淺析中考試卷中的開放性問題

　　摘 要： 開放性問題的構思獨特，對考查學生的思維能力來說是一種很好的題型。因此，若能在平時的教學中加強這方面的訓練，學生的思維能力就會得到不斷的提高。開放性問題包括條件開放型、結論開放型和策略開放型。作者采擷了部分問題，對其進行了歸類簡析。
　　關鍵詞： 中考試卷 開放性問題 學生思維能力
　　
　　數學學習不僅僅要學好知識和技能，學會探索知識的過程及方法比獲取知識本身更為重要。新的課程標準要求，在數學學習中要學會自主探索，自主創新，即在一定的情境中去發現問題，探索問題，設計解決問題的方案，從而養成自主探索、創新的意識和習慣。數學開放性問題，對實現以上目標，激發學習興趣，培養發展思維，起著十分重要的作用，因而也是目前命題的熱點。
　　開放性問題所提供的研究內容既不拘泥于教材，又不局限于原有的知識內容，但它接近廣大學生的認知水平，為學生們的創造提供了寬廣的空間。學生通過解開放型題，能夠鞏固知識，形成能力，開發智力。開放性問題對于培養和觀察學生的思維能力與創新能力具有重要的作用。現采擷部分習題，對其歸類簡析。
　　一、條件開放題：探索條件型
　　這類開放題的結論明確，需要求的是使結論成立的條件。解題時要展開聯想，逆向思考，學會多角度分析，多方位理解。方法一般是從結論入手，逆推其條件，其解題過程類似于分析法。
　　例1.如圖1，△ABC和△ADE中，∠1=∠2，若再有條件?搖?搖?搖 ?搖時，△ABC∽△ADE。（寫出一個符合條件的結論即可）
　　分析：由∠1=∠2，可推得∠BAC=∠DAE，已有一對角對應相等，由兩三角形相似的識別方法，只要有①?搖?搖?搖?搖或②?搖?搖 ?搖?搖即可；根據相似的判定方法2，只要有?搖?搖?搖?搖即可。
　　例2.如圖2，四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別為BC、AB、DA、DC的中點。
　　①當對角線AC、BD滿足什么條件時，四邊形PQMN是矩形？
　　②當對角線AC、BD滿足什么條件時，四邊形PQMN是菱形？
　　③當對角線AC、BD滿足什么條件時，四邊形PQMN是正方形？
　　分析：由三角形的中位線定理可知，四邊形PQMN為平行四邊形。
　　①若使四邊形PQMN是矩形，AC、BD相等；
　　②若使四邊形PQMN是菱形，AC、BD垂直；
　　③若使四邊形PQMN是正方形，AC、BD垂直且相等。
　　你能分別說明理由嗎？
　　二、結論開放題：探索結論型
　　這類習題，條件確定，但結論不唯一。解題時要根據條件聯想不同的結論。這類題有利于對知識的綜合運用，加強對知識的探求和思維的發展。根據所要求的結論的情況，又可分為以下幾種類型。
　　1.尋求變化規律。
　　例3.判定下列各式是否成立。
　　（1）=2 （?搖?搖?搖） ?搖?搖?搖（2） =3?搖（?搖?搖?搖）
　　（3）=4（?搖?搖?搖）?搖?搖?搖?搖（4）=5?搖?搖（?搖?搖?搖）
　　并根據以上判斷，將所發現的規律用式子表示出來。
　　分析：易知以上四式都成立。經過觀察容易發現規律：這兩數之差的算術平方根等于這個分數的算術平方根的正整數倍。其規律用式子表示出來就是：
　　=x（x>0）
　　2.尋求可能的結論（探索結論是否存在，并說明相應的理由）。
　　例4.①已知點P在第二象限，且它的橫縱坐標之和為1，則滿足條件的點P的一個坐標為?搖?搖?搖?搖。
　　②如圖3，已知點C在線段AB上，以AC、CB為邊向同側作等邊三角形△AMC、△CNB，設△AMCD的邊長為a，△CNB的邊長為b，連接AN、BM相交于點P，記AN、CM的交點為E，BM、CN的交點為F，由上述條件，你能推出哪些正確結論？（至少寫6條）
　　分析：本題需要對問題行觀察、思考、推理，可得到如下結論：
　　（1）AM∥CN；（2）BN∥CM；（3）EF∥AB；（4）△ACN≌△MCB；（5）AN=BM；（6）△AEC≌△FCB；（7）EC=FC；（8）△ECN≌△FCB；（9）△ECF是等邊三角形；（10）=+，等等。
　　這類問題最為常見，做這類題時，通常假設結論存在，倒著推過去，看能否和已知的條件或熟知的問題“接軌”。
　　例5.如圖4，已知拋物線y=x2+bx+c，經過點A（4，2），B（5，7）。
　　（1）求拋物線的解析式；
　　（2）若拋物線與x軸交于點C（x，0），點D（x，0），
　　其中x＜x，且拋物線的頂點為M，求△MCD的面積。
　　（3）問：在拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
　　分析：易知，（1）y=x2-4x+2；（2）S=2；（3）本題是結論開放題，過點A作垂直與拋物線的對稱軸，并交拋物線的左側于F點，則點A與點F關于拋物線的對稱軸對稱。連接FB交對稱軸于P，則點P即為所求。因為，在對稱軸上任取一點，連接P′F、P′A、PA，易證得P′A+P′B＞PA+PB，即PA+PB+AB最小，所以△PAB的周長最小，易求得：P點坐標為（2，4）。
　　3.某些條件改變時，結論（包括圓形位置、代數式、線段的長度等）是否改變，并說明理由。
　　例6.如圖5，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，作勻速直線運動，且它們的速度相等。已知點P沿直線AB運動，點Q沿直線BC的延長線運動。設PQ與直線AC交于點D，作PE⊥AC，垂足是E，當P、Q運動時，線段DE的長是否改變？證明你的結論。
　　分析：題中“等邊三角形”、“勻速直線運動”似乎暗示我們：“DE是一個定值。”不妨沿著這個思路走下去。
　　簡答：作PT∥BC，交AC于點T，
　　顯然，△PTD≌△QCD，故TD=CD。
　　（1）當點P在線段AB上時
　　∵AT=AP=X，∴TC=2-X，TD=CD=（2-X）
　　又在Rt△PET中，∠EPT=30°，則ET=PT=X
　　ED=ET+TD=X+（2-X）=1
　　（2）當點P在線段AB的延長線上時，仿上依然得ED=1。
　　∴DE長度不變。
　　4.判斷某些量之間的關系。
　　例7：在△ABC的外部取一點P，（直線BC上的點除外）分別連接PB、PC，那么∠BPC與∠BAC的大小關系怎樣？
　　分析：如圖6，作△ABC的外接圓，取點A關于BC的對稱點D，作△DBC的外接圓。
　　（1）當點P取在弓形BAC內（△ABC外）或弓形BDC內時，∠BPC＞∠BAC；
　　（2）當點P取在弧BAC上（點A、B、C除外）或弧BDC上時，∠BPC=∠BAC；
　　（3）當點P取在弓形BAC與弓形BDC圍成的圖形外（除直線BC上的點）時∠BPC＜∠BAC。
　　三、解題策略開放題
　　這類開放題，方法各異，可使不同的認知結構和水平的人得到不同程度的發展。解題時可以從不同的角度去推理，以尋求解題的最佳方案。
　　例8.如圖7，試用三種以上的方法將平行四邊形ABCD分成面積相等的四部分。（要求用文字簡述你所設計的兩種方法，并在所給平行四邊形中正確地作出圖形）
　　例9.如圖8，用一條直線將它分割成面積相等的兩部分。
　　例10.“星宇小區”搞綠化，要在一塊矩形地上建造花壇，現征集方案，要求設計圖案由圓和正方形組成。
　　要求：圓和正方形的個數不限，整個矩形場地要呈軸對稱圖形。注：這是給出的兩個設計方案，僅供參考，請再設計一些。
　　以上出現的開放性題型，只是一些粗淺的介紹，并不全面。總之，開放性問題沒有唯一的答案，只能從不同的角度用不同的方法去解決。強化這類習題的訓練，有利于增強學生的解題意識，對培養學生的思維能力也大有裨益。