換元法在解題中的應用

　　摘 要： 換元法作為一種重要的數學方法，在求解數學中的某些問題時可以找到解答的簡捷途徑，收到事半功倍的效果。 本文將從因式分解、不等式證明和求值問題這三個方面來研究換元法在數學解題中的巧妙應用。
　　關鍵詞： 換元法 因式分解 不等式證明 求值問題
　　
　　隨著科學技術的日益數學化，各門學科對數學的要求也日益提高。換元法作為一種重要的數學解題方法，可以通過變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，將非標準型問題標準化、復雜問題簡單化。使用換元法，很多問題往往會迎刃而解。
　　1.巧用換元法分解因式
　　用換元法分解因式，它的基本思路就是將多項式中的某一部分用新的變量替換，從而使復雜的問題得到簡化。以下列舉出幾種應用換元法分解因式的形式。
　　1.1整體換元法
　　整體換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰。
　　例1：分解因式：（a+3a-2）（a+3a+4）-16
　　解：設a+3a-2=m，則
　　原式=m（m+6）-16=m+6m-16=（m+8）（m-2）
　　=（a+3a+6）（a+3a-4）=（a+3a+6）（a+4）（a-1）
　　1.2均值換元法
　　均值換元是指在某些問題中，已知兩未知量的和，這時可將這兩個未知量用它們的均值和一個新變量來表示，從而使計算化繁為簡，我們稱這種方法為均值換元法。
　　例2：分解因式：（a+1）（a+3）（a+5）（a+7）+15
　　解：原式=［（a+1）（a+7）］［（a+3）（a+5）］+15
　　=（a+8a+7）（a+8a+15）+15
　　取“均值”，設m=［（a+8a+7）+（a+8a+15）］=a+8a+11，則
　　原式=（m-4）（m+4）+15=m-16+15=（m+1）（m-1）
　　=（a+8a+12）（a+8a+10）=（a+2）（a+6）（a+8a+10）
　　1.3局部換元法
　　局部換元法是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。
　　例3：分解因式：（x-4x+3）（x-4x-12）+56
　　解：設x-4x=y，則
　　原式=（y+3）（y-12）+56=y-9y+20
　　=（y-4）（y-5）=（x-4x-4）（x-4x-5）
　　=（x-4x-4）（x-5）（x+1）
　　1.4常值換元法
　　常值換元就是用字母代替題目中的已知數值。對某些題目，利用這種常值換元法來求解，往往能化繁為簡、巧妙獲解。
　　例4：分解因式：x+2004x+2003x+2004
　　解：設2004=y，則
　　原式=x+yx+（y-1）x+y=（x-x）+（yx+yx+y）
　　=x（x-1）+y（x+x+1）=（x+x+1）（x-x+y）
　　=（x+x+1）（x-x+2004）
　　1.5倒數換元法
　　倒數換元指將互為倒數的用一個字母來代替它從，從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。
　　例5：分解因式：a+7a+14a+7a+1
　　解：原式=aa+7a+14++
　　 =aa+?搖+7a+?搖+14
　　 =a［（m-2）+7m+14］設a+=m
　　 =a（m+7m+12）=a（m+3）（m+4）
　　 =aa++3a++4=（a+3a+1）（a+4a+1）
　　2.利用換元法證明不等式
　　換元法是指對結構比較復雜，量與量之間關系不太直觀的問題，通過恰當引入新的變量，來代換原命題中的部分式子，通過代換達到減元的目的，達到簡化結構，便于研究的形式。
　　換元法在不等式的證明中應用廣泛，常采用的方法有三角換元法、均值換元法、增量換元法及分母換元法。
　　2.1三角換元法
　　把代數形式轉化為三角形式，利用三角函數的性質解決。
　　例6：已知a，b∈R，且a+b≤1，求證：|a+2ab-b|≤。
　　證明：設a=rcosθ，b=rsinθ，其中|r≤1|，θ∈［0，2π），則
　　|a+2ab-b|=|rcosθ+2rsinθcosθ-rsinθ|
　　=|rcos2θ+rsin2θ|
　　=r|sin2θ+|≤
　　∴|a+2ab-b|≤，原不等式得證。
　　2.2均值換元法
　　使用均值換元法能達到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。
　　例7：已知a，b∈R，且a+b=1，求證：（a+2）+（b+2）≥。
　　證明：因為a，b∈R，且a+b=1，所以設a=+t，b=-t（t∈R），則
　　（a+2）+（b+2）=+t+2+-t+2
　　=+t+-t
　　=+2t≥
　　即（a+2）+（b+2）≥，原不等式得證。
　　2.3增量換元法
　　若某一變量在一常量附近變化時，可設這一變量為該常量加上另一變量。
　　例8：已知a＞2，b＞2，求證：a+b＜ab。
　　證明：設a=2+m，b=2+n，顯然m＞0，n＞0
　　則a+b-ab=2+m+2+n-（2+m）（2+n）
　　=4+m+n-4-2m-2n-mn
　　=-m-n-mn＜0
　　故a+b＜ab。
　　2.4分母換元法
　　對于一些分式不等式證明題，如果各項分式的分母比較復雜，而且不容易找到解題的思路時，可以考慮把分母看作一個整體進行換元，從而將分式的分母簡化，以便于尋找解題的突破口。
　　例9：設a、b、c∈R，且abc=1，證明：++≥。
　　分析：由于原式轉為證++≥，
　　即++≥，
　　故令s=a+b+c，x=s-a，x=s-b，x=s-c，
　　則x+y+z=2s，原式轉為證++≥，
　　化為證（x+y+z）（x+y+z）≥9，
　　而此式左邊≥3（）×3（）=9，得證。
　　3.運用換元法解決求值問題
　　3.1利用換元法求二元函數最值問題
　　二元函數是指含有兩個自變量的函數。求二元函數最值問題是中學數學常見的題型，其求解的技巧性強，換元法是解答這類問題的有效方法，下面通過例子說明解答這類問題的技巧。
　　3.1.1三角換元
　　例10：已知x-2xy+2y=2，求x+y的最小值。
　　解析：對條件進行變形得：（x-y）+y=2
　　令x-y=sinθy=cosθ，則x=（sinθ+cosθ）y=cosθ
　　∴x+y=（sinθ+cosθ）+cosθ
　　=sin（θ+φ）（其中tanφ=）
　　∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴-≤sin（θ+φ）≤，即x+y的最小值是-。
　　點評：解題中遇到a+b=c和a+b=1（a＞0，b＞0）形式時，可用三角換元法嘗試解題。
　　3.1.2系數換元
　　例11：已知x，y∈R，x+y=1，求+的最大值。
　　解析：∵==≤=，
　　同理==≤，
　　∴+≤+=（x+y）+=2，
　　當且僅當x=y=時取等號，
　　∴+的最大值是2。
　　點評：根據目標函數的的結構特征，湊出常數因子，進行系數換元是解此類問題的關鍵。
　　3.1.3參數換元
　　例12：已知x≥0，y≥0，且y=4x，求x+y-2x+y+1的最小值。
　　解析：由y=4x，可設x=ty=2t（t≥0），則
　　x+y-2x+y+1=t+2t+2t+1
　　顯然t+2t+2t+1在［0，+∞）上是單調遞增函數，所以當t=0時，t+2t+2t+1的最小值是1，即x+y-2x+y+1的最小值是1。
　　
　　點評：本題利用參數換元將二元函數問題化為一元函數，再利用函數的單調性求解。
　　3.2利用換元法解一類取值范圍題
　　例13：實數x，y滿足x+xy-2y=1，求S=3x-y的取值范圍。
　　解：由題意：（x-y）（x+2y）=1，令x-y=t，x+2y=，得
　　x=（2t+），y=（-t+）
　　代入S=3x-y，化為t的函數：
　　S=（2t+）-（-t+）=+（11t+）
　　 ≥+=
　　當且僅當11t=，t=±時取等號。因此，S∈［，+∞）。
　　3.3利用換元法求函數值域
　　值域是函數的三要素之一，它由函數的定義域及對應法則唯一確定.常用的求函數值域的方法有：配方法、反函數法、判別式法、換元法、單調性法、不等式法、數形結合法等。
　　所謂換元法求函數值域，就是運用三角代換或代數代換，把所給得不易求值域的函數轉化為另一個易求的或比較熟悉的函數，再求出它的值域。
　　3.3.1三角代換
　　例14：求函數y=x+的值域。
　　分析：考慮到函數的定義域為［-1，1］，且有x+（）=1，容易聯想到三角公式sinθ+cosθ=1，故可用三角代換法。
　　解：設x=sinθ，θ∈-，，則=cosθ
　　∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
　　∵θ∈-，
　　∴θ+∈-，
　　因而
　　sin（θ+）∈-，1，sin（θ+）∈［-1，］
　　故原函數的值域為［-1，］。
　　3.3.2代數替換
　　例15：求y=x+的值域。
　　解：設t=≥0，則x=，∴y=+t=-（t-1）+1，易知當t=1時，y取最大值1.∴y∈（-∞，1］。
　　評價：對于求形如y=ax+b+函數值域問題，通常令t=≥0，則x=，使之變為求關于t的二次函數在［0，+∞）上的值域問題。
　　4.結語
　　從一種形態轉化到另一種形態，這是數學發展的一個杠桿，也是解題常用的手段。數學史中這樣的例子很多，無論是對一些具體問題的解決，還是在經典的數學方法中，都無不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實也是這一思想的具體體現。
　　學會運用換元法，不但可以溝通數學各個分支之間的聯系，而且可以擴大視野，培養學習興趣。平時在解決一些數學難題時要善于利用換元即變量替換，這樣可以使復雜問題的本質特征更加顯現，因此應用換元法可以解題化繁為簡，避難而易，起到拋磚引玉，收到事半功倍的效果。總之，各種換元法不是彼此孤立的，而是相互聯系的，在解題時同時考慮多種換元法，巧用換元法，可以使問題簡明容易，拓寬自己的思維，開創自己的創新思維。
　　
　　參考文獻：
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