基于導數巧解不等式證明問題

　　摘 要： 導數已經成為中學數學的重要組成部分，導數的引入拓展了數學解題方法的研究領域。本文通過對導數在不等式證明中的應用進行分析，開辟了證明不等式的許多新途徑，給不等式的證明問題注入新的生機和活力，加深了學生對不等式的理解和直觀認識。
　　關鍵詞： 導數 不等式證明問題 應用
　　
　　充分利用導數解決不等式證明的問題，可以加強對學生的辯證思維教育，使學生能以導數為工具研究不等式，為解決不等式證明問題提供更有效的途徑、更簡潔的手段，加深對不等式的理解和直觀認識。本文通過一些具體的實例來說明導數在解決不等式證明問題中的巧妙應用。
　　一、利用導數并結合函數單調性證明函數不等式
　　例1.1：已知函數f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xln（x），求證：當0＜a＜b時，有g（a）+g（b）-2g（）＞0.
　　證明：令F（x）=g（a）+g（x）-2g（），
　　則簡單計算可得
　　F′（x）=ln（x）-ln（）
　　當0＜x＜a時，有F′（x）＜0，故F（x）在（0，a）上為減函數.
　　當x＞a時，有F′（x）＞0，故F（x）在（a，+∞）上為增函數.
　　從而，當x=a時，F（x）有極小值F（a）.進而注意到F（a）=0并且b＞a，可得F（b）＞0，即g（a）+g（b）-2g（）＞0.
　　本題通過巧妙地構造輔助函數，然后利用導數證明該函數的增減性來證明函數不等式。另外，有些題目卻需要把不等式變形后再構造輔助函數，然后利用導數證明該函數的單調性，從而達到證明不等式的目的。
　　例1.2：求證：不等式b＜a，其中e＜a＜b，e為自然對數的底數.
　　證明：對不等式b＜a兩邊做對數變換，并簡單計算可得aln（b）-bln（a）＜0.
　　另外，由自然對數函數為單調增函數可知，為證該小題，只需證
　　aln（b）-bln（a）＜0
　　令F（x）=aln（x）-xln（a），e＜a＜x，則有
　　F′（x）=-ln（a）
　　注意到e＜a，以及a＜x，可得＜1和ln（a）＞1.進而可得F′（x）＞0，因此有F（x）在（e，+∞）上遞增.又因為a＜b，所以有F（a）＜F（b），即：
　　0=aln（a）-aln（a）＜bln（a）-aln（b）
　　進而可得aln（b）＜bln（a），因此有不等式b＜a成立.
　　二、通過利用導數求出函數的最值進行證明不等式
　　例2.1：求證：不等式（）＜e恒成立.
　　證明：令F（x）=ln（x）-，x＞1，則由F′（x）=0，可得x=e.并且當1＜x＜e時，F′（x）＞0，所以函數F（x）在（1，e）上單調遞增.而且當x＞e時，F′（x）＜0，所以函數在（e，+∞）上單調遞減.因此當x=e時，F（x）取到最大值.進而，對任意的x∈（1，+∞），恒有F（x）≤F（e）=0，即
　　ln（x）-≤0
　　另外，注意到＞1且≠e，所以有ln（）＜，再進行簡單化簡可得
　　ln（）＜
　　本題雖是數列不等式，但是我們通過巧妙地將其轉化為函數不等式，然后利用導數證明該函數不等式，最后再將函數不等式轉化為數列不等式，從而達到證明數列不等式的目的。這也體現了化歸思維方法在證明不等式中的應用。
　　三、利用導數巧解不等式恒成立
　　不等式恒成立問題一般會涉及求某個參數a的范圍。解這一類題目的一般思路是把參數分離出來轉化為a＞h（x）或a＜h（x）恒成立，從而把不等式恒成立問題轉化為求函數最值的問題，進而利用導數求出函數最值，解決不等式恒成立問題。
　　例3.1：令f（x）=（+），如果對任意的自變量x＞0，恒有f（x）≥3，試求a的取值范圍.
　　解：由f（x）≥3對一切x∈（0，+∞）恒成立，可知+≥對一切x∈（0，+∞）恒成立，即對x∈（0，+∞）恒有
　　a≥x-x
　　令h（x）=x-x，則
　　h′（x）=-
　　令h′（x）=0，可得x=.并且當0＜x＜時，有h′（x）＞0；當x＞時，有h′（x）＜0.所以h（x）在區間（0，）上單調遞增，而在區間（，+∞）上單調遞減.故h（x）的最大值為h（）=.因此可得a≥.
　　近幾年高考新課程卷中經常出現用導數解決不等式證明的內容，而此類問題的難度設置比較靈活，具有內容新、背景新、方法新等特點，預計在今后的高考中還會進一步加大考查力度。總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中用到函數的單調性或最值，我們都可以巧妙地利用導數的性質來解決。導數已經由以前的在解決問題的輔助地位上升為分析和解決問題時必不可少的工具。
　　
　　參考文獻：
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　　基金項目：本文由廣西自然科學基金（2010GXNXSFB013051），河池學院研究生科研啟動基金（2008QS-N014），以及河池學院應用數學重點建設項目（院科研［2007］2號）資助。