慣性力解析

　　摘 要： 慣性是物理學(xué)中最基本的概念之一。由于牛頓運(yùn)動(dòng)定律只在一定的參考系中成立，因此在經(jīng)典物理學(xué)課程中都對(duì)慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分。從慣性力的引入及慣性力的性質(zhì)出發(fā)，可對(duì)慣性力有更深的認(rèn)識(shí)。
　　關(guān)鍵詞： 慣性 慣性力 慣性系 非慣性系 保守力
　　
　　1.引言
　　慣性是物理學(xué)中最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)物理學(xué)最早遇到的概念之一。這一極為普通和基本的概念曾經(jīng)引導(dǎo)許多物理學(xué)家深入思考和剖析。由于牛頓運(yùn)動(dòng)定律只在一定的參考系中成立，因此在經(jīng)典物理學(xué)課程中都對(duì)慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分，但在不同專業(yè)的經(jīng)典物理教學(xué)中對(duì)這個(gè)問題的處理是不同的。在物理專業(yè)的力學(xué)礎(chǔ)中只介紹牽連平動(dòng)慣性力和牽連慣性離心力；在理論力學(xué)教學(xué)中則介紹了慣性力的概念；而大多數(shù)普通物理的教學(xué)中卻未引入慣性力定義，只是在近幾年的一些基礎(chǔ)物理教材中才有慣性力的介紹，但幾乎都未對(duì)慣性力的性質(zhì)進(jìn)行深入探討。本文在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)，對(duì)慣性力存在的原因和保守特性進(jìn)行了討論，并對(duì)慣性力的應(yīng)用和慣性力場(chǎng)進(jìn)行了探討。
　　2.慣性系及慣性力的引入
　　運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的，對(duì)于不同的參考系同一物體的運(yùn)動(dòng)形式是相對(duì)的，對(duì)于不同的參考系同一物體的運(yùn)動(dòng)形式可以不同。盡管如此，相對(duì)于任意參考系，運(yùn)動(dòng)的描述都是有意義的，因而如果問題只涉及運(yùn)動(dòng)的描述，那么完全可以根據(jù)研究問題的方便任意選擇參考系。但是問題如果涉及運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，即要應(yīng)用牛頓定律時(shí)，是否也可以任意選擇參考系呢？
　　先看下面的這個(gè)例子：站臺(tái)上停著一輛小車，相對(duì)于地面參考系，小車停著時(shí)，加速度為零，是因?yàn)樽饔迷谒系牧ο嗷テ胶猓春狭榱愕木壒剩@符合牛頓定律。如果從加速啟動(dòng)的列車內(nèi)觀察這小車，即相對(duì)于作加速運(yùn)動(dòng)的車廂參考系來分析小車的運(yùn)動(dòng)將發(fā)現(xiàn)小車向車體前進(jìn)相反的方向作加速運(yùn)動(dòng)，而它的受力情況并沒有改變，合力仍然為零。合力為零而有了加速度，這是違背牛頓定律的，因此相對(duì)做加速運(yùn)動(dòng)的車廂參考系，牛頓定律不成立。
　　這樣，在有些參考系中牛頓定律成立，而在另外一些參考系中牛頓定律不成立。實(shí)際上，牛頓定律在慣性參考系中才成立，慣性參考系就是牛頓第一定律定義的參考系，在此參考系中，一個(gè)不受力作用的物體將保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)。
　　慣性系有這樣一個(gè)重要的性質(zhì)，即如果我們確認(rèn)了某一參考系為慣性系，則相對(duì)于此參考系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的任何其他參考系也一定是慣性系，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)物體不受力作用時(shí)相對(duì)于那個(gè)原始慣性系靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則在任何相對(duì)于這原始慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系中觀測(cè)，也必然做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止，這也是在不受力作用的情況下發(fā)生的。因此根據(jù)定義，后者也是慣性系。
　　在實(shí)際問題中常常需要在非慣性系中觀察和處理物體的運(yùn)動(dòng)，如上所述，在這樣的參考系中牛頓定律是不成立的，但是為了方便，我們常常利用牛頓第二定律分析問題，為此我們引入了慣性力這一概念。
　　首先我們討論加速平動(dòng)參考系的情況。設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m相對(duì)某一慣性系S，它在實(shí)際的外力作用下產(chǎn)生加速度a，根據(jù)牛頓第二定律有
　　F=ma（1）
　　設(shè)想有另一參考系S′，相對(duì)于慣性系S以加速度a平動(dòng)。在S′參考系中，質(zhì)點(diǎn)的加速度是a′由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性可知
　　a=a′+a（2）
　　將（1）代入（2）中可得F=m（a′+a）=ma′+ma，質(zhì)點(diǎn)受的合外力F并不等于ma′，因此牛頓定律在參考系S′中不成立。但是如果我們認(rèn)為在S′系中觀察時(shí)，除了實(shí)際的外力F外，質(zhì)點(diǎn)還受到一個(gè)大小和方向由（-ma）表示的力，并將此力計(jì)入合力之內(nèi)得
　　F+（-ma）=ma′（3）
　　則（3）就形式上理解為在S′系內(nèi)觀察質(zhì)點(diǎn)所受的合外力也等于它的質(zhì)量和加速度的乘積。因而也就可以在形式上應(yīng)用牛頓第二定律了。
　　為了在非慣性系中形式地應(yīng)用牛頓第二定律而必須引入的力叫做慣性力。由（3）可知在加速平動(dòng)參考系中，慣性力的大于等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和該非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度的乘積，而方向與此加速度的方向相反。則有慣性力的定義式
　　F=-ma（4）
　　引入了慣性力，在非慣性系中我們就有了下述的牛頓第二定律的形式
　　F+F=ma′（5）
　　慣性力F是形式上的“假想的”力，真實(shí)的力有施力物體，慣性力沒有施力物體。它是參考系的非慣性運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)形式，或者說是物體的慣性在非慣性系中的表現(xiàn)。它不是物體間的相互作用，也沒有反作用力。因此慣性力又稱作虛擬力。
　　例：在水平軌道上有一節(jié)車廂以加速度a行進(jìn)，在車廂中看到有一質(zhì)量為m的小球靜止地懸掛在天花板上（見圖1），試以車廂為參考系求出懸線與豎直方向的夾角。
　　解：在車廂內(nèi)觀察小球是靜止的，即a′=0，它受的力除了重力和線的拉力外，還有一慣性力F=-ma，三力平衡。
　　相對(duì)于車廂參考系，對(duì)小球用牛頓第二定律則有
　　x′方向：Tsinθ-F=ma′=0
　　y′方向：Tcosθ-mg=ma′=0
　　將F=ma代入上式，消去T，可得θ=tan（a/g）。
　　慣性力和相互作用力不同。首先，慣性力不是相互作用的，不存在慣性力的反作用力；其次，無論在慣性系還是非慣性系中，都能觀測(cè)到相互作用力，但只有在非慣性系中才能觀測(cè)到慣性力。
　　3.保守力的概念的回顧與總結(jié)
　　在物理學(xué)中經(jīng)常遇到這樣一些力，它們對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑無關(guān)，而只與質(zhì)點(diǎn)的初、末位置有關(guān)，我們把這種力稱為保守力。如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在質(zhì)點(diǎn)的無窮小位移中所做的元功能夠?qū)懗赡骋粯?biāo)量函數(shù)的全微分，即
　　F·dr=dU（6）
　　則此力F定是保守力。因此，保守力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一段路程上所作總功等于函數(shù)U在路徑的終、初位置的值之差，即
　　?蘩F·dr=U-U（7）
　　如果質(zhì)點(diǎn)沿封閉軌道運(yùn)動(dòng)，則作用于質(zhì)點(diǎn)上的保守力沿封閉路徑對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做總功為零，即?蘩F·dr=0也可以用此力的旋度表示為
　　?塄×F=0（r=0點(diǎn)除外）（8）
　　因此，一般的，如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力是一個(gè)與時(shí)間及質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)的力，那么這個(gè)力才可能是保守力。如果力或它的各個(gè)分量?jī)H為位置坐標(biāo)的函數(shù)，又滿足（6）式或（8）式時(shí)，它才是保守力。
　　例如，質(zhì)點(diǎn)在地面附近所受的重力mg，方向豎直向下，以地面為坐標(biāo)豎直向上為Z軸方向，則重力的元功mg·dr=-mgdz=d（-mgz）可寫成-mgz的全微分，故重力是保守力。彈簧的彈性力也是保守力，此外，萬有引力、靜電場(chǎng)力等均屬保守力。
　　4.慣性力是保守力還是非保守力
　　在有些情況下，在非慣性系中出現(xiàn)的一些慣性力也表現(xiàn)出保守力的特點(diǎn)，可當(dāng)作保守力處理。
　　4.1在直線加速平動(dòng)的非慣性系中，如果非慣性系的平動(dòng)加速度是常矢量（a=a′常矢量），即質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力是一常矢量（-ma），則在非慣性系中研究問題時(shí)，可將此慣性力F當(dāng)作保守力來處理。因?yàn)樵诜菓T性系中，F(xiàn)是一個(gè)常矢量，所以有?塄×F=0。可見勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)參考系中的慣性力可當(dāng)作保守力處理。
　　4.2設(shè)S′系相對(duì)于慣性系S系具有的平動(dòng)加速度a為變矢量:a=a（t）。雖然此時(shí)的慣性力場(chǎng)為無旋場(chǎng)，具有勢(shì)函數(shù)，但慣性力F=-ma=F（t）為顯含時(shí)間t的變量，因此這時(shí)的慣性力場(chǎng)為一瞬變場(chǎng)，其等勢(shì)面僅瞬時(shí)意義。因做功過程是在一定時(shí)間內(nèi)完成的，在運(yùn)用積分計(jì)算慣性力F做功時(shí)不能將時(shí)間參數(shù)t固定，所以質(zhì)點(diǎn)在慣性力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力F做的功并非等于勢(shì)函數(shù)的增量。因此該慣性力場(chǎng)不是保守力場(chǎng)。此種情況的慣性力F不是保守力。
　　4.3在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的加速參考坐標(biāo)系中，設(shè)S′相對(duì)于慣性系S系以均角速度ω定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到的慣性力F為慣性離心力F和科里奧利力F之和，即
　　F=F+F=-mω×（ω×r）-2m（ω×U）（9）
　　式中的科里奧利力F垂直于相對(duì)速度U，即垂直于位矢微元dr，所以質(zhì)點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過中科里奧利力F不做功。
　　4.3.1對(duì)于-mω×（ω×r）取旋度
　　因?yàn)棣亍粒é亍羠）=ω（ω·r）-ωr
　　所以?塄×［ω×（ω×r）］=?塄×［ω（ω×r）-ωr］
　　?塄×ω（ω·r）-?塄×ωr
　　ω?塄×r-ω?塄×r=0
　　結(jié)果表明，慣性離心力是由于轉(zhuǎn)動(dòng)引起的，在S′系中它是保守力。
　　4.3.2對(duì)-2m（ω×U）取旋度
　　?塄×（ω×U）=（U·?塄）ω-（ω·?塄）U+ω（?塄·U）-U（?塄·ω）
　　≠0（10）
　　結(jié)果表明，科里奧利力為非保守力，它由參考系S′的轉(zhuǎn)動(dòng)及質(zhì)點(diǎn)在S′系中運(yùn)動(dòng)引起的。不能簡(jiǎn)化為某一勢(shì)函數(shù)U的梯度。
　　綜上所述，通常所指的慣性力就是以上四種慣性力的統(tǒng)稱，因此，不能說慣性力就是非慣性系所具有的屬性，也不能說慣性力是保守力，或是非保守力。
　　例題：證有心力是保守力。
　　在極坐標(biāo)系中，力的分布和幅角θ無關(guān)；F=F（r）是具有對(duì)稱性的有心力場(chǎng)，根據(jù)dA=Fdr+Fdθ知僅徑向力做功，質(zhì)點(diǎn)自r沿某曲線運(yùn)動(dòng)至r場(chǎng)力的功為
　　A=?蘩F（r）dr（11）
　　積分結(jié)果僅取決于上下限，即始末位置，故有心力場(chǎng)的功也與路徑無關(guān)，因此有心力也是保守力。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程:力學(xué).北京：高等教育出版社，2005.6.
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