求函數(shù)值域的十種方法

　　摘 要： 函數(shù)值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，有關(guān)函數(shù)值域的問(wèn)題教材中介紹得很少，而求函數(shù)的值域較求定義域更困難、更靈活，沒(méi)有較完整較規(guī)范的方法，所以學(xué)生難以掌握。本文借助初等函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，歸納出十種求函數(shù)值域的方法。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù) 函數(shù)值域 方法
　　
　　1.觀察法
　　對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可在定義域及函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上確定函數(shù)的值域，這叫觀察法。
　　由于函數(shù)值域是對(duì)應(yīng)于函數(shù)定義域的函數(shù)值集合，因此首先要考察函數(shù)結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，從定義域出發(fā)，逐步推斷出函數(shù)的值域。
　　例1：求函數(shù)y=（x-3）的值域。
　　解：∵函數(shù)定義域?yàn)?1≤x＜1，又∵≥0，x-3＜0，∴y≤0，即函數(shù)值域y∈（-∞，0］。
　　2.反函數(shù)法
　　如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在反函數(shù)，而求函數(shù)值域又不易求解時(shí)，可在通過(guò)求反函數(shù)的定義域的過(guò)程中而使問(wèn)題獲解，叫反函數(shù)求函數(shù)值域的方法。
　　即由y=f（x），反解出求函數(shù)x=f（x），原函數(shù)值域包含在f（y）的定義域中。然后分析二者的關(guān)系以確定函數(shù)值域。此法的成功取決于反解成立，分析正確，并注意在反解過(guò)程中保持同解性。
　　例2：求函數(shù)y=+，x∈（0，1］的值域。
　　錯(cuò)解一：∵y=+≥2，∴函數(shù)值域y∈［2，+∞）。
　　剖析：當(dāng)x=（0，+∞］時(shí)，結(jié)論x=［2，+∞）才是正確的。但當(dāng)x∈（0，1），這個(gè)結(jié)論就不可靠了。
　　錯(cuò)解二：y=+?圳x-2yx+4=0，
　　∵x∈R，∴△4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。
　　函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-2］∪［2，+∞）。
　　剖析：以上求出的結(jié)果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)函數(shù)的值域，解法二同樣忽略了0≤x≤1了這一限制條件，而x∈（0，1］的值域用“判別式法”是無(wú)法解決的。
　　正解：（反函數(shù)法）y=+?圳x-2yx+4=0，
　　∵x∈（0，1］，y≥2，∴y+≥2（1），∴方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，∴函數(shù)值域?yàn)椋郏?∞）。
　　3.轉(zhuǎn)化法
　　利用已知值域的函數(shù)或所給函數(shù)的定義域，作為“媒介”，將待求值域的函數(shù)式變形。通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，求得所給函數(shù)的值域。將所求函數(shù)值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的基本初等函數(shù)的值域問(wèn)題，常能化難為易。
　　例3：求函數(shù)y=的值域。
　　解：由函數(shù)表達(dá)式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=確定。
　　∵|sin（x+θ）|≤1，∴（）≥（3-y）?圳y≥，即原函數(shù)值域y∈［，+∞）。
　　4.不等式法
　　運(yùn)用不等式的性質(zhì)，特別是含等量的不等式，分析等號(hào)成立的條件，以確定函數(shù)值域，叫不等式求函數(shù)值域的方法。
　　例4：已知α∈（0，π），求函數(shù)y=sinα+的值域。
　　錯(cuò)解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函數(shù)值域?yàn)椋?，+∞）。
　　剖析：由于忽略了“當(dāng)且僅當(dāng)sinα+時(shí)上式才能取等號(hào)”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等號(hào)，至少應(yīng)有y≠2。
　　正解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。
　　當(dāng)且僅當(dāng)sinα=，即sinα=1時(shí)，上式能全取等號(hào)。
　　小結(jié)：用“不等式法”求函數(shù)值域，主要是利用“幾個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于其幾何平均值”，但須注意取等號(hào)時(shí)條件是否能得到滿足。
　　5.最值法
　　由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，所以我們可以通過(guò)求函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最大值，最小值的辦法，并求函數(shù)的值域。
　　例5：求函數(shù)y=的值域。
　　解：由函數(shù)定義域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。
　　（1）當(dāng)cosx∈［-1，-）時(shí)，∵y=x+=1-（-1），∴（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞∴-∞＜y≤-1。
　　（2）當(dāng)cosx∈（-，1］時(shí)，∵（1+2cosx））=-1，∴（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，∴≤y＜+∞。
　　故函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-1］∪［，+∞）.
　　一般二次函數(shù)的值域常用此法求解。有些高次整函數(shù)也可用此法。
　　6.判別式
　　根據(jù)一元二次方程ax+by+c=0有實(shí)根時(shí)，△=b-4ac≥0。的性質(zhì)，求函數(shù)值域的方法叫做判別式法。
　　例6：求函數(shù)y=2x-7x+3的值域。
　　解：∵2x-7x+3-y=0，且x∈R，∴△=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，∴該函數(shù)值域?yàn)椋郏?∞）.
　　此法可用于行如：y=（A，P不同時(shí)為零，分子分母無(wú)公因式）的函數(shù)的值域。但必須強(qiáng)調(diào)：（1）是既約公式；（2）驗(yàn)證端點(diǎn)值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方項(xiàng)系數(shù)含字母要討論；（4）若定義域人為受限，則判別式法失效。
　　7.換元法
　　通過(guò)代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法，把無(wú)理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求函數(shù)值域的方法叫換元法。
　　例7：已知函數(shù)f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。
　　解：∵f（x）∈［，］，PT4z+QcunHl36GFzBacyVg==∴≤f（x）≤，故≤≤。令t=，則t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］時(shí)單調(diào)遞增
　　∴當(dāng)t=，y=，當(dāng)t=，y=，
　　∴y=f（x）+的值域是［，］.
　　8.圖像法（數(shù)行結(jié)合法）
　　通過(guò)分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)、定義域、單調(diào)性、奇偶性、極值等。確定若干有代表性的點(diǎn)，勾畫出函數(shù)的大致圖形，從而確定函數(shù)的值域。
　　例8：求函數(shù)y=|x-1|+x的值域。
　　解：原函數(shù)可以表達(dá)成：當(dāng)x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；當(dāng)-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。
　　作出函數(shù)圖像（見(jiàn)圖1）
　　由圖像知函數(shù)值域?yàn)椋?1，+∞）。
　　9.單調(diào)性法
　　利用函數(shù)單調(diào)性，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的值域，最后取其并集即得函數(shù)值域。
　　例9：求y=x-的值域。
　　解：∵y=x和y=-均為單調(diào)增函數(shù)，
　　∴y=y+y=x-為增函數(shù)，由定義域x≤知y=，故y≤.
　　10.配方法
　　如果給定一個(gè)復(fù)合函數(shù)，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以視為一元二次多項(xiàng)式，則要用配方法求其函數(shù)值域。
　　例10：求y=x+的值域。
　　解：∵y=x+=1-（-1），在定義域x≤內(nèi)，顯然有（-1）≥0，∴y≤1，函數(shù)值域?yàn)椋?∞，1］。
　　本文僅從求函數(shù)值域的十種常用方法談起，在不同的文獻(xiàn)中可能會(huì)有與本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如構(gòu)造法、極限法、解析法、復(fù)數(shù)換元法、三角代換法、恒等變換法、有理化法等。當(dāng)然，本論文求函數(shù)值域的方法不是一成不變的，應(yīng)在多次解題過(guò)程中綜合并靈活應(yīng)用這幾種方法。
　　
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