中心極限定理的證明

　　摘 要： 本設(shè)計(jì)的目的在于用MATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)中心極限定理的證明，當(dāng)k很大時(shí)，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。本文用MATLAB具有的庫函數(shù)和一些常用算法實(shí)現(xiàn)對(duì)該定理的數(shù)學(xué)證明，并用圖形加以佐證。
　　關(guān)鍵詞： MATLAB 中心極限定理 證明
　　
　　一、引言
　　中心極限定理表明大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布，它是正態(tài)分布應(yīng)用的理論依據(jù)。設(shè)ζ，ζ，…ζ，…獨(dú)立分布且E（ζ）=μ，D（ζ）=σ，則當(dāng)k很大時(shí)，η=Σζ近似服從N（kζ，kσ）。
　　概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象。最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)漸近于正態(tài)分布的問題。1716年前后，A.棣莫弗對(duì)n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為1／2的情況進(jìn)行了討論，隨后，P.S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進(jìn)行了推廣和改進(jìn)。自P.萊維在1919-1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極限定理和局部極限定理等。極限定理是概率論的重要內(nèi)容，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石之一，其理論成果也比較完美。長(zhǎng)期以來，對(duì)于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展。同時(shí)新的極限理論問題也在實(shí)際中不斷產(chǎn)生。
　　中心極限定理，是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。
　　二、基本原理
　　1.數(shù)學(xué)模型
　　獨(dú)立同分布的中心極限定理
　　設(shè)隨機(jī)變量X，X，…，X，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0（k=1，2…），則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)Fn（x）對(duì)于任意x滿足limFn（x）=Φ（x）。
　　獨(dú)立同分布函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=
　　正態(tài)分布函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=
　　2.設(shè)計(jì)過程
　　為了證明在k很大時(shí)，獨(dú)立同分布近似服從正態(tài)分布，可以分別構(gòu)造獨(dú)立同分布函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)，將獨(dú)立同分布的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)目取得足夠大，然后繪圖觀察二者的分布擬合程度。
　　繪制獨(dú)立同分布的圖形
　　s=sum(r)；
　　mu=mean(s)； %求隨機(jī)數(shù)的平均值
　　sigma=std(s);%求均方差