一維多球碰撞中的速度分配問題

　　摘 要： 本文從波動理論入手，得出了一維多球碰撞過程中的速度分配比例，這一比例由彈性球的楊氏模量和密度決定。常見的交換速度現象僅僅是一種特例，選擇合適的材料，可以在實驗中觀察到其他速度分配情況。
　　關鍵詞： 波動理論 一維多球碰撞 速度分配問題
　　
　　兩個彈性球發生一維正碰時，將交換速度。而當一個運動的直線正碰一排緊挨著的靜止彈性球時，人們往往想當然地認為它們將逐次碰撞而交換速度，其情形相當于兩個彈性球相互碰撞的重復，最終效果為入射球與最后一個球交換速度，其余彈性球保持靜止。盡管這一結論已經在牛頓擺中得到證實，但是得出“入射球與最后的被碰球交換速度”的結論過于勉強。
　　為了便于說明問題，下面我以三個彈性球的碰撞為例，對一維多球彈性碰撞問題展開討論。
　　1．理論計算
　　當球A與球B碰撞的過程中，球B與球C之間將不可避免地發生擠壓。如果以球A和球B組成的系統為研究對象，動量和能量將不再守恒，那么交換速度的結論也無法得出；如果把球A、球B和球C組成的系統為研究對象，動量和能量顯然守恒，但是兩個獨立的方程無法求解三個小球的末速度。
　　如果變換一下思路，從波動的角度來看，一維多球碰撞問題，其實就是彈力在彈性球之間的傳遞問題；一維多球碰撞過程，其實就是一列縱波的傳播過程。
　　考慮在一條直線的三個完全相同的彈性球，球的半徑為r，球A以某一速度v向右運動，球B和球C靜止（如圖1），在球A撞擊球B的短暫過程中，可以把球A看作波源，把球B和球C看作介質，球A對球B的撞擊情形將以一個恒定的速度向前方傳遞，這個速度就是縱波在彈性球中傳播的速度。
　　由波動理論可知，縱波在彈性介質中的波速決定于介質的彈性模量及其密度。對于固態介質，縱波的傳播速度與楊氏模量有關，其值為:v=，式中E為介質的楊氏模量，ρ為介質的密度。
　　如果把連續碰撞所對應的縱波抽象為振幅為A簡諧波，把球A與球B剛剛接觸的時刻記作計時起點，把球A與球B剛剛接觸時球A的位置記作坐標原點（如圖2），則在開始運動的很短一段時間內，球A的坐標方程為：
　　x=Asin（ωt）（1）
　　球A的速度方程為:
　　v′=vcos（ωt）（2）
　　球B開始振動的時刻為:
　　t=t-.
　　球B的坐標方程為：
　　x=2r+asin［ω（t-）］（3）
　　在球A和球B分離的瞬間，球A和球B之間的距離等于2r，即：
　　x-x=2r（4）
　　把（1）、（3）代入（4）式可得：
　　sin（ωt）-sin［ωt-ω）］=0
　　由和差化積公式可得：
　　2cos（ωt-ω）sin（ω）=0.
　　由于sin（ω）是一個與時間無關的常量，可以得到：
　　cos（ωt-ω）=0
　　即：
　　ωt=+ω（5）
　　把（05）式代入（02）式，可得彈性球A分離的速度為：
　　v′=-vsin（ω）（6）
　　以三個彈性球組成的系統為研究對象，由動量守恒定律可得：
　　mv=mv′+mv′+mv′（7）
　　由機械能守恒定律可得：
　　mv=mv′+mv′+mv′（8）
　　由（7）和（8）聯立求解可得，球B與球C分離后的速度為：
　　v′=
　　v′=（9）
　　考慮到碰撞結束以后，球B的速度不大于球C的速度，即v′≥v′，則：
　　v′=
　　v′=（10）
　　為了保證（10）式有實數解，必然有：
　　v-3v′+2vv′≥0存在，即：
　　v≥v′≥-v（11）
　　由（6）和（11）可得
　　0≥v′≥-v（12）
　　把（6）代入（10）式可得:
　　v′=-vsin（ω） （0≥v′≥-v）
　　v′=
　　v′=
　　上式可化簡為：
　　v′=-［sin（ω）］v （0≥v′≥-v）
　　v′=v
　　v′=v（13）
　　式中的v=，E為介質的楊氏模量，ρ為介質的密度.
　　2．討論
　　當彈性球的楊氏模量非常大時，縱波在彈性球中的傳播速度v=就非常大，代數式sin（ω）→0，上式可以簡化為v′=0、v′=0和v′=v，這就是我們在實驗中常常見到的交換速度的現象.
　　因為在常見的碰撞實驗中，彈性球多采用鋼球，以一般鋼球為例，E=200×10N/m，ρ=7.85×10kg/m，則作用力的傳播速度可由彈性體中縱波波速公式得出：v==5.04×10m/s.
　　這一速率與彈性球的直徑（通常約為d=3cm）相比實在是太大了，因此觀測到的實驗結果非常接近于v′=v′=0，v′=v的剛體極限情形.
　　當彈性球的楊氏模量非常小時，縱波在彈性球中的傳播速度v=就比較小，彈性球A的反彈速度v′→-v，此時三個彈性球碰撞之后的的速度值分別為：
　　v′=-v，v′=-v，v′=-v.
　　當彈性介質的楊氏模量界于極大和極小之間的一般情形時，碰撞以后的三個彈性球的速度值如（13）式所示.此時球A將發生反彈現象，球B的速度小于v，球C的速度大于v，它們之間的速度交換關系將不復存在.這一結論已經在氣墊導軌上的三個滑塊的碰撞實驗中得到證實.
　　3．結論
　　由上面的討論可見，三體以上的一維正碰問題比較復雜，不能用彈性球之間相繼碰撞的簡單模式來理解，作用力在碰撞體中的傳播速度決定了碰撞后各球的速度分配情況，速度極大時對應了實驗中常常見到的交換速度的現象。如果選取楊氏模量很小的彈性碰撞球，就可以從實驗上觀察到其他速度分配情況。
　　
　　參考文獻：
　　［1］段吉輝，徐從蘭，盂昭敏．物理學演示實驗手冊.
　　［2］徐目新．中學物理簡明手冊浙江人民出版社，1980.
　　［3］李增林．力學．南京工學院出版社，1988.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”