排列組合應用題教學的幾點體會

　　摘 要： 排列組合是中學階段學習的重要內容，是學習高等數學所必須具備的基礎知識，這部分內容具有較抽象，應用題結論難以預算，易重復和遺漏，不易發現等特點。作者在排列組合應用題教學中，狠抓基本解法，發散思路、一題多解兩個方面，頗有成效。
　　關鍵詞： 排列組合應用題 基本解法 發散思路，一題多解
　　
　　中學階段學習的排列組合，既是為學習二項式定理、概率初步作準備，又是今后學習高等數學所必須具備的基礎知識。這部分內容具有較抽象，應用題結論難以驗算、易重復和遺漏、不易發現等特點。但是，只要在內容上合理安排，抓住關鍵，善于誘導、啟發，教法靈活多樣，遵循由淺入深、從易到難、循序漸進的原則，著重邏輯思維的培養，就能克服這些難點。
　　我在排列組合應用題教學中，狠抓四個環節（即“兩個原則，兩個概念，基本解法，發散思路、一題多解”）的教學，頗有收效，下面我重點就后兩個環節談點體會。
　　一、基本解法
　　對于排列組合的應用題解法有：
　　直接法分步法（用乘法原理相乘得）分類法（用加法原理相加得）
　　間接法：排除法（不受條件限制的總排列數減去不合條件的排列數）
　　關于排列組合應用題可大致分為三類：
　　（1）單純的排列（組合）題。
　　（2）有附加條件的排列（組合）題。
　　（3）排列組合綜合題。
　　下面分別進行討論。
　　1.單純的排列（組合）題
　　這一類型的應用題可直接依據排列（組合）公式得出或利用乘法原理得出。
　　例1：10個座位，5個人去坐，每人坐一個座位，有幾種坐法？
　　解法一：以人當“位子”，座位當“元素”，以從10個元素里每次取5個元素的一種排列對應一種坐法，因此共有種A種坐法。
　　解法二：以人為主來考慮，設5個人為甲、乙、丙、丁、戊，甲去坐位子的方法有10種；甲坐好后，乙的坐法只有9種，甲、乙兩人不論哪一種方法坐好后，丙去坐的方法只有8種……依乘法原理，共有10×9×8×7×6種，這恰好是A種坐法。
　　2.有附加條件的排列（組合）題
　　這一類型的應用題關鍵在于引導學生如何處理特殊元素（被條件限制的元素）與特殊位置（被條件所限制的位置）的關系問題。這一題型以“排隊”、“組數”等問題為多見。下面就一題談其解法，并試圖揭示其技巧。
　　例2：用0、1、2、3、4、5這6個數字組成多少個不重復的六位奇數？
　　解法一：要構成這樣的六位奇數，可先考慮末位，其次考慮首位，最后考慮中間四位。末位的排法有A個，首位的排列有A個，中間排法有A個，由乘法原理可知，合乎條件的排法有A·A·A=288（個）。
　　這是分步法，它的思路是：
　　（1）找出特殊位置（條件限制）；（2）求出特殊位置上的排列數；（3）求出其它位置上的排列數；（中間四位A種）（4）利用乘法原理求出總排列數：A·A·A。?搖?搖
　　解法二：要構成這樣的六位數，可分為三類：個位為1；個位為3；個位為5。這三類的各自排列數都是A·A個，故用加法原理可知：合條件的排列總數為A·A+A·A+A·A=288（個）。
　　從解法中，我們可以看出，以特殊元素出發，把特殊元素在特殊位置上分類排出，再加而成。這就是我們常說的分類法，它的思路是：
　　（1）找出特殊元素；（2）考慮特元在特位上的排列數；（3）考慮分類各自的排列數；?搖?搖（1?搖?搖3?搖?搖5）?搖?搖?搖?搖?搖?搖
　　（4）再用加法原理。（都是A·A種）
　　在分類中，一般都是以限定條件來分類，故應注意：
　　（1）各種情況相互之間無重復部分。
　　（2）各類都必須合乎題目要求。
　　（3）必須沒有遺漏部分。
　　解法三：若無條件限制則總排列數應該是A個，其中不合條件的可看作四類：
　　①“0”在首位，排列數為A；
　　②“0”在個位，排列數為A；
　　③“2”在個位，排列數為A·A；
　　④“4”在個位，排列數為A·A；
　　所以合乎條件的排列為：A-（A+A+A·A+A·A）=288（個）
　　從上述解法三可以看出：總的排列數減去不合條件的排列數等于合乎條件的排列數，這種方法就是我們常說的間接法。
　　以上三種方法是解這類題目的常用方法，教師若教學有方，訓練得當，學生是很容易掌握的。
　　3.排列組合綜合題
　　這類題目是包含排列和組合的混合題，特別要求學生概念清楚，解題時，“分步”和“分類”合理。
　　例3：以6個男同學和4個女同學里，選出3個男同學和2個女同學分別承擔A、B、C、D、E五項工作，一共有多少種分配方法？
　　解法一：此題顯然用“分步法”較易，根據題目要求，必須依次完成“選出3個男同學”、“選出2個女同學”、“對選出的人分配不同的工作”三個步驟。可把同學當元素，工作看作位置，因選人是組合問題，所以男同學和女同學的選法分別為C和C種，將元素安排位置是排列問題，故選出的5個同學分配不同的工作有A種方法，根據乘法原理知，分配方法的總數為C.C·A=14400（種）。
　　解法二：也可把工作當作元素，同學看作位置，即把完成分配工作這件事分成為“先給男同學（女同學）分配工作，再給女同學（男同學）分配工作”兩個步聚進行。所以第一步以5種工作里任選出3種（組合問題）分給6個男同學所選出的3人（排列問題），有C·A種，再將余下的工作分給4個女同學的任2位，有方法A種，根據乘法原理知，分配方法總數一共有C·A·A=14400（種）。
　　二、發散思路，一題多解
　　發散思路、一題多解，是培養學生牢固掌握知識，靈活運用知識的一種好辦法，而一題多解更是培養學生發散性思維的一條重途徑（它具有流暢、變通，獨立等特征，是從多渠道中不拘泥常規，尋求解答的一種思維形式），所以在教學中鼓勵學生一題多解，不只對雙基訓練會收到事半功倍的效果，更會增強學生實際生活中的應變能力。
　　例4：0、1、2、3、4、5這6個數字可組成多少個不重復且能被5整除的五位數？
　　解法一：要構造這樣的五位數可分兩步：先挑個位和首位，再排中間三位。而個位的排法有A種，首位的排法有A種，故第一步共有排法A·A種。但此時包括個位和首位同時為5的情況，故合乎條件的首未兩位共有排法（A·A-1）種。中間三位的排列有A種。據乘法原理知，合乎條件的五位數是（A·A-1）·A=216（個）
　　解法二：可分兩類：
　　①個位是“0”的五位數有A個；
　　②個位是“5”的五位數有A·A個。
　　由加法原理知：合乎條件的五位數有：A+A·A=216（個）
　　解法三：若無條件限制選出五個數字的總排列為A個，即A排列中不合乎條件的可分為兩類：
　　①“0”在首位的排列有A個；
　　②個位為1、2、3、4的排列有A·A·A個
　　故符合條件的排列為：A-（A+A·A·A）=216（個）
　　解法四：也可這樣考慮：A個總排列中不合條件的排列有：
　　①個位為1、2、3、4的排列A×A（個）
　　②“0”在首位且個位為“5”有A個
　　故合乎條件的排列為：A-（A·A+A）=216（個）
　　解法五：合乎條件的個位是“0”和“5”，故有排列A個，合乎條件中的首位是1、2、3、4、5，故有排列A個，中間三位有排法A個，這樣的排列有A·A·A個，但這時“5”同時在首未兩位且“0”不在內的排列有A個（因為A·A·A個排列中“0”在內的排列都是合乎條件的排列）。故合乎條件的排列有A·A·A-A=216（個）。
　　教學中自始至終以“兩個原則”為紅線，從基本方法入手，抓住關鍵，點破規律，誘導啟發，發散思路，一題多解，這樣就能使學生在親身的探索中，掌握解題的技巧、培養探索能力，激發學生的興趣，收到良好的效果。