“圓的方程”教學案

　　教學目標：
　　1．認識圓的標準方程并掌握推導圓的方程的思想方法。
　　2．掌握圓的標準方程，并能根據方程寫出圓心的坐標和圓的半徑。
　　3．能根據所給條件，通過求半徑和圓心的方法求圓的標準方程。
　　教學重點：
　　圓的標準方程及其運用。
　　教學難點：
　　圓的標準方程的推導和運用。
　　教學過程：
　　1.問題情境
　　（1）情境：河北趙州橋是世界上歷史最悠久的石拱橋，其圓拱所在的曲線是圓，我們能否表示出該圓弧所在圓的方程呢？
　　（2）問題：①在表示方程以前我們應該先考查有沒有坐標系？如果沒有坐標系，我們應該怎樣建立坐標系？如何找到表示方程的等式？②回憶初中有關圓的定義，怎樣用方程將圓表示出來？
　　2.圓的標準方程
　　（1）一般的，設點P（x，y）是以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓上的任意一點，則|CP|=r，由兩點間距離公式，得到：=r即（x-a）+（y-b）=r（1）；反過來，若Q點的坐標（x，y）是方程（1）的解，則
　　（x-a）+（y-b）=r，即=r，這說明點Q（x，y）到點C（a，b）的距離為r，即點Q在以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓上；方程（x-a）+（y-b）=r（r＞0）叫做以（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標準方程。
　　（2）當圓心在原點（0，0）時，圓的方程則為x+y=r（r＞0）。
　　（3）特別的，圓心在原點且半徑為１的圓通常稱為單位圓；其方程為x+y=1。
　　3.例題講解
　　例1．分別說出下列圓方程所表示圓的圓心與半徑：
　　（1）（x-2）+（y-3）=7 （2）（x+5）+（y+4）=18
　　（3）x+（y+1）=3 （4）x+y=144
　　（5）（x-4）+y=4
　　教師指出：已知圓的標準方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑。
　　例2．根據下列條件，求出符合條件的圓的標準方程。
　　（1）圓心為A（2，-3），半徑長為5。
　　（2）圓心是C（2，3），且經過原點。
　　（3）已知兩點P（4，9），Q（6，3），以線段PQ為直徑。
　　（4）圓心在y=-x上且過兩點（2，0），（0，-4）。
　　（5）以點A（1，2）為圓心，并且和x軸相切的。
　　（6）圓心在直線2x+y=0上，且與直線x+y-1=0切于點（2，-1）。
　　（7）圓心在直線5x-3y-8=0上，且與兩坐標軸都相切。
　　略解：（1）（x-2）+（y+3）=25；（2）（x-2）+（y+3）=13；（3）（x-5）+（y-6）=10；（4）（x-3）+（y+3）=10；（5）（x-1）+（y-2）=4；（6）（x-1）+（y+2）=2；（7）（x-4）+（y-4）=16或（x-1）+（y+1）=1
　　注：（1）圓的標準方程有a，b，r三個參數，因此求圓的方程需要三個獨立的條件；（2）解題時注意圓的性質的應用，如垂徑定理，過切點的半徑垂直切線，等等。
　　例3.判斷點M（5，-7），N（-，-1）是否在例2（1）的圓上。
　　解：把點M（5，-7）代入方程得：（5-2）+（-7+3）=3+4=25，即點M（5，-7）的坐標適合方程，∴點M（5，-7）是這個圓上的點。
　　把點N（-，-1）的坐標代入方程得：（--2）+（-1+3）=13+4≠25，即點N（-，-1）坐標不適合圓的方程，∴點N不在這個圓上。
　　問：點N在圓內還是圓外呢？（圓內）
　　結論：點與圓的位置關系：
　　點與圓心的距離為d，半徑為r，則
　　點在圓上?圳d=r?圳（x-a）+（y-b）=r；
　　點在圓內?圳d＜r?圳（x-a）+（y-b）＜r；
　　點在圓外?圳d＞r?圳（x-a）+（y-b）＞r。
　　例4．已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線的一側行駛，車輛寬度為3m，高為3.5m的貨車能不能駛入這個隧道？
　　解：以某一截面半圓的圓心為原點，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系，如圖所示，那么半圓的方程為：x+y=16（y≥0）。
　　將x=3代入得y==＜=3＜3.5
　　即離中心線3m處，隧道的高度低于貨車的高度，
　　因此，該貨車不能駛入這個隧道。
　　思考：是否有其他方法？
　　析：貨車截面對角線與半徑比較。
　　思考：假設貨車的最大的寬度為am，那么貨車要駛入高隧道，限高為多少？
　　略解：將x=a代入得y=，即限高為m。
　　4．課堂小結
　　（1）圓的標準方程及其表示的圓心和半徑。
　　（2）建系思想和方程思想。