甲型H1N1流感的傳播模型研究

　　摘 要： 本文以微分方程為理論基礎，綜合運用機理分析的一般原理，將人群分為三類：正常人（易受感染者）、確診患者和治愈免疫者，建立了轉化關系，研究了甲型H1N1流感傳播模型及其傳播規律，并對疫情的傳播時間和程度做出預測，預測疫情將于2009年11月和12月達到高峰期，2010年8月將會基本消除。但加強控制措施和早日研發出防疫藥品的舉措將會對疫情起到控制作用，可提早消除疫情。
　　關鍵詞： 甲型H1N1流感 傳播模型 日感染率 日治愈率
　　
　　甲型H1N1流感（原稱人感染豬流感）是一種由A型豬流感病毒引起的豬呼吸系統疾病，該病毒可在豬群中造成流感暴發。人可能通過接觸受感染的生豬或接觸被豬流感病毒感染的環境，或通過與感染豬流感病毒的人發生接觸而受到感染。人感染豬流感后的癥狀與普通人流感相似，包括發熱、咳嗽、喉嚨痛、身體疼痛、頭痛、發冷和疲勞等，有些還會出現腹瀉和嘔吐，重者會繼發肺炎和呼吸衰竭，甚至死亡。［１］
　　2009年4月23日，墨西哥發現第一例甲型H1N1流感病例，隨后迅速傳遍世界各大洲。2009年5月11日，我國出現首例甲型H1N1流感確診病例，隨后甲型H1N1流感確診病例急劇增加，形勢嚴峻。2010年8月10日，世界衛生組織宣布，甲型H1N1流感大流行已經結束，甲型H1N1病毒的傳播基本上接近尾聲。雖然世界衛生組織宣布甲型H1N1流感大流行結束，但這并不意味著甲型流感病毒已徹底消失。經驗表明，這種病毒今后表現將與季節性流感病毒類似，未來幾年內會繼續存在。世界衛生組織預計，甲型流感病例和地區性暴發仍可能繼續出現。至少在今后一段時間內，甲型H1N1病毒可能會繼續對較年輕人群造成比較嚴重的影響，在流感大流行時期被確認為高風險的群體（如孕婦、兒童、慢性病患者等）仍將面臨很高的感染風險。因此，研究甲型H1N1流感的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，探索制止甲型H1N1蔓延的手段有著重要的醫學意義和社會價值，也可以為將來可能發生的新病毒性傳染病的預防與控制提供參考。
　　1.問題的分析
　　甲型H1N1流感在我國蔓延，嚴重威脅著人民的身體健康與生命安全，給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響。因此，定量地研究甲型H1N1流感的傳播規律，為預測和控制甲型H1N1流感蔓延創造條件是非常重要的。建立甲型H1N1流感傳播的數學模型，恰恰可以預測一定地區、一定時期內的發病趨勢及程度wqXz42PH971L+QJx/JSGuT4YeV107OPJ3otogbReHWo=。因此，我們以我國為探討對象，通過從網站上獲得的大量數據，考查我國內地疫情變化。
　　考查中國內地疫情變化，在疾病傳播期間不考慮人口的出生率和死亡率，人口總數不變，即為常量。中國內地甲型H1N1流感疫情最初由國外歸來者攜帶而來，病例報告省市集中在航空、陸路口岸較多或對外交往頻繁、旅游資源豐富的省份，病例多為青壯年（30歲以下占70%以上）。參考2003年SARS（嚴重急性呼吸道綜合癥，俗稱非典型肺炎）傳播的情況，從中可知2003年SARS主要在廣州和北京蔓延，結合甲型H1N1流感的疫情情況進行考慮，這里不妨假設甲型H1N1流感也主要是在廣州和北京蔓延。由研究發現甲型H1N1流感的易感染人群大多為青壯年，而廣州和北京的總人口大約為2000萬，假設廣州和北京的青壯年占這兩個地區總人口的，即約為400萬人。據世界衛生組織統計，每年季節性流感流行會導致全球5%—15%的人口發生呼吸道感染，而內地自從2009年5月11日發現第一例病例以來就在全社會范圍內加強醫療衛生手段和控制預防措施，因此不妨假設甲型H1N1流感會導致廣州和北京這兩個地區5%的青壯年受到感染，所以保守估計在此傳染病系統的人數大約為N=20萬。考慮到我國甲型H1N1流感傳播的自身特點，把人群分為易感類（S類）、傳染類（I類）和移出類（R類）。
　　2.模型的假設
　　（1）健康者為尚未接觸到病毒不具免疫力的人，即易感者；
　　（2）甲型H1N1流感的傳播途徑都視為與病源的直接接觸，每個病人與健康者接觸時，都使健康者受感染變成病人；
　　（3）被H1N1感染后經治療康復的人群在甲型H1N1流感流行期不會被再次感染；
　　（4）病人被嚴格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用；
　　（5）從各大網站獲得的資料及相關數據真實可靠；
　　（6）不考慮人口的流動，僅僅在一個國家范圍內研究甲型H1N1流感疫情的發展過程；
　　（7）忽略在甲型H1N1流感疫情持續期內人口的自然出生率和自然死亡率，假定在這段時間內，總人數保持不變。
　　3.符號說明
　　S（t）：易感類人群占總人數的比例。
　　I（t）：傳染類人群占總人數的比例。
　　R（t）：移出類人群占總人數的比例。
　　λ：日感染率。
　　設每個患者每日感染健康者的平均人數為日感染率，記為λ，則：
　　λ=
　　μ：日治愈率。
　　每日被治愈的患者人數占其總數的比例為日治愈率，記為μ，則：
　　μ=
　　λ：平均日感染率。
　　μ：平均日治愈率。
　　σ：定義整個傳染期內每個患者有效接觸的平均人數為接觸數σ，σ=。
　　t：時間，以天為單位。
　　4.模型的建立
　　4.1傳播機理分析
　　把人群分為三類：第一類S類，稱為易感類，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可能被染上傳染病；第二類I類，稱為傳染類，該類成員已經染上傳染病，而且可以傳染給S類成員。第三類R類，稱為移出類，R類成員或者是I類成員被嚴格隔離、治愈或者死亡等。I類成員轉化為R類后，不具有傳染能力。在甲型H1N1流感蔓延期間，我國到10月份才出現死亡病例，因病死亡的情況極少，故此處不考慮死亡者。S（t）、I（t）、R（t）分別表示時刻上述3類成員占系統內人口總數的比例，且
　　S（t）+I（t）+R（t）=1（4.1-1）
　　4.2建立模型
　　由上述疾病傳播法則，我們來考慮單位時間內各類人群的變化情況。
　　Step1：單位時間內易感人群S的變化
　　易感者和發病者有效接觸后成為感染者，設每個發病者平均每天有效感染的易感者數為λS，NI個發病者平均每天能使λSNI個易感者成為傳染病確診患者。因此易感類人數的變化情況如下。
　　易感類人數的變化=-新感染病毒的人數
　　于是有：
　　=-λSI（4.2-1）
　　Step2：單位時間內確診患者人數的變化
　　每天有一部分人轉化為確診患者，同時還會有一部分原來的確診患者治愈出院或未治愈而死亡。因此確診患者數的變化情況如下。
　　確診患者數的變化=新增確診患者數－治愈者數
　　于是有：
　　=λSI-μI（4.2-2）
　　Step3：單位時間內治愈免疫者人數的變化
　　由于治愈后的患者會對該病毒具有免疫性，因此不會再次感染，也不會感染其他易感人群；另外由于部分未治愈而死亡者不會影響病毒的傳播，因此治愈者人數的變化情況如下。
　　治愈免疫者數的變化=新增治愈免疫者數
　　=μI（4.2-3）
　　因此考慮SIR傳染模型［２－３］，該模型的方程為
　　=λSI-μI=-λSII（0）=I，S（0）=S（4.2-4）
　　5.參數λ和μ的確定
　　5.1參數λ和μ的分析
　　甲型Ｈ１Ｎ１流感對我國而言是一種輸入性疾病。在我國還沒有出現甲型H1N1流感病例之前，黨中央、國務院就已經高度重視在墨西哥等國發生的人感染豬流感疫情的發展情況和我國的防范工作。在整個H1N1流感蔓延時期，我國始終全力做好醫療救治工作和采取強而有力的防控措施。因此，在H1N1流感持續期間，每天的日感染率和每天的日治愈率相差不會特別大。
　　
　　5.2求解參數λ和μ
　　衛生部門公布的疫情信息中，2009年6月16日到2009年7月7日這一段時間的數據是比較完整的。我們就用2009年6月16日到2009年7月7日這一段時間的數據來求和的值。
　　由公式λ=可以算出2009年6月16日到2009年7月7日這一段時間中每一天的日感染率，平均日感染率λ可由每天相應數據平均求得。由公式μ=可以算出2009年6月16日到2009年7月7日這一段時間中每一天的日治愈率，平均日治愈率μ可由每天相應數據平均求得。根據衛生部門公布的數據可求得λ=0.1734，μ=0.1373，則接觸數σ==1.2629。
　　6.模型的求解
　　6.1數值運算
　　由于在方程（4.2-4）中無法求出S（t）和I（t）的解析解，故用Matlab求其數值解。據中國衛生部公布的信息，2009年5月11日的確診病例累計為1，治愈出院累計為0，故：
　　S==0.999995（6.1-1）
　　I==0.000005（6.1-2）
　　而λ和μ的值也已經求出來了。運用上述計算得到的λ，μ，S，I，用Matlab軟件畫出I（t）、S（t）、I~S的圖形分別見圖5-1~圖5-3。
　　6.2相軌線分析［５］
　　由于方程（4.2-4）無法求出S（t）和I（t）的解析解，我們在圖形觀察的基礎上，利用相軌線討論解S（t），I（t）的性質：
　　I~S平面稱為相平面，相軌線在相平面的定義域（S，I）∈D為D={（S，I）|S≥0，I≥0，S+I≤1}，在方程（4.2-4）中消去dt并注意到接觸數σ的定義，可得：
　　=-1I|=I（6.2-1）
　　容易求出方程（6.2-1）的解為：
　　I=（S+I）-S+1n（6.2-2）
　　在定義域內，（6.2-2）式表示的曲線即為相軌線，如圖5-3所示。
　　由以上分析可知：
　　（1）不論初始條件S、I如何，患者人數終將消失，即I=0。從相軌線圖形上看，無論從哪一點出發，I（t）終將與S軸相交（t充分大）。
　　（2）最終未感染者的比例是S，在式（6.2-2）中令I=0，得到S是方程（S+I）-S+1n=0（6.2-3）
　　在（0，）內的根，在圖形上S是相軌線與S軸在（0，）內交點的橫坐標，此例中的S約為0.62。
　　（3）若S＞，則I（t）先增加，當S=時，I（t）達到最大值I=S+I-（1+1nσS）（6.2-4）
　　然后I（t）減小且趨于0，S（t）則單調減小至S；若S≤，則I（t）單調減小至0，S（t）單調減小至S。
　　可以看出，如果僅當患者比例I（t）有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么是一個閾值，當S＞（即σ）時傳染病就會蔓延。而減小傳染期接觸數σ，即提高閾值，使得S≤（即σ≤），傳染病就不會蔓延。
　　即使S＞，從式子（6.2-3）、式子（6.2-4）可以看出，σ減小時，S增加，I降低，也控制了蔓延的程度。
　　從另一方面看，σS=λS·是傳染期內的一個病人傳染的健康者的平均數，稱為交換數，其含義是一個病人被σS個健康者交換。所以當S≤，即σS≤1時，必有σS≤1。既然交換數不超過1，病人比例I（t）也絕不會增加，傳染病不會蔓延。
　　7.模型的結果分析
　　由以上所建立的模型分析甲型H1N1流感疫情的結果可知，預計疫情在2009年5月11日后的180天至230天達到峰值，即11、12月份疫情將達到最高峰，這和我國疫情的實際情況非常吻合；在450天后即約2010年8月基本消除，這與世界衛生組織宣布甲型H1N1流感大流行已經結束的時間相符，但事實上我國到2010年6月疫情就基本消除了。可見，我國衛生部針對甲型H1N1流感疫情的防控策略，特別是自2009年9月21號開始全國范圍內接種甲型H1N1流感疫苗，這些措施對疫情的控制起到了積極的作用。
　　由以上分析可知，要想控制傳染病的蔓延，有兩條途徑。
　　（1）提高，即要對病人進行隔離，減少病人與健康者的接觸，加強健康教育，正確引導輿論，廣泛開展愛國衛生運動，大力普及流感防控知識，提高全社會的防控意識，人們的衛生水平越高，日接觸率越低；提高醫療水平，對患者進行有效的治療，盡早研發出有效治療甲型H1N1流感的藥品，提高日治愈率。所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病的蔓延。
　　（2）降低S，可以通過預防接種使群體免疫的方法控制傳染病的傳播。忽略患者比例的初始值I，有S=1-R，于是傳染病不會蔓延的條件S≤可以表示為R≥1-，只要群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫者比例）R滿足上式，就可以有效制止傳染病的蔓延。
　　8.模型的評價和改進
　　該模型是以微分方程為基礎，根據甲型H1N1流感傳播的特點而建立的。模型簡單易懂，對甲型H1N1流感疫情的傳播時間和程度做出了預測。本文通過對收集到的數據的處理，得到了甲型H1N1流感傳播的平均日感染率λ和平均日治愈率μ，它們是2009年6月16日到2009年7月7日這一段時間的日感染率和日治愈率的平均值。但事實上λ和μ是隨時間變化的，可以通過對不同時刻日感染率和日治愈率進行曲線擬合，得到它們關于時間的函數λ（t）和μ（t），這樣就可以隨時間適當的調整λ和μ的值。此外雖然我們國家因甲型H1N1流感而死亡的人數不多，但如果在建立模型時能夠把因病死亡率也考慮進去，則我們可以根據模型的結論更好地預測甲型H1N1流感傳播高峰期的到來和甲型H1N1流感疫情的傳播時間。
　　
　　參考文獻：
　　［1］衛生部新聞辦公室.關于防控人感染豬流感病毒疫情的答問［DB］.中華人民共和國衛生部網站www.moh.gov.cn，2009，4，26.
　　［2］趙錫英，支建軍，萬芳新等.SARS疫情分析模型［J］.蘭州工業高等專科學校學報，2004，11，（3）：5-18.
　　［3］李偉.關于SARS病毒傳播的數學模型［J］.畢節師范高等專科學校學報，2004，22，（2）：46-52.
　　［4］衛生部新聞辦公室.衛生部甲型H1N1流感防控工作信息通報［DB］.中華人民共和國衛生部網站www.moh.gov.cn，2009，7，7.
　　［5］姜啟源.數學模型.北京：高等教育出版社，1999：110-120.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”