補充教材內容:讓數學知識結構更合理

　　數學教材是通用的、共性的，同時又具有簡約化的特點。有的課時內容由于篇幅限制，不可能提供詳盡的學習材料，也不可能呈現完整的學習過程，它存在許多學生“看不見”的空洞和留白，當然也就很難反映知識形成的全過程。同時，現行的人教版數學教材的知識編排呈塊狀螺旋上升，具體表現為跨度大、跳躍性強，并且在很多地方都有簡略處理、省略處理和概括處理等，這就為師生的教學活動留下了特殊的空白。因此，教師應反復研究教材，挖掘數學教材中的空白之處并合理補充，使其變得更加系統，更加切合學生的學習需要，從而使他們的知識結構更趨合理。
　　一、 補充學習內容——讓知識結構更完整
　　【教材編排】人教版五年級數學下冊第81頁，怎樣求18和27的最大公因數。教材呈現出求最大公因數的方法主要有兩種。一種是羅列法，即讓學生先分別找出18和27的因數，然后從中找出公因數，再看哪個最大。另一種是挑選法，即先讓學生寫出27的因數，然后從中挑選出18的因數，再看哪個最大。最后，教材利用小精靈的問題促使學生展開進一步思考，從而表達了編寫者關注算法多樣化、個性化的教學意圖。
　　【我的思考】用羅列法和挑選法求兩個數的最大公因數比較直觀，學生容易掌握，但存在兩個缺陷。缺陷之一，如果學生在寫兩個數或一個數的因數時出錯，那么下面的結論就可能不正確；缺陷之二，羅列法和挑選法思維含量不高。同時，由于學生首次接觸求兩個數的最大公因數，缺乏相應的經驗，因此利用小精靈的追問來拓展學生的學習思路這一目的很難達到。而傳統的短除法和分解質因數的方法具有較高的思維含量，雖然難度較大，但學生認識這兩種方法后，求兩個數的最大公因數會更加方便。
　　【我的處理】在學生學會用羅列法和挑選法求兩個數的最大公因數后，筆者適時補充短除法和分解質因數法。雖然教學時教師的講授味比較濃，但我想還是必要的。畢竟當學生認識了這兩種方法后，對求兩個數的最大公因數就有了一個全面的認識，使得他們的知識結構更加完整。具體教學片斷如下：
　　師：剛才，我們已經學會用羅列法和挑選法求兩個數的最大公因數。其實，求兩個數的最大公因數還有一種更加簡便的方法，那就是短除法。你們想知道短除法是怎么回事嗎？請看板書。
　　18和27的最大公因數是3×3＝9。
　　師：為什么2和3沒有乘進去？
　　生：因為2和3不是它們公有的因數。
　　師：你們會用短除法求兩個數的最大公因數嗎？請試著求一求12和18的最大公因數？（在此情此景下，學生很快用短除法求出這兩個數的最大公因數，但卻出現兩種不一樣的過程。）
　　12和18的最大公因數是6。
　　師：這兩種方法有什么不同？都可用嗎？
　　生：第一種方法是分兩次除的，而第二種方法是一次除完。我認為兩種方法都可以用，但第二種方法更簡便些。
　　師：對，這兩種方法都可以。求兩個數的最大公因數還有另外一種方法，請你們先把12和18寫成幾個質數相乘的形式。
　　生：12＝2×2×3；
　　 18＝2×3×3。（師板書）
　　師：看了這兩道算式，你們有什么發現？
　　生：2和3都是質數，同時又是12和18公有的因數。
　　師：對，2和3就是12和18公有的質因數。因此，12和18的最大公因數是2×3＝6。（板書在兩個分解質因數的式子下面）
　　師：這種方法就叫做分解質因數法，它也是求兩個數最大公因數的簡便方法。
　　……
　　師：剛才，我們學習了求最大公因數的幾種方法？分別是什么？
　　生：我們學習了求兩個數最大公因數的四種方法，分別是羅列法、挑選法、短除法和分解質因數法。
　　師：對，求兩個數的最大公因數的方法比較多，同學們喜歡哪種方法就用哪種方法。
　　【我的收獲】因為教材是面向大眾的，再加上教材編寫者所持的立場可能與一線教師的立場并不一致，所以，教材總是存在一定的局限。因此，我們在實際教學前應該反復研究教材，根據實際適當補充相應的學習內容，使學生獲得更加完整的知識結構。
　　二、 補充訓練內容——讓知識結構更牢固
　　【教材編排】人教版五年級數學下冊第101頁。第1題，整理和復習分數的概念，主要是分數和分數單位的意義、分數與除法的關系；第2題，整理和復習分數的分類，即真分數、假分數、帶分數的概念；第3題，整理和復習分數的基本性質及其運用，包括約分、通分和分數大小的比較；第4題，整理和復習分數與小數的互化。
　　【我的思考】我認為教材中呈現的整理和復習的內容是不全面的。第1題涉及了分數意義及分數與除法的關系，但沒有涉及線段圖，而且有關分數與除法關系的實際問題沒有加強。第3題只是把約分和通分當做比較大小的方法，沒有呈現純粹的約分和通分習題，而這又是這一單元的重要內容。因此，我認為在復習時應適當補充相應習題，讓學生對一些重、難點知識有一個更全面的掌握，使得他們的知識結構更加牢固。
　　【我的處理】在整理與復習時，我適時補充了以下四個練習：
　　⒈完成線段圖。
　　下面哪些分數在直線上能用同一個點表示？把這些分數在直線上表示出來。
　　2.約分
　　3.通分
　　4.解決問題
　　400千克花生可榨油140千克。每千克花生可榨油多少千克？榨1千克油需要多少千克花生？
　　第1題融合了分數的意義和約分知識，具有一定的挑戰性；第2題呈現了四個典型分數，使學生對約分的方法有一個全面的把握；第3題呈現了四組典型分數，使學生對純粹的通分方法有一個全面的認識。第4題重在解決實際問題，使學生通過比較可以較好地理解分數與除法的關系。
　　【我的收獲】習題是數學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體。而新教材由于篇幅的限制，呈現的習題數量非常有限。如果單單完成書本配套習題，學生的知識結構肯定不牢固。因此，教師應在充分把握教材的基礎上，根據學生實際及自己的教學經驗，針對教學重、難點適當補充一些必要的練習，使學生獲得更加牢固的知識結構。
　　三、 補充閱讀材料——讓知識結構更寬廣
　　【教材編排】人教版五年級數學下冊第26頁第5題，這道題目是用游戲的形式引出“哥德巴赫猜想”，使學生通過舉例的方式看到：大于2的偶數，可以表示為兩個質數相加。但舉例只能舉出有限幾個，是不是所有大于2的偶數都能滿足這一結論呢？這就引起學生繼續探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。
　　【我的思考】閱讀材料中介紹的“哥德巴赫猜想”是不完整的。而“哥德巴赫猜想”又是“數學王冠上的明珠”，因此有必要向學生補充相對完整的“哥德巴赫猜想”，讓學生對這個猜想有一個較為全面的認識，從而拓寬學生的知識結構。
　　【我的處理】在學完書本的閱讀材料后，我補充了如下這道練習：
　　把下面的數寫成幾個質數相加的形式：
　　7 ＝（）+（）+（）
　　9 ＝（）+（）+（）
　　11＝（）+（）+（）
　　13＝（）+（）+（）
　　15＝（）+（）+（）
　　17＝（）+（）+（）
　　通過練習，教師及時追問：你們有什么新的發現？
　　生1：大于或等于7的奇數可以寫成三個質數相加。
　　生2：大于5的奇數可以寫三個質數相加。
　　師：對，這也是“哥德巴赫猜想”的重要內容。“哥德巴赫猜想”有兩個內容，一個是任何大于2的偶數都可以寫成兩個質數相加；另一個是任何大于5的奇數都可以寫成三個質數相加。第一個猜想已取得重大發現，主要是由我國數學家陳景潤完成的，但還沒有完全得到證明。第二個猜想還沒有取得重大突破。希望同學們好好學習，爭取成為解決“哥德巴赫猜想”的數學大師。
　　【我的收獲】人教版數學新教材注意采用閱讀材料的形式，結合教學內容編排一些有關的數學史料，豐富學生對數學發展的整體認識，培養學生探索數學、學習數學的興趣與欲望。五年級下冊教材就安排了14個“你知道嗎”和6個“生活中的數學”。通過這些閱讀材料介紹了現實生活中數學知識的應用、數學家的故事等等。這些內容不僅可以使學生對數學本身產生濃厚的興趣，激勵他們擴大知識面和進一步探索研究的欲望，而且對學生的情感、態度、價值觀的形成與發展也能起到潛移默化的作用。因此，數學教師在教學時應根據學生實際有針對性地補充一些閱讀材料，使學生對相應的數學知識有一個全面的認識，從而使學生的知識結構更加寬廣。
　　四、 補充思維訓練——讓知識結構更深刻
　　【教材編排】人教版五年級數學下冊第101頁，教材中比較分數大小的方法主要有四種。一是比較兩個同分母分數的大小；二是比較兩個同分子分數的大小；三是先把兩個分數通分，再比較它們的大小；四是先把兩個分數約分，再比較它們的大小。這四種方法，學生都應該掌握。
　　【我的思考】教材中展示的這四種方法只是比較分數大小的一般方法，缺少思維含量。而比較分數的大小歷來是奧數訓練（思維訓練）的主要內容。因此，教師在適當的時候應該補充一些用特殊方法比較分數大小的例子，以拓寬學生的思維。
　　【我的處理】在教完本單元后，我抽取時間補充了如下三道練習：
　　第1題讓學生認識到把兩個分數的分子變相同，同樣可以比較它們的大小；第2題讓學生認識到把兩個分數與比一比，就能知道它們的大小；第3題讓學生認識到比較兩個分數與1的差，就能知道它們的大小。
　　【我的收獲】思維訓練歷來是數學教學的核心。但數學教材是通用的，具有普遍性，因此數學教材中的思維訓練存在一定的局限。為此，數學教師應根據學生實際靈活補充一些能夠拓展學生思維的習題，使他們形成更加深刻的知識結構。
　　總之，數學教材只是一個例子，是教學的一個起點，而不是教學的終極目標。因此，教師在使用教材時要憑借自己的智慧、靈感、經驗，在尊重教材的基礎上對教材進行完善或加工，必要時還需作適度補充。只有這樣，才能使學生的知識結構更加合理，從而使學生獲得全面、持續、和諧、穩定的發展。