當通解遭遇巧解

　　波利亞在《數學的發現》序言中說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就是意味著善于解題。”重視解題教學、擅于變式訓練是中國數學教育的一個特色，再加上高考的要求，解題教學顯得尤為重要。所以，在書店的貨架上擺滿了所謂的“千題巧解”“數學解題方法”等書籍。既然要研究解題，那么到底怎樣的方法才是最好的方法呢？本文舉例說明通解與巧解的關系。
　　例1：（2009遼寧）若x滿足2x+2=5，x滿足2x+2log（x-1）=5，則x+x=（）。
　　（A） （B）3 （C） （D）4
　　解法一：由題意2x+2=5①
　　2x+2log（x-1）=5②
　　由①有2=5-2x，則x=log（5-2x），即2x=2log（5-2x）
　　令2x=7-2t，代入上式得
　　7-2t=2log（2t-2）=2+2log（2t-2）=2+2log（t-1）
　　∴5-2t=2log（t-1）
　　與②式比較得t=x
　　于是2x=7-2x，x+x=
　　解法二：（數形結合）
　　整理2x+2=5和2x+2log（x-1）=5，可得
　　2=-x+和log（x-1）=-x+
　　因此可知本題的幾何意義是直線y=-x+與y=2、y=log（x-1）的交點A、B的橫坐標之和，又y=2和y=log（x-1）關于y=x-1對稱，聯立y=x-1和y=-x+，解得AB中點的橫坐標為，故x+x=。
　　【分析】法一通過對第一個等式結構的分析，借助指對的互化關系，將其變換到和第二個等式相同的形式，再通過換元，直接找到了x和x的關系。推導過程符合人們的一般思維，但是要求對指對的運算非常熟悉，對運算能力的要求比較高。法二則是把方程的解轉化為函數圖像交點的橫坐標，把抽象的數轉化為直觀的形來處理，充分體現了數形結合的魅力。“以數覓形，以形助數”通常能使問題的解決更直觀、更簡捷，高考題中的一些具有幾何背景的數學關系或數學結構，如果能夠通過構造與之相應的圖形進行分析，往往事半功倍。
　　例2：（2008年重慶）函數y=（0≤x≤2π）的值域是（）。
　　（A）［-，0］（B）［-1，0］
　　（C）［-，0］（D）［-，0］
　　解法一：萬能代換
　　令t=tan，則sinx=，cosx=
　　原命題轉化為求h（t）=（t∈R）的值域。
　　整理化簡，有
　　h（t）==
　　==
　　當t=1時，h（t）=0，此時x=；
　　當t≠1時，h（t）=
　　∵4（）+1=4（1+）+1∈［1，+∞）
　　∴h（t）∈（0，1］，當且僅當t=0時，h（t）=1，此時x=0或2π。
　　解法二：利用單調性
　　因為g（x）=（0≤x≤2π），則
　　g′（x）
　　=
　　=
　　令g′（x）=0，則x=0，，2π
　　易知，當x∈［0，］時，g′（x）＞0，即g（x）單調遞增；
　　當x∈［，2π］時，g′（x）＜0，即g（x）單調遞減。
　　所以，當x=時，g（x）=0；當x=0或2π時g（x）=1。
　　解法三：向量法
　　f（x）=
　　=
　　令sinx-1=s，1-cosx=t，
　　則（s+1）+（t-1）=1
　　設A（1，0），B（sinx-1，1-cosx），則f（x）就是向量與向量所成夾角θ的余弦值（見圖1），即f（x）=cosθ。由圖可知，向量與夾角θ的取值范圍是［，π］，由此可得-1≤cosθ≤0，即-1≤f（x）≤0，故應選B。
　　【分析】這是一道與三角函數相關的函數值域問題，法一用三角函數的萬能代換，代換后雖然達到了消元的目的，但是升高了次數，增大了計算量；法二利用函數的單調性，想法很簡單，但是對一復雜的三角分式求導卻是一個難點，計算量也是不小的；法三則用向量，將復雜的代數式子用形的方式表現出來，計算簡單了許多。向量法現在越來越多地被應用在解題中，不管是三角函數中還是在立體幾何中。其實，通解和巧解是相對的，正所謂“用過兩遍的技巧，就是方法”。
　　例4：AB為不垂直于拋物線y=2px（p＞0）對稱軸的過焦點的弦。求證：對于拋物線任一條弦CD，直線AB不可能是它的垂直平分線。
　　證法一：設弦CD被焦點弦AB垂直平分，若AB方程為y=k（x-），則CD方程為y=-x+b，聯立解得AB與CD交點的縱坐標為y=，
　　再由方程組y=2pxy=-x+b?圯y+2pky-2pkb=0（）?圯y=-kp
　　故=-kp?圯b=
　　而此時（*）式的判別式Δ=4pk+8pkb=-4pk-4p＜0
　　這與CD是拋物線的弦矛盾，可知假設是錯誤的，命題成立。
　　證法二：（反證法）設弦CD被焦點弦AB垂直平分，若C（x，y），D（x，y），則|CF|=x+，|DF|=x+，故必有x=x，但這是不可能的。所以，AB不可能是CD的垂直平分線。
　　【分析】法一中第一次解二元一次方程組求兩直線交點坐標，第二次解拋物線與直線聯立的方程組，用“Δ”來判斷交點是否存在，這種方法的計算量雖大一些，但由于規律容易掌握，因此，它是解這類問題的常規方法。法二則是計算與分析的綜合，想法獨到，證法巧妙，但要有此想法需要深厚的基礎知識，以及靈活的分析問題的能力。在處理解析幾何相關問題時，學生往往會覺得計算量大，沒耐心，殊不知，只要運用一些技巧，諸如幾何性質、定義等，就可起到簡化計算的作用，此謂巧解也。
　　其實只要細心研究每年高考數學試題中的每道題目的解法，就不難發現，高考試題所考查的解題方法都在通法的范圍內（但也不排除利用“巧法”來解答的好的解題方法）。通法的思想順乎一般思維規律，其具體操作過程易于為多數學生所掌握。他們覺得通法自然、流暢、易于理解、易于掌握和運用，其思維方式本質上是定勢思維，而培養定勢思維是教學中起始的、大量的、帶有基礎性的教學目標。巧法則是通法的升華，“在反復考慮一個問題之后，我們突然得到一個巧妙的想法，好像掠過一道靈感，看到了燦爛的陽光”。這大概就是它的魅力所在。日本教育家米山國藏認為：“成功的數學教學，應當是數學精神，思想方法深深地、永遠地、銘刻在學生的頭腦里，長久地活躍于他們日常的業務中，雖然那時數學的知識已經淡忘了。”所以我們在教學中需要強調的是：為了在最后的高考中取得好的成績，不管是現在高三的學生還是高一、高二的學生，在日常學習中一定要注意掌握解決各類數學題的通法，在頭腦中形成有關解題通法的體系。同時要注意通法的局限性（主要是指使用范圍）和隱蔽性（注意是指題目結構的隱蔽性），也要注意適度地掌握一些“特技”。更應從通法的回顧和反思中，去自然地發現和提煉“巧法”。這樣既可進行思維鋪墊，創設思維情境，暴露思維過程，培養思維能力，又可揭開“巧法”背后的神秘面紗。教師“通”、“巧”并舉，有機結合，不僅有利于學生從大量繁瑣的運算中解脫出來，而且有利于揭示通法和巧法的辯證關系，從而進一步優化學生的思維品質，培養學生的求簡意識和創新能力。