項公式易得s=-（p+q），∴s=-110.
　　法2：（整體思想），由題設知s，s-s，s-s…，s-s，s-s成等差數列，T=（s-s）+…+（s-s）+（s-s）+s=10s+d.
　　法3：（函數思想）數列是特殊的函數. ∴=×n+（a-）是n的一次函數.
　　法4：（簡單化思想），由數列性質=a+a=a+a=.
　　點評：在教學過程中有計劃、有目的地進行數學思想方法的滲透，使學生在接受知識的同時，也受到數學思想方法的熏陶和啟迪，教學效果將有明顯提高。
　　五、利用等價命題尋求切入點，培養思維的發散性
　　例5.設z是虛數，且w=z+∈R且-1＜w＜2，u=，求證：u是純虛數.
　　法1：直接法，設z=a+bi（b≠0），由z+∈R得a+b=1，∴u==…=-是純虛數.
　　法2：u是純虛數等價于u+=0且u≠0（∵z≠1）也等價于u是負數.
　　法3：由u=得z=，而|z|=1，∴|u-1|=|u+1|，又顯然u≠0，故u是純虛數.
　　點評：從條件或結論的等價命題出發考查問題，不僅拓寬了學生的知識面，而且使知識得到了更進一步強化，思維得到了深化和發展。
　　六、利用演示碰壁尋求切入點，培養思維的發散性
　　課堂上演示“碰壁”，使教師的思維過程充分暴露在學生面前，讓學生看到老師是怎樣思考的，從嘗試“碰壁”中找到“簡潔”的解法。
　　例6.已知，圓x+y=4，點M（3，0），過M作弦AB，求S的最小值.
　　法1：引進直線AB的傾斜角表示S，運算量可想而知.
　　法2：O到AB的距離|OH|=3sinα及Rt△OAH中勾股定理，求半弦長，再表示S，運算略簡單些.
　　法3：S=|OA|=|OB|?sin∠AOB=8sin∠AOB，顯然∠AOB=90°時，S=8.
　　點評：數學課堂教學中，通過演示“碰壁”，選擇最佳途徑和方法解決問題，使學生能在旺盛的求知欲驅使下，主動積極地去探索、去創新，使良好的思維品質得到進一步鍛煉。
　　總之，在數學教學中，應以培養學生的數學素質為出發點，教師從不同角度啟發學生思維，可活躍課堂氣氛，同時也開闊學生的解題思路。從不同知識點、知識層次入口解題，能起到全面復習知識的功效，而且能起到對知識點關聯的強化，提高分析問題、解決問題的能力。用多角度思考問題、改變題型等方法能充分拓展學生頭腦中的知識，使所學的方法深刻化，并得到廣泛的應用，思維得到主動、全面的發展。有計劃、有目的地進行數學思想方法的滲透，使學生在接受知識的同時，也受到數學思想方法的熏陶和啟迪，教學效果將有明顯的提高。從條件或結論的等價命題出發考查問題，不僅拓寬了學生的知識面，而且使知識得到了更進一步強化，思維得到了深化和發展。通過演示“碰壁”，選擇最佳途徑和方法解決問題，使學生能在旺盛的求知欲驅使下，主動積極地去探索、去創新，使良好的思維品質得到進一步鍛煉。一句話：以方法教學為中心的課堂教學，能較好地培養學生思維的發散性。
　　
　　參考文獻：
　　［1］張乃達.數學思維教育學.江蘇教育出版社，1990.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”