例談數學高考中的概率論題型

　　摘 要： 概率論題是高考試題中抽象性最強、難度很大的題型。本文通過對2010年部分省市高考中概率論題的分析與解答，具體闡述了做數學概率論題應從“事件是什么？”分析，恰當應用互斥事件、獨立事件性質解題。
　　關鍵詞： 數學高考 概率論題型 案例分析
　　
　　概率論題在高考試題中是抽象性最強、難度很大的題型，下面我從2010年我國各省的高考試題中選出部分概率論題進行分析，以饗讀者。
　　1.第一類是選擇填空題中的考題，分值只是5分、4分，難度深淺不一。
　　案例1：甲從正方形的四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（?搖?搖）。（安徽卷第10題）
　　（A） （B） （C） （D）
　　解析：概率論題很多是與排列組合緊密相聯系的，主要是研究“事件”。此題的大前提事件就是“四個頂點選兩個連接成直線”，方法共有C=6種，甲乙各六種選法。所求概率事件是“甲乙各取一條相互垂直”，形成的組數有：一組鄰邊垂直，共8種選法；一組對角線垂直有2種選法，共10種。所以答案為：==，選C。
　　注：涉及立體幾何中直線的位置關系，要清楚正方形或其它幾何體的各對角線的位置關系，而且需全面。此題知識性和綜合性強。
　　案例2：一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣質。國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測。方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國王用方法一、二能發現至少一枚劣幣的概率分別記為P和P，則：（?搖?搖）。（江西卷第11題）
　　（A）P=P（B）P

　　（C）P>P（D）以上三種情況都有可能
　　解析：本題的具體事件為“10箱中各取一枚，發現至少一枚劣幣”、“5箱中各取兩枚，發現至少一枚劣幣”。由于方法一和方法二都各取出了10枚幣，“至少一枚劣幣”意味著“1、2、3、4或5枚劣幣”；所以它們的解法最好用對立事件的方法，即“所取出的10枚幣中無劣幣”；所以1-p=（），1-p=（）；而>，>.則有：1-p>1-p，有：p　　注：采用找對立事件的方法求解，讓學生明白“事件”的轉化，會起到相稱相托的影響，以方便解決問題。這類題在高考解答題中常考到，有利于學生的創新能力培養。
　　案例3：將5位自愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有?搖?搖?搖?搖種。（江西卷第14題）
　　解析：方法一：先把5位自愿者分成3組，共有=15種方法；然后把這三組分到三個不同場館，共有A=6種；答案為：15×6=90。
　　方法二：先是這5人中選1人出來，有C=5種；再是剩下的4人選兩人有C=6種；只要這1人的定了就算分到了世博會場館，就有3種順序，答案為：5×6×3=90。
　　案例4：某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天。若7位員工中的甲乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日。則不同的安排方案共有（?搖?搖）種。（重慶卷第9題）
　　（A）504種 （B）960種 （C）1008種 （D）1108種
　　解：這道題有多種解法，第一法：①首先把甲乙的第一個安排在2→5號，然后這兩個可互相交換，共有C×A=8種。②在甲乙分別安排在1、2號或6、7號時，共有4種，就有丙不可能在1號或丁不可能在7號了，此時先把丁或丙安排了，所受限制的即滿足，共有C種；最后把剩下的4人安排，共有A=24種。③在甲乙第一個安排在2→5號時，可先把丙安排在除1號、7號及中間甲乙占的兩天之外的三天之一有A種，再把丁安排在除7號及丙占位和甲乙占的兩天之外的三天之一有A種，最后把剩下的3人安排有A=6種。④或者把丙安排在7號，此時丁就滿足條件了，余下的4人安排有A=24種。所以答案為：C×A［AAA＋１×A］+4CA=4×2×［3×3×6+24］+4×4×24=1008種，選C。
　　第二種方法是求差法：首先甲乙第一個安排在1→6號，再交換，共有C×A=12種；剩下的人全排列，共有A=120種；下面得減去丙排在10月1日或丁排在10月7日的情況，①丙排在10月1日而丁不在10月7日的共有A×2×A+A×C×2×A×A=48+144=192種；②丙不在10月1日而丁在10月7日的共有192種；③丙排在10月1日丁在10月7日的共有A×2×A=48種。答案為:C×A×A-2×（A×2×A+A×C×2×A×A）-A×2×A=1440-384-48=1008種，選C。
　　注：排列組合類題是抽象性極大的題型。其解題方法一般有多種，如“分房問題，分堆與分給不同人的問題，插棒分組問題”等，在分類與分步中需精確找到各“小事件”的關系，進而確定計算中是用加減法還是用乘除法。
　　2.第二類為解答題，分值一般為12分，有一定的難度，主要原因是學生不明白所求問題的“事件”是什么，或者知道“事件”而無從入手。
　　案例5：有編號為A，A，…，A的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數據：
　　其中直徑在區間［1.48，1.52］內的零件為一等品。（天津卷第18題）
　　（1）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；
　　（2）從一等品零件中，隨機抽取2個，求這2個零件直徑相等的概率。
　　解：（1）因為直徑在區間［1.48，1.52］內的零件為一等品，所以一等品的數量為6個，所取這一個零件為一等品的概率為：P===。
　　（2）由表中數據得一等品直徑有：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.51共6個，因為“從6個中隨機抽取2個”共有：C=15種，“兩個零件直徑相等”取法有：C+C=6種。
　　所以所求概率為：P===.
　　注：此題與統計學相聯系，容易入手，在求解概率時難度較小。明白“零件為一等品”就是“直徑在區間［1.48，1.52］內的零件”；更主要是培養學生的動手操作能力，建立起理論與實踐相結合的真理觀念；實際上人們在實踐中還會發現更多的規律。
　　案例6：如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T，T，T，T，電流能通過T，T，T的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9。電流能否通過各元件相互獨立。已知T，T，T中至少有一個能通過電流的概率為0.999。（全國卷第20題）
　　（1）求p；
　　（2）求電流能在M與N之間通過的概率。
　　解：（1）因為各元件相互獨立，A=“T，T，T中至少有一個能通過電流”，所以=“T，T，T中都沒能通過電流”，P（A）=0.999。
　　而T，T，T中每個沒能通過電流的概率為：1-p。
　　所以P（A）=1-P（），即：0.999=1-（1-p），所以p=0.9。
　　（2）第一法：因為B=“電流能在M與N之間通過”=“電流通過T或電流通過TT或電流通過TT”，所以P（B）=0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9=0.9891。
　　第二法：因為B=“電流能在M與N之間通過”，所以=“M與N之間沒有電流通過”，他包含下列兩類六種情況都沒有導通：“T，TT，T，T或”，“”（其中T表示第i個燈導通，表示未導通），所以P（）=［P（T）+P（TT）+P（T）+P（T）+P（）］×P（）=［（1-0.9）×0.9+0.9×（1-0.9）+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）×0.9+（1-0.9）］×（1-0.9）=0.0109。
　　所以P（B）=1-P（）=1-0.0109=0.9891。
　　注：這是與物理中電學相關的概率類題，概率能解決人類的活動、自然知識和社會知識相關聯的事件發生程度；讓讀者明白事件的可行性量度。此題第二問采用宏觀或微觀上分析“電流能在M與N之間通過”事件，通過分類分步、事件的互斥與獨立性理論解析之。讓讀者一目了然、心悅誠服。
　　實際上概率類題穿插著互斥事件、獨立事件等基礎知識，解析之就是要把它們的抽象性具體化，也就是每個“事件”搞清楚，更重要的是數字化。