操作是學生幾何知識內化的扶手

　　在小學數學幾何學習中為學生提供更多的操作機會，固然是基于適應兒童好奇愛動的天性，但更重要的是由數學幾何知識本身的特性所決定的。實踐證明，在小學幾何教學中，吸引和指導學生介入操作過程，可以為幾何知識的內化尋找到一條較佳的渠道。當然，由從操作到內化并不存在一條簡單的線性因果關系。我認為，為學生設置的操作活動必須經過以下幾個方面的優化，才能有效地促進幾何知識的內化。
　　一、通過操作引起認知矛盾，激活學習內驅力
　　小學生通過操作來學習幾何知識，往往能激發他們極大的好奇心和興趣。但是兒童的好奇心和興趣帶有很大的自我中心成分，對它的利用應當是有限度的、有指向的。通過操作激發學生的學習動機，關鍵在于引起學生新舊知識的矛盾沖突，產生認知不協調。新知識的獲得在某種意義上講，是已有知識結構的一種發展。當已有的知識不適合新問題的解決時，學生就會產生認知矛盾或認知不協調。這種矛盾是推動認識發展的內在動力，由它激起的學習動機最為持久，因而也最有助于知識的內化。例如，教學“圓的周長”時，讓學生通過把鐵絲圍成的圓圈截斷拉直，或用繩子甩動旋轉成圈，或測量自行車輪沿地上直線行駛一圈的長度等模擬操作，逐步引發學生的認識困惑，使他們感到用這些方法測量圓周長的不便和繁瑣，產生學習更簡單的方法的求知欲。又如，教學“圓的面積”時，需要辯證地認識曲線與直線的關系，視圓為方，化曲為直。它與學生的日常觀念是矛盾的，單靠教師講述或直觀演示，學生并不能體會和解決這種矛盾，可讓學生親自動手操作，把圓逐漸細分，使各個小扇形的弧逐漸變“直”（如下圖）。
　　學生在連續的操作過程中，隨著圖形的變化產生巨大的驚奇和大膽的想象，如繼續細分“弧”越變越直（如下圖）。
　　認知的矛盾驅使學生渴望得到最終的正確解答，這就為知識的內化奠定了動力基礎。
　　需要指出的是，在操作基礎上形成的認知矛盾不僅是為內化提供非認知條件（即機動條件），而且在很多情況下還為內化提供認知條件。也就是說，認知矛盾的轉化直接導致新知的內化。在幾何教學中，大量新知識都是以操作為基礎，并由舊知轉化或遷移而來的。像圓面積的計算公式可以通過拼三角形、長方形、平行四邊形、梯形等操作活動，借助已有的面積計算知識進行推導。如下圖：
　　由此可知，通過操作引發認知矛盾對于幾何知識的內化具有雙重功效，它是那些只引起一般興趣、好奇的操作活動所無法比擬的。
　　二、通過操作引導反身抽象，構建活動原理
　　“反身抽象”（也叫反省抽象或反思抽象）是對主體動作自身的協調、重組、再建，是由一系列操作構成的。研究和實踐都表明，反身抽象一般要經歷實物操作、表象操作和符號操作這幾個階段或環節。實物（或實物性）操作主要是外部現實動作的擺弄、觸摸、割補、拼接等。表象操作主要是具體形象的邏輯思考和語言的表達，它由低級到高級、由具體到概括、由外部到內部逐步轉化。我們在幾何教學中可以建立一種“動手——動眼——動腦（包括動口）”有機連動的操作教學模式，引導學生逐步完成幾何知識的內化。
　　例如，教學“長方形面積的計算”時，可以先讓學生連續進行實物性操作：用面積單位擺滿一個長方形。通過數出所擺面積單位的個數知道面積的平方數，或根據長方形已知的長和寬只擺一行與一列的面積單位，或根據每排所擺的個數和所擺的排數通過乘法計算求得面積的平方數，并說出每個長方形每排面積單位的個數及排數與長方形的長和寬之間有什么關系。接著讓學生擺脫實物性的擺弄，進行表象操作，觀察幻燈顯示的幾個大小不同的長方形，根據圖形已知的長與寬，在感知與想象中完成操作：沿長擺幾個面積單位，沿寬擺幾排，一共擺多少個面積單位，面積是多少。如下圖：
　　最后，水到渠成地進入符號操作階段，讓學生思考、討論“長方形的面積與什么有關”“面積的平方數與長和寬的長度有什么關系”“求長方形的面積需要知道哪些條件”等問題。學生在充分感知、觀察和想象的基礎上，通過分析比較、歸納總結出長方形面積計算公式，實現了由感性認識到理性認識的飛躍，知識的內化也逐漸完成。
　　反身抽象源于實物或實物性操作，這種操作是內化的基礎。沒有它，難以產生抽象思維形式，如概念的判斷、推理等。這種思維形式是不能從外部客體中獲得的。因此，在小學幾何教學中，應盡可能多地組織學生進行實物或實物性操作，而不輕易以教師的演示來取代學生的感知。但是，這種操作只是內化的起點，它所體現的思維還是運作性的。由此而產生的“概念”“判斷”乃至“推理”完全離不開特定的具體動作，因而遠不能揭示知識的內在聯系與法則。所以，應在充分體驗的基礎上，引導學生擺脫實際動作，進入較高級的表象操作階段，或者在體驗的同時就引導學生進行表象操作。表象操作階段應特別注意兩點：1.加強觀察的指導。學生的觀察是與教師的直觀演示相關的一種活動，教師無論是進行實物性操作演示，還是運用幻燈片等手段進行演示，都應當輔以語言的說明和指導，以規范調控學生的感知，使之與思維初步融合，培養學生的觀察力和直覺思維能力。2.進行必要的聯想和想象練習。小學幾何教學的一項重要任務是培養學生的空間觀念。它不僅離不開實物操作、觀察，同樣也離不開聯想和想象，而且聯想和想象由于擺脫了眼前實在的形象，對具有某種概括性的表象進行操作，抽象程度已大大提高，因此更有利于學生幾何知識的內化。如對圖形進行割補、填缺、移位、轉化、作輔助線等等，啟發學生進行想象，既獲得最佳的效果，又發展了空間想象力。
　　表象操作雖然具有一定的概括水平，但它仍然離不開具體形象的支撐，而內化最終是在符號操作的層次上完成的。因此，教師要善于抓住契機，引導學生對表象進行加工、整理，通過分析綜合、分類比較、抽象概括、判斷推理等思維活動，在符號操作的水平上理解、內化新知。為了檢驗學生思維的抽象化、符號化程度，通常還必須為學生提供具有無關特性干擾的例證（包括肯定例證和否定例證）讓他們判斷。例如，教學“平行線”時，可以通過操作、演示使學生從總體上了解兩條直線的幾種位置關系，并從中分離出“平行”這一種情況。在分類的背景中初步引入概念，為思維活動的深入發展奠定良好的基礎。而后，教師出示鐵軌、雙杠、練習本等圖形的兩條長邊和兩條寬邊，讓學生在觀察的基礎上進行歸納推理，找出平行線的共同特征，從而揭示平行線的概念。與此同時，還可以讓學生深入地思考并用語言表達出垂線和平行線的不同，以強化概念的內涵。在學生建立平行線的概念后，讓學生舉出生活中平行線的實例，并提供各種肯定例證的變式和否定例證讓學生辨別，并說明理由，進一步完善平行線的概念，檢查學生在概念、符號水平上對知識的內化情況。
　　三、通過操作引發主體意識，培養能動品格
　　操作活動本質上是主體性的，因為它的施動者是學生本人。它誘發學生的興趣，尤其是激活了推動學習活動的最重要的主觀因素和認知矛盾，特別有助于建立學生主體的認知結構，發展其思維能力。所有這些，都決定組織操作活動對培養學生的主體性具有最重要的意義和作用，而主體性又是實現知識內化的必不可少的條件。
　　當然，學生的操作活動畢竟處于教師的指導之下，它是否真正體現出學生的主體性，在很大意義上取決于教師的指導藝術。在教學過程中，教師可從以下幾方面培養學生學習幾何知識的主體性：1.鼓勵學生獨立操作，主動發現。這樣可以使學生獨立提出假設、操作驗證、推導演算等，從中經歷獲取知識的動態過程，從而提高內化的質量。如教學“圓錐的體積”時，可以讓學生先進行大膽地猜測，然后動手操作和驗證。2.鼓勵學生發散思維，標新立異。這不僅可以發展學生的主動性，而且有助于發展其認知的風格和個性，推動創造性思維的發展。例如，教學“三角形面積公式”時，有的學生用割補法把三角形拼成長方形，有的則用折紙法把三角形折成兩個重疊的長方形，從而殊途同歸地利用舊知推導出三角形的面積計算公式。這些獨立發現的見解，都可以視為創造而加以熱情的鼓勵和肯定。這對培養學生良好的思維品質，加速學生幾何知識的構建和內化無疑具有莫大的益處。3.鼓勵學生交流思想，糾誤自正。學生的獨立操作與思考，難免會出現疏漏、片面、混沌不清乃至錯誤。對此，教師應從保護學生探索的積極性、發揮學生群體自我教育的立場出發，因勢利導地組織學生展開討論與爭辯，切忌輕率否定。例如，教學“環形面積的計算”時，有學生提出把環形從中間拉開，可以拉成梯形，再利用梯形的面積公式來計算環形面積。這一想法并不恰當，但其中也有合理成分。教師就此組織學生討論，有的學生認為環形拉不成梯形；有的學生認為可以想象成梯形，因為環形的內外圓都可以拉直，面積沒變。教師充分肯定這一想象的合理性，但同時也指出這種想象在實際操作中的困難，并不失時機地引導學生用割補法進行探究，使學生在互相啟發、討論中找到解決問題的方法。
　　當然，鼓勵不等于放任；相反，它深刻地體現了教師主導作用的發揮。它要求教師在鼓勵學生進行獨立主動的操作過程中，于學生認知活動的關鍵處（即前面所說的認知矛盾、認知困惑處等）進行點撥、啟發、指導。事實證明，這種點撥、啟發和指導最有助于引發學生主動探究的意向，從而加快知識內化的進程。例如，教學“三角形內角和”時，可首先利用學生錯誤的日常直覺印象設疑，讓學生比較三個面積、周長差異較顯著的三角形，說出哪個三角形內角和最大、最小。在學生眾說紛紜、相持不下的情況下，教師適時引導，組織學生開展量、折、剪、拼等操作活動，使學生恍然大悟，在驗證的愉悅中了解了三角形內角和的大小與邊的長短、面積的大小無關，進而掌握知識的內涵。
　　（責編杜華）