微積分中求極限的常用方法

　　摘 要： 極限是微積分的一個(gè)重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限計(jì)算又是學(xué)好微積分的前提條件。本文對(duì)微積分中一元函數(shù)極限的常見(jiàn)求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，旨在提高微積分的教學(xué)水平和學(xué)習(xí)方法，給初學(xué)者提供幫助。
　　關(guān)鍵詞： 微積分 極限 常用計(jì)算方法
　　
　　微積分是研究變量的一門(mén)學(xué)科，極限又是微積分的一個(gè)重要概念。 其理論的確立使微積分有了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)， 使得微積分在日常生活和科學(xué)研究中得以更廣泛合理地應(yīng)用和發(fā)展， 所以求極限成為微積分的重中之重。極限計(jì)算是學(xué)好微積分的前提條件，熟練掌握求極限的方法，能夠提高微積分的學(xué)習(xí)能力。求極限的方法有很多，這些方法應(yīng)因題而異，靈活運(yùn)用。我結(jié)合自己的工作經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)和分析了微積分中極限若干求法及注意事項(xiàng)以供參考。
　　一、利用極限定義求極限
　　例1：證明e=0
　　證明：|f(x)-A|=|e-0|=e，
　　故?坌0＜ε（ε＜1），欲使|f(x)-A|＜ε，只要e＜ε，或者x＜lnε.
　　取正數(shù)X=-lnε，則當(dāng)x＜-X時(shí)，有|e-0|＜ε，
　　因此e=0
　　注意：當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f(x)=e的極限是不存在的。由指數(shù)函數(shù)的圖像得知其值是趨于正無(wú)窮大的。即當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)=e的極限也是不存在的。
　　二、利用極限運(yùn)算法則
　　1.無(wú)窮小運(yùn)算法則
　　無(wú)窮小量本身就是一個(gè)極限定義。在求解極限的過(guò)程中，巧妙地應(yīng)用無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，以及無(wú)窮小量的等價(jià)代換求解極限將起到事半功倍的效果。但無(wú)窮小的等價(jià)代換是計(jì)算極限時(shí)學(xué)生最容易出錯(cuò)的方法之一。此方法的難點(diǎn)在于學(xué)生搞不清楚替換的原理及對(duì)象，還有就是對(duì)無(wú)窮小的等價(jià)概念不清，所以要注意等價(jià)是有極限條件的。
　　例2： 求?cosx
　　解：因?yàn)?0，|cosx|≤1，
　　所以，由無(wú)窮小量的性質(zhì)：有界變量與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量，
　　因此 ?cosx=0.
　　對(duì)同一變化過(guò)程，α、β為無(wú)窮小，由等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則：
　　①和差取大規(guī)則：若β=o（α），則α+β～α
　　例如，==.
　　②和差代替規(guī)則：若α～α′，β～β′且β與α不等價(jià)，則α-β～α′-β′，且lim=lim，但α～β時(shí)此結(jié)論未必成立，
　　例如，==2.
　　③ 因式代替規(guī)則：若α～β且φ（x）極限存在或有界，limαφ（x）=limβφ（x），
　　例如，arcsinx?sin=x?sin=0.
　　當(dāng)x→0時(shí)，常用的等價(jià)無(wú)窮小有
　　x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（x+1）～e-1
　　1-cosx～x，α-1～xlnα，-1～x
　　一般的，有當(dāng)u（x）→0時(shí)有
　　u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（u（x）+1）～e-1
　　α-1～u（x）lnα，-1～u（x）
　　這些等價(jià)關(guān)系在極限的運(yùn)算中非常重要。需要注意的是在利用等價(jià)窮小求極限時(shí)無(wú)窮小與函數(shù)其他組成部分必須是乘、除關(guān)系，否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。
　　例3：求
　　解：因?yàn)閤→0時(shí)，ln（1+3xsinx）～3xsinx～3x，tanx～x，
　　所以==3.
　　2.極限四則運(yùn)算法則
　　利用極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的。因此，在對(duì)極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行利用時(shí)，一定要逐一對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。看其是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件，若滿足只要把x代替函數(shù)中的x就行了；若不滿足條件的，不能對(duì)其直接利用。例如對(duì)于分式函數(shù)直接代入后如果分母為零，這樣代入就沒(méi)有意義。我們應(yīng)對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸庖蚴健⑼ǚ帧⒎肿臃帜赣欣砘⒎肿臃帜竿罡叽蝺纭⑷呛瘮?shù)等恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則。
　　例4：求
　　結(jié)論：①在分式函數(shù)求極限中，當(dāng)g(x)≠0時(shí)，=，當(dāng)g(x)=0，f(x)≠0時(shí)，極限為無(wú)窮大；當(dāng)g(x)=0、f(x)=0時(shí)，應(yīng)消去零因子x-x；②分子、分母同為多項(xiàng)式，求當(dāng)x→∞時(shí)的型極限。
　　=?搖?搖n=m 0?搖?搖 n＞m∞?搖?搖n＜m?搖?搖（ab≠0）
　　三、兩個(gè)重要極限
　　=1與(1+)=e這兩個(gè)公式在極限中占有重要位置。而我們?cè)谑褂霉綍r(shí)并非完全套用公式，而是對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍Ｈ?1，或=1，(1+)=e或(1+f(x))=e，其中f(x)代表相同的表達(dá)式。
　　例5：求(sin+cos)
　　解：原式=［(sin+cos)］
　　=(1+sin)
　　=［(1+sin)］
　　=e
　　注意：在利用重要公式時(shí)要注意條件=1，(1+x)=e，但=0，(1+)≠e.
　　四、利用洛必達(dá)法則求極限
　　洛必達(dá)法則是一種常用的、有效的求極限得的方法，它可以求形如，型的未定式，對(duì)于形如0?∞、1、∞、∞-∞，0型的未定式，可將它們轉(zhuǎn)化為或型的未定式來(lái)計(jì)算，其中0?∞和∞-∞型的未定式可通過(guò)代數(shù)恒等變形將它們轉(zhuǎn)化為或型的未定式，而1、∞、0型的未定式可通過(guò)取對(duì)數(shù)化成0?∞型的未定式。
　　例6：求
　　解：當(dāng)x→0時(shí)，(e-1)sinx～x，因此有
　　=
　　=
　　==
　　從例子中可看出先對(duì)極限進(jìn)行無(wú)窮小量的等價(jià)代換， 然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則，這種方法在應(yīng)用洛必達(dá)法則計(jì)算未定式過(guò)程中往往能使計(jì)算簡(jiǎn)單化。
　　例7：求（-1）
　　解：方法一：用洛必達(dá)法則。
　　分析可用洛必達(dá)法則，必須改為求（-1），但對(duì)本題用洛必達(dá)計(jì)算較為繁瑣。
　　方法二：原式=
　　洛必達(dá)法則雖然是有效的求極限得方法，但它不是萬(wàn)能的求極限的方法。
　　應(yīng)用時(shí)要注意幾點(diǎn)：（1）lim必須是或型未定式。
　　（2）如果lim不存在，不能判定lim不存在，只能用其他方法來(lái)判定這個(gè)極限是否存在。
　　（3）在計(jì)算過(guò)程中要及時(shí)化簡(jiǎn)極限后面的分式及檢查是否滿足所要求的未定式，若不是則不能對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則將導(dǎo)致結(jié)果。
　　（4）lim存在時(shí)，式子是分別對(duì)分子分母求導(dǎo)數(shù)再求極限而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)數(shù)。
　　總之，除了上面所列的求極限的常用方法外還有其他的方法。例如利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，夾逼定理，拆項(xiàng)或添項(xiàng)，定積分的定義、 利用收斂級(jí)數(shù)求極限、 利用泰勒展式求極限、利用左右極限與極限關(guān)系來(lái)求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限等。函數(shù)極限涉及到很多方面的知識(shí)， 在求極限時(shí)應(yīng)該充分考慮， 首先應(yīng)該分析已知函數(shù)極限的類型， 再根據(jù)條件考慮求解方法。各種求極限方法應(yīng)靈活掌握，一種方法并不一定就可以解決極限的計(jì)算，有些時(shí)候要注意極限方法的綜合應(yīng)用，以求達(dá)到最終的目的。
　　
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