在類比中發現和諧與簡化記憶

　　摘 要： 本文通過分析職校數學教學的特點，提出用簡化、直觀的方法讓學生發現數學中的內在聯系、規律，以達到學好數學的目的。
　　關鍵詞： 職校數學教學 類比 記憶
　　
　　數學是職業教育課程中的一門基礎學科，課時較多，內容浩瀚，站在系統的高度，注意比較知識間的聯系和區別，不但有利于抓住本質，而且有利于從中尋求規律即共性，尋求簡化記憶，以便于掌握，在數學系統的聯系、規律、環環緊扣類比中發現和諧正是數學的本來面目。
　　舉一個例子，在初中代數學習正比例函數y=kx(k≠0)的圖像時，如果注意到，函數的圖像隨常數k的變化而變化，換言之，k決定著直線所在象限方面的位置情況，在這里k的符號決定所畫的圖像在第幾象限；|k|則決定直線向上方向和y軸正向夾角情況；而當k值取遍（-∞，+∞）上的全體實數時，直線y=kx則繞原點旋轉而掃遍y軸外的整個坐標平面（若允許k=0)。這樣，后來學習二次函數y=ax(a≠0)時，可以事先就猜想，是否常數a的取值將決定曲線y=ax的位置？結果發現a的符號決定著曲線所在象限的位置情況，|a|決定著曲線與y軸的相對位置情況；當a值取遍（-∞，+∞）上的全體實數時，曲線y=ax將掃過除y軸外的整個平面。那么，這將在入門伊始就抓住了學習二次函數的關鍵，使得利用二次函數求得最（大）小值、解一元二次不等式等一系列的問題用此函數圖像不難得到解決。
　　當然，由于y=ax的圖像是一條曲線，因此|a|在決定曲線與y軸的相對位置的時候，就已經影響了曲線的形狀。
　　進入高中，學習冪函數y=2x，在同樣的思想指導下，不難發現，仍然是常數2決定曲線y=2x的位置和形狀，當然，由于常數的位置發生了變化，從系數的位置移到了指數的位置，那么常數a的符號已不再決定曲線所在象限的位置情況，而是決定曲線是經過（0，0）點，還是（1，1）點；|a|則決定著當x取定某個值時，曲線的曲率情況，但有一方面又是類似的，即a取遍（-∞，+∞）上的實數時，曲線掃遍除直線x=1外的整個第一象限。
　　以上的兩次類比，啟發我們去想象，函數解析式中的常數，可能總是按某種分類方式（按符號分類）來影響著函數圖像曲線的某種特征，而且當這個常數取遍它所允許范圍內的每個實數時（是連續取值），圖像總是掃遍某區域。
　　對于指數函數y=a（a＞0，a≠1），由a＞0，我們以1作為分類的累點，當a＞1時，函數圖像曲線呈上升狀態；當0＜a＜1時，曲線呈下降狀態；|a|較大時，則曲線的高于直線y=1的部分比較靠近y軸正向，反之，則遠離于y軸的正向，抓住這幾點，以及軸線都在x軸的上方并且通過（0，1）點，那么，熟記指數函數的各類性質將易如反掌。
　　例如，由于曲線都在x軸上方，當y＞0時，如圖1。
　　又如，0＜a＜1時，曲線呈下降狀態，此時函數y=a為減函數。當y=1時，如圖2所示，又由于曲線通過（0，1）點，當x＜0時，y＞1；而x＞0時，y＜1，這樣掌握和記憶指數函數的性質，當然比單純死記用列表法寫出的性質要好得多。
　　關于對數函數y=loga和三角函數的討論，此方法同樣有益。
　　通過上述討論，以及從對函數解析式中常數作用的類比分析，使學生對函數性質的認識系統化了，甚至對于等差數列、等比數列等，也可以作類似的討論。
　　因為數列｛a｝可以看做以n為自變量的一種函數（離數型函數），那么，在等差數列a=a+(n-1)d的圖像中，常數a，特別是常數d的符號和絕對值就對于圖像的點列是呈上升狀態還是下降狀態起作決定作用。在等比數列中，也可以進行類似的分析。
　　回顧上面的類比和總結，它們使代數中許多分散的知識，統一在一個認識之下，這種系統化的結果，使我們加深了理解，簡化了記憶。
　　順便說一句，從對解析式中的某種分析入手，分析相應曲線的特征，是一個常用的方法，不僅僅適用于代數，我再舉一個解析幾何的例子。
　　在分析坐標平面上的線段定比分點公式時發現，對于λ=，當λ取遍（-∞，+∞）上的全體實數時，分點P跑遍PP直線，如圖3所示。
　　當λ=0時，P點和P點重合，當λ由0→1時，P點由P向PP的中點移動；當λ=1時，P點在PP的中點上，當λ由1→+∞時，P點由PP的中點向P移動；在P的左側無限接近于P，而當λ由-∞→-1時，P點從無限接近P的右側沿PP的方向向無窮遠處移動，當λ從無限接近-1的-1的右側向口連續取值時，P點則從沿PP方向的無窮遠方移向P，直至λ=0時，P再次回到P上。
　　通過以上討論，我們還發現，整個過程事實上是一個從實數集（λ取值）到點集直PP（P點位置）上的一一映射，此時幾何和代數又融合為一起了。
　　上面兩個例子表明，隨著數學邏輯步步深入，內在聯系明顯表示出來，抓住知識之間的聯系和規律，環環緊扣，能迫使我們學習與思考，數學領域探討與研究也能給我們增加樂趣。