全概率公式和Bayes公式的推廣及其應用

　　摘要：為了使全概率公式和Bayes公式能適用于無窮不可列種情況，本文將這兩個公式推廣到積分形式，并舉例說明其應用。
　　關鍵詞：全概率公式；Bayes公式；積分
　　
　　全概率公式和Bayes公式都是概率論中的基本公式，并且有非常廣泛的應用。但其形式決定了這兩個公式的使用條件是樣本空間被分劃為有限的一組事件，下面進一步討論其推廣形式及其應用范圍，以便更好地利用這些基本公式。
　　一、全概率公式
　　對于一些較為復雜的概率問題，直接計算其概率可能很困難，往往可以將它們分解為一些較為簡單的情況來計算，全概率公式就是解決這類問題的一個工具。
　　定理（全概率公式） 設A1，A2，L，An是對樣本空間Ω的一個分劃，則對任何B∈F，有P(B)=P(AK)P(B|AK)。
　　此公式借助另外的事件組將一個事件分解為若干個簡單的事件，但只能分解為有限個事件。如果取n→∞，也可以得到將一個事件分解為可列個事件的全概率公式。但有時卻需要將事件分解為不可列種情況，這是就要用到全概率公式的積分形式：
　　定理（全概率公式的積分形式） 設連續隨機變量η的概率密度為f(x)，如果函數P(A|η=x)和f(x)在R上均有界且至多有限個間斷點，則有
　　P(A)=f(x)gP(A|η=x)dx
　　證明：因為函數P(A|η=x)和f(x)在R上均有界且至多有有限個間斷點，故f(x)gP(A|η=x)dx存在(a，b∈R)，又因為f(x)gP(A|η=x)≤f(x)且f(x)dx收斂，故f(x)gP(A|η=x)dx也收斂，同理f(x)gP(A|η=x)dx也收斂。考慮數列cn=fKgP(A|a+k△x-△x＜η＜a+k△x)g△x，其中△x=，fK=，則由全概率公式可得{cn}為常數數列且cn=P(Ag(a＜η＜b))，則=P(Ag(a＜η＜b))，即f(x)gP(A|η=x)dx=PAg(a＜η＜b)，上式兩邊同時取極限則結論得證。
　　該形式用于將一個事件分解為不可列種小事件，不可列種情況在實際應用中一般表現為某量取到了某值，下面是一個例子：
　　布豐設計出一個拋針實驗：在一張足夠大的紙上畫滿平行線，相鄰平行線間距為l。將一根長度為l的針任意地拋到紙上，求針與直線相交的概率。
　　容易發現任意拋出的針在紙上的方向（即與直線的夾角θ）是均勻分布的，且對于任一θ，針在垂直于直線方向上的投影長度為h=ιsinθ，針與直線相交的概率為h/ι=sinθ。則所求概率為P=dθ=。重復此實驗可以近似地求出圓周率。
　　也可以這樣考慮：h的分布函數為F(x)=，概率密度為f(x)=。而對任一h=x，針與直線相交的概率為，則所求概率為P=gdx=。
　　這雖然是兩種不同的思路，但都應用了推廣的全概率公式。
　　二、Bayes公式
　　定理（Bayes公式） 設A1，A2，L，An是對樣本空間Ω的一個分劃，則對任何B∈F，有P(AK/B)=，k=1，2，L，n
　　同樣地，我們可以把Bayes公式推廣到不可列個事件。
　　定理（Bayes公式的積分形式） 設連續隨機變量η的概率密度為f(x)，事件A發生的情況下η的概率密度為fA(x)，則有fA(x)=
　　證明：fA(x)gP(A)=P(Ag(-∞＜η＜x))=f(x)gP(A|η=x)dx，其中的積分收斂性證明與上文中的類似，不再贅述。兩邊對x求導再將P(A)=f(x)gP(A|η=x)dx代入，則原式得證。
　　這個公式可用來求特定條件下某隨機變量的概率密度，例如，
　　某物種的年齡分布的概率密度為f(t)=，其中0＜t＜20，患某病的概率與年齡有關，為P(A\=x)=，則患病個體的年齡分布概率密度為fA(x)==
　　可以看出，推廣的全概率公式和Bayes公式有更廣泛的應用，尤其適用于解決連續型隨機變量的有關問題。
　　
　　參考文獻：
　　[1]周圣武.概率論與數理統計[M].北京:煤炭工業出版社，2004.
　　[2]何書元.概率論[M].北京:北京大學出版社，2006.
　　（中國礦業大學孫越崎學院）
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”