對高考數學中數學應用能力試題的研究

　　教育逐步由應試教育向素質教育過渡，數學實際應用問題的教學是素質教育的一種體現，同時又是目前高考能力考查中的一個重要組成部分。
　　什么是數學應用題？簡單地說，就是“數學在各方面的應用”的問題，是“有實際背景”的數學問題。高考考查的是綜合應用所學數學知識、思想和方法解決在相關學科、生產、生活中的簡單的數學問題，即實踐能力。從1995年開始，高考加強了對數學應用題的考查。這類題目的立意、實際背景、創設的情景、設問的角度和方式新穎靈活，對考生的能力和數學素質要求較高，出于考查能力和素質的需要，數學應用題成為近幾年高考的熱點之一。
　　應用題的命制突出對解決實際問題能力的考查，體現“貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則，小題鮮活，大題不難。
　　一、課標及考綱對應用意識部分的描述
　　《普通高中數學課程標準（實驗）》在“課程的基本理念”中把發展學生的數學應用意識作為基本理念之一，并提出，高中數學教學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強，應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。在“課程目標”中提出，要發展數學應用意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷。
　　二、高考數學應用解答題考查的常見類型和趨勢
　　要解好應用問題，首先要增加應用數學的意識。一般來說，解決應用問題可分兩步，第一步，分析問題，抓住實際問題中的數量關系，將其轉化成一般數學問題;第二步，利用所學知識和方法解決這個數學問題，其中的關鍵在于如何將實際問題數學化，也就是說如何等價轉化成一個數學問題。如果能將常見應用題類型化，必將提高學生的解題能力。因此，本文通過歸納在數學實際應用問題教學中的四種常見類型，使學生在遇到應用題時能心中有數、有的放矢，迅速形成解題思路。
　　1.利潤最大、產值最高、造價最低等問題。其理論依據有：一元二次函數、分段函數、不等式及方程等，處理方法主要是應用函數與方程、函數與不等式的思想方法，通過構建函數，求出最值。求最值時應注意導數法的運用。
　　例1.（2009山東卷理）兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065。
　　（1）將y表示成x的函數；
　　（2）討論（1）中函數的單調性，并判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由。
　　解析：本題主要考查了函數在實際問題中的應用，運用待定系數法求解函數解析式的能力，運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題。
　　2.利率、增長率及翻番等問題。其理論依據有：等差、等比、指數函數、方程、不等式及近似計算等。處理方法主要是利用數列知識構造指數式方程或指數式不等式。如2001年全國高考理科第21題；2002年全國高考理科第20題、文科第18題。
　　例2.（2008年山東卷理）在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手。若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數列的概率為（）。
　　（A） （B） （C） （D）
　　解析：以大家注意的奧運會為背景，考查數列與概率知識。體現了貼近生活，關注年度熱點問題。
　　3.航行、測量等問題。其理論依據是正余弦定理、平面幾何與三角函數等知識。考查難度較低。如2007年山東理科卷第20題等。
　　例3.（2007山東卷理）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行。當甲船位于A處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B處，此時兩船相距20海里。當甲船航行20分鐘到達A處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？
　　解析：這是課本中常出現的航行問題，學生都很熟悉，但要準確理解方向角、方位角等概率，正確作圖，利用解三角形的有關知識求解。
　　4.概率統計應用題。其理論依據有：排列、組合的應用，各類典型事件的概率公式、期望、方差公式。從幾年高考試題來看，解這類題的關鍵是能正確寫出排列組合數，能判斷該事件是互斥事件（對立事件）還是相互獨立事件（獨立重復事件）。如2008年廣東理科第17題。特別是2008年福建理科第20題還考查了分布列、期望等統計知識。
　　例4.（2008年福建卷理）某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續參加科目B的考試。已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書。現某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為。假設各次考試成績合格與否均互不影響。
　　（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；
　　（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為ξ，求ξ的數學期望Eξ。
　　解析：以學生日常生活中的考試為背景，考查概率、期望等有關知識，我們要注意到題目背景的公平性，數學的應用性。
　　三、結語
　　從近幾年全國及各省市自主命題的高考試題來看，應用解答題的考查目的就是訓練學生的閱讀理解能力和數學建模能力，從而使學生形成應用數學的能力。其基本模型為：全國卷舊教材版以函數或數列為重點，新教材版則側重于新增內容的應用題，但有新舊綜合的趨勢。從新教材及新課標來看，概率統計、導數、極限等占有重要地位，為了強調這些知識點的重要性，高考命題重心必將向它們作出適當傾斜。因此，我們在教學中應特別重視這些有關的知識點的訓練、總結，堅持練習基本類型，使學生形成應用基礎知識解決實際問題的能力。根據背景的公平性原則，課本中出現應用題例題的章節要特別注意，引導學生理解其背景，掌握建模方法。新教材中出現了線性規劃知識解決最優問題，而在近幾年高考中均未考查到此知識點，這應當引起我們的注意。