對一道高考全國物理題的解法研究

　　2008年高考全國物理第23題是一道非數值型的純運動學試題，題意簡單明了，初看此題，考生便會激起拿下它的強烈的求解欲望。但據當年考后調查，歷經了“練兵千日，用在一時”磨練的莘莘學子卻大多在此題面前敗下陣來。我最近探討了該題的解法，發現猶如進入科學迷宮，其解題思路的切入點，各種思路的解及其解的變化綿延不絕，奧妙無窮，令人嘆為觀止，最終不得不給該題定論：這是一道看起來容易，解起來難，同時又是考查考生科學的思維能力、解決問題的能力及應變能力的好題。現將自己對該題解法研究的結果呈現給大家，以拋磚引玉。
　　【題目】已知O、A、B、C為同一直線上的四點，AB間的距離為l，BC間的距離為l，一物體自O點由靜止出發，沿此直線做勻加速運動，依次經過A、B、C三點，已知物體通過AB段與BC段所用的時間相等。求O與A的距離。
　　（原解略）
　　思路1：利用并圍繞速度公式求解。
　　該思路是以勻變速直線運動的速度公式v=v+at為基準，然后根據運動學的其余規律及特點，逐個確定該式中的各個物理量，最后代入該式求出結果。
　　解：設物體加速度為a，通過AB、BC段的時間為t，A、B點速度分別為v、v，OA間距離為l。根據速度公式有
　　v=v+at（1）
　　AB、BC段時間相等，故
　　v=（2）
　　且l-l=at（3）
　　對OA段有
　　v=2al（4）
　　將（2）（3）（4）代入（1）式
　　=+
　　即得
　　l=
　　變解：列出（1）（2）（3）式，再對OA段列出v=at與l=at兩式，也可得解。
　　思路2：利用位移公式求解。
　　該思路是根據勻變速直線運動的位移公式x=vt+at，分別列出OA、AB、BC三段的位移方程，然后解這些方程即可。
　　解：設物體通過OA段的時間為t，其余如上。有
　　l=at（1）
　　l=at·t+at（2）
　　l=a（t+t）t+at（3）
　　解得l=
　　變解：列出（1）式，再列出以下兩式
　　l+l=a（t+t）（2）′
　　l+l+l=a（t+2t）（3）′
　　由（1）（2）′（3）′式可得所求。
　　思路3：利用位移差的等量關系求解。
　　位移差的等量關系表現在兩個方面，其一是位移之差的幾何關系，即OA間距離等于OB與AB間距離之差；其二是做勻變速直線運動的物體，通過連續相鄰相等時間內的位移差等于恒量。本題可用該思路求解。
　　解：假設如上。
　　根據位移差的幾何關系有
　　l=s-l（1）
　　物體通過AB和BC段的時間相等有
　　l-l=at（2）
　　因為s=
　　且v=
　　所以s=（3）
　　解得l=
　　變解：列出（1）（2）式，再列出s=vt，v=at與v=三式即可。
　　思路4：利用速度—位移公式求解。
　　根據勻變速直線運動的速度公式和位移公式，消去時間t，導出的公式v-v=2ax叫速度—位移公式。本思路利用該公式，再列出一個輔助方程，即可得解。
　　解：假設如上，再設C點速度v，則
　　從O到A：v=2al（1）
　　從A到B：v-v=2al（2）
　　從B到C：v-v=2al（3）
　　又物體在B點時的速度v=（4）
　　解得：v=·a（5）［注解1］
　　將（5）式代入（1）式得
　　l==
　　思路5：利用位移—平均速度公式求解。
　　根據勻變速直線運動的速度公式和位移公式，消去加速度a，導出的公式x=（v+v）t=t叫位移—平均速度公式。本思路利用該公式，再列出一些輔助方程，也可得解。
　　解：假設如上。
　　有
　　l=vt（1）
　　l=（v+v）t（2）
　　l=（v+v）t（3）
　　又v=（v+v）（4）
　　v=at（5）
　　v=v+2at（6）
　　由（2）（3）（6）式得
　　l-l=at（7）
　　由（2）（3）（4）式得
　　v=（8）
　　再根據（1）（5）（7）（8）式得
　　l=
　　變解：列出（2）（3）（4）式，再列出（5）′式，即可求得O到A的距離l。
　　v=2a（l+l+l）（5）′
　　由（2）（3）（4）式得
　　v=（6）′
　　將（6）′式代入（5）′式解得
　　l=
　　思路6：利用平均速度與瞬時速度的關系求解。
　　做勻變速直線運動的物體，在某段時間內的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，表示為v===（v+v）。本題可用這個關系方便地求解。
　　解：假設如上，再設AB段中間時刻的速度為v，
　　則v=a（t+t）。
　　因v=，且l-l=at，所以=（t+t）
　　即t=-
　　于是得OA間距離
　　s=at=（-）=
　　變解1：假設如上。
　　A點速度v=v-a·
　　因為v=
　　所以v=-a·（1）
　　又l-l=at（2）
　　OA間距離l=（3）
　　由（1）（2）（3）式解得
　　l===
　　變解2：假設如上，再設BC段中間時刻的瞬時速度為v，則
　　v==，v===
　　得=
　　因為v=at，v=a（t+t），v=a（t+2t），代入上式得
　　t=t
　　又l-l=at
　　故OA間距離
　　l=at=at=
　　思路7：利用時間關系求解。
　　本思路是利用AB段和BC段的時間相等求解。
　　解：假設如上，再設物體從O到A、B、C各點的時間分別為t、t、t。
　　則由x=at得t=，t=，t=
　　因為t-t=t-t
　　所以2t=t+t
　　將以上各時間代入
　　2=+
　　解得
　　l=
　　變解：假設如上。則由v=2ax得物體經過A、B、C三點時的速度分別為v=，v=，v=
　　因AB段平均速度=
　　BC段平均速度=
　　又物體通過AB段和BC段的時間相等，即=
　　所以=
　　解得OA間距離［注02e71f99ecb44ad16eac60a5bb4637b1解2］
　　l=
　　思路8：利用圖像法求解。
　　圖像法是研究勻變速直線運動的一種常用方法。特別對初速度為零的勻加速直線運動的題目，若能用圖像法求解，則會使解題過程變得意想不到的便捷。本題用v-t圖像求解。
　　解：據題意作v-t圖像如下，假設如圖所示。
　　由圖可得=
　　=
　　解得l=
　　思路9：利用比例式求解。
　　因本題物體的初速度為零，且做勻加速直線運動，故可用比例式求解。
　　解：將OA段時間按AB和BC段的大小n等分，則AB和BC段時間分別為第（n+1）、（n+2）等分。
　　由初速度為零的勻加速直線運動的比例式：
　　x∶x∶x∶…∶x∶l∶l=1∶3∶5∶…∶（2n-1）∶（2n+1）∶（2n+3）
　　有=，得
　　n=（1）
　　同時有x∶l=1∶（2n+1），得
　　x=（2）
　　OA間的距離
　　l=x+x+x+…+x=x+3x+5x+…+（2n-1）x
　　 =x［1+3+5+…+（2n-1）］=xn（3）
　　由以上各式解得l=xn=
　　看得出，以上諸解幾乎囊括了勻變速直線運動的全部內容。然而，該試題的解題思路，對應的解，以及解的變化不會僅此而已，有待大家予以補充。我們研究過去試題的解法，目的在于展現命題者的匠心獨具，挖掘試題潛在的教育功能，并借此為后來參加高考的人們從一個側面領略自然科學的博大精深，摒棄題海戰術，崇尚科學精神，掌握科學方法，尋求最佳解題途徑提供有益的幫助。
　　注解：（供參考）
　　注解1：由（2）式：v-v=2al，得（v-v）（v+v）=2al（2）′
　　由（3）式：v-v=2al，得（v-v）（v+v）=2al（3）′
　　由（4）式：v=，得v-v=v-v（4）′
　　再根據（2）′（3）′（4）′得：v=v（5）′
　　（2）+（3）式：v-v=2a（l+l），再將（5）′代入得：
　　v=v-2a（l+l）=·v-2a（l+l）
　　即v［-1］=2a（l+l）
　　也即v（l-6ll+9l-l+6ll-9l）=2a（l+l）（l-3l）
　　化解、整理后得到（6）式：v=·a
　　注解2：由=
　　得：l-l=（l-l），等式兩邊平方：
　　l（l+l+l）+ll-2ll=（l-l）（l+l），移項：
　　l（l+l+l）+ll-（l-2ll+l）（l+l）=2ll，
　　化解后得：3ll-ll+2lll=2ll
　　即3l-l+2l=2，等式兩邊再次平方：
　　（3l-l）+4l（3l-l）+4l=4l+4ll+4ll，
　　化簡后得到最后結果：l=