在數學活動中提升學生的思維能力

　　摘 要： 數學教學的本質就是思維的過程，而這一本質只有在數學活動中可以得以充分體現，因此數學課堂就是數學+活動。我們要把課堂變為學生學習活動的場所，組織數學活動，激活學生思維，讓學生自主地參與生動、活潑的數學教學活動，靈活運用數學知識，積極創新，使其個性、潛能得以充分開發，數學能力、數學思想得到充分的發展，思維能力得到全面提高。
　　關鍵詞： 數學活動 思維的自主性 思維靈活性 創新思維 邏輯思維
　　
　　曾有這樣一個故事：一個商人在翻越一座山時，遭遇了一個攔路搶劫的山匪。商人走投無路，便鉆進了一個山洞，山匪也進了山洞里。在洞的深處，商人未能逃過山匪的追逐……黑暗中他被山匪逮住了，身上所有的錢財，包括一把準備夜間照明用的火把，都被山匪擄去了。之后，兩人各自尋找洞的出口。這山洞縱橫交錯，兩人置身洞里，像置身于一個地下迷宮。山匪慶幸自己從商人那里搶來了火把，他把火把點著，借著火把的光亮在洞中行走。他能看清腳下石塊，能看清周圍的石壁。但走來走去，就是走不出這個洞。最終，他力竭而死。商人失去了火把，他在黑暗中摸索行走得十分艱辛，他不時碰壁，不時被石塊絆倒，跌得鼻青臉腫。但是，正是因為他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能夠敏銳地感受到洞口透來的微光，他迎著這縷微光摸索爬行，終于逃離了山洞。
　　由此想到我們的初中數學教學，教師給足學生以“火把”把知識正確地、全面地，甚至高密度地傳授給學生，僅僅如此，他們是否能夠走出“山洞”呢？有專家如是說：“當一個人把所學的知識都忘了以后，還保留下來的正是教師要教給學生的。”保留下來的是什么呢？就是能力，是思維素質。知識會隨時間的推移而遺忘，而科學的思維能力和分析解決問題的能力卻會長久地保留下來。
　　著名的數學教育家斯托利亞爾指出：“數學教學是數學思維活動的教學。”如何在課堂上組織數學活動，激活學生思維，實現共同發展的目標？我想只有在課堂上要讓學生自主地參與活動，通過讓學生動手做、動腦想、動口說，使學生在活動中發現問題、探索求新，靈活運用知識解決問題。下面我就自己在教學中的體會進行了一些探討。
　　一P6I4msaIC384lg/ls/Noxw==、組織數學活動，激活學生思維的自主性
　　教學中重視知識的形成過程的教學，能使學生在掌握知識的思維實踐中既獲得知識，又得到思維訓練。學生往往認為學習定義、定理、公式等只要記著就行了，對定理的證明，公式的推導很少能給予足夠的重視；教師也往往只重視讓學生把定義、定理、公式正確地、全面地接受下來，而不去探討它們的由來和實質，不去認真地、嚴格地對每一個定理加以證明，對每一個公式給予推導，忽略證明和推導的原因。這樣學生只會機械地記公式、套定理，而忽視運用的前提和條件。
　　例如：就拿數學概念教學來說，通常是教師給出概念，學生加以記憶，但學生往往對其本質屬性理解不夠，一知半解，更別提運用了。列夫托爾斯泰曾說：“知識，只有當它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識。”新理念就要求教師在概念教學中注重知識的生成，引導學生從已有的知識背景和活動經驗出發，提供大量操作、思考與交流的機會，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流與反思等過程，進而在增加感性認識的基礎上，幫助學生形成數學概念。我在進行《無理數的概念》教學時，課前準備一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長視為1）、計算器。要求：①學生利用這些工具剪拼出面積為2的正方形；②利用計算器探求的小數部分。考慮到本節課的特點和隨著學生年齡的增長，他們的思維水平也在不斷提高，為此我直接提出富有挑戰性的數學問題：“拼得的正方形的面積是多少？”“它的邊長是多少？”“估計的值在哪兩個整數之間？”“能用分數表示嗎？”引導學生進行數學實驗與探索，發展抽象思維能力。在探索了以上幾個問題的基礎上，學生真實體會到了面積為2的正方形的邊長不能用有理數來表示，但它確實存在，切身感受到除有理數外還有一類數——“無理數”。然而拼圖對學生來說易如反掌，通過動手操作，班級交流，全班一致認為最容易、最美觀的拼圖是：
　　因為已經學習了算術平方根的概念，學生馬上就說出了大正方形的邊長是。但接下去的“用計算器探求小數部分”就有點困難了。教師提示：（1）輸入大于1小于2的數，平方的結果比2大了，怎樣調整？結果比2小呢？（2）我們能否找到一個有限的小數，使得它的平方剛好等于2？（3）大家有沒有發現1.4142…出現循環，那你認為在省略號的背后，有沒有可能出現循環?從而引導學生體驗到：事實上，=1.4142…是一個無限的小數。
　　在動手操作活動實驗和展示結果的過程，學生增強了感性認識、培養了合作精神，并從中體驗了成功的喜悅，加深了對概念的理解。
　　二、組織數學活動，激活學生思維的靈活性
　　一個稍微用功一點的學生，在課堂上聽懂教師講的課并不難，仿照例題解幾道題也完全可以，但是要用學過的知識去解決一個新的問題就不是輕而易舉的了。故必須放棄“前提—結論”式的教學，而用以思維為主流，以鏈結式的學生的思路展開。
　　例如：探究數學規律是比較常見的數學問題，而數學規律的抽象性通常都有某種“直觀”的想法為背景。教師應通過活動，把這種“直觀”的背景顯現出來，幫助學生抓住其本質，了解它的變形和發展及與其它問題的聯系。傳統數學課堂教學壓縮了學習知識的思維過程，往往造成感知與概括之間的思維斷層，既無法保證教學質量，更不可能發展學生的學習策略。新理念提倡重視過程教學，在揭示知識生成規律上，讓學生自己動手實驗，自己去發現數學規律，從而理解更深刻。
　　案例：蘇科版初中數學七年級上冊教材51頁“做一做”（略有改變）：
　　1.一張紙的厚度為0.09mm，那么你的身高是紙的厚度的多少倍？
　　2.將這張紙按圖2—14的方法（圖略）連續對折6次，這時它的厚度是多少？
　　3.假設連續對折始終是可能的，那么對折多少次后，所得的厚度可以超過你的身高？先猜一猜，然后計算出實際答案。你的猜想符合實際問題嗎？我讓全班每四人一組，每人準備一張A4型號白紙。讓學生將手中的紙按要求對折，并記錄每一次對折后紙張的層數，計算出它的高度，尋找出數據變化的規律，并解決上述問題。結果問題1學生很快就解決了。解決問題2時，學生列出了這樣一個表格：
　　學生動手操作，找到規律，很快就解決了問題3。
　　總之，誘發學生思維的源頭就是課堂，在組織數學活動過程中，我們要激活學生的思維、思路和行為，鼓勵學生標新立異。只有這樣，才能真正學活知識、用活知識。
　　三、組織數學活動，激活學生的創新思維。
　　學生的創新思維往往來自與學習過程中的思維“偏差”和好奇心。學生在傳統的教學模式中，往往表現為隨著時間的推移，好奇心越來越弱，越來越順著老師講課的思維想問題，思維中的“偏差”越來越少，思維的亮點也越來越少。而數學活動恰恰是提供學生探索發現、嘗試錯誤和猜想檢驗的機會，只要教師善于發現學生的閃光點，善于捕捉學生思維“偏差”的契機，恰當引導，有時會收到意想不到的效果。
　　例如：在上一案例教學時，有一個學生問：“我第7次折就折不起來了，紙這么小，要折到人這么高，該怎么折？”馬上有很多學生也積極響應了這一疑問，也有學生說拿很大的紙就能折很多層。學生忽視了題中的“假設”，一個虛擬的問題變成了棘手的課堂突發事件。怎么辦？
　　我馬上讓學生再用練習本的紙做折紙實驗：四人分別用“（1）練習本大小的紙；（2）練習本一半大小的紙；（3）練習本四分之一大小的紙；（4）兩張練習本大小的紙重疊（看作練習本大小兩倍的紙已經對折了一次）”對折，看各自最多能對折多少次？
　　活動結果顯示：按題中的方法對折，不論紙張大小，第6次對折都能完成，小的紙張第7次對折就比較勉強，8次對折就難以完成了；大的紙可對折7次，第8次就難以完成，超過8次是不可能的。
　　我趁機提問：一張紙對折了7次后，厚度是原來的多少？而寬度又是原來的多少？
　　學生再次活動后得出：一張紙對折了7次后，厚度是原來的128倍，而寬度則是原來的，這樣就接近了可以對折的極限。
　　課堂活動后，我又布置了課外活動：找你認為很薄的紙和很大的紙，再做對折實驗，探究紙張對折的極限。
　　實踐證明：學生在思維“偏差”的引導下動手實驗，學到了教材上學不到的知識，使學生通過學數學而變得聰明起來。
　　四、組織數學活動，激活學生邏輯思維。
　　中學生學習數學的主要能力是邏輯思維能力，邏輯思維是一種有條件、有步驟、有根據、漸進式的思維方式，是借助于概念、判斷、推理等思維形式所進行的思考活動。因此，尤其是面臨中考和竟賽的學生的學習中，學生的邏輯思維能力的培養和提高尤為重要和緊迫。
　　要培養和提高學生的數學邏輯思維能力，就必須把學生組織到對所學內容的分析和綜合、比較和對照、抽象和概括、判斷和推理等思維的過程中來。在教學中要重視思維過程的組織。提供感觀材料，組織從感觀到理性的抽象概括。從具體的感觀材料向抽象的理性思考，是中學生邏輯思維的顯著特征、隨著學生對具體材料感知數量的增多、程度的增強，邏輯思維也逐漸加強。因此，在教學中教師必須為學生提供充分的感觀材料，并組織好他們對感觀材料從感知到抽象的活動過程，從而幫助他們建立新的概念。例如：教學科學記數法時，可讓學生觀察小數點移動的位數與10的n次方中n的關系，學生通過思考會發現小數點移動的位數正好是n的絕對值，應該向前移n為正，向后移n為負。這種抽象概括過程的展開，完全依賴于“觀察—思考”過程的精密組織。