中學數學中的重要思維模式

　　摘 要： 中學數學中最一般的思維模式有以下八種：逼近模式；疊加模式；變換模式；映射模式；方程（或函數）模式；交軌模式；退化模式；遞歸模式。實際解題時，需要根據問題的特點靈活地加以探索，才能使其成為解題者自己的經驗。
　　關鍵詞： 中學數學教學 思維模式 思維程序
　　
　　美國數學教育家波利亞說：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征。如果一種解題方法是你通過自己的努力而掌握的，或者是你從別處學來或聽來并真正理解了的，那么這種解法就可以成為你的一種模式，即在解類似問題時可用作模仿的一種模式。”這種一般的數學思維模式的通用性是數學思維的基本定勢，它們能夠統率通常解題教學中所使用的問題分類法或具體的解題模式。
　　目前我國中學數學教學中存在著兩種傾向，一種是偏向于題型的過細分類和具體解題方法的研究，另一種是過分地強調解題的發散思維而忽視定向思維的重要性。對中學數學中最一般的思維模式的研究就能對上述兩種做法起到互補作用，從而克服解題教學中的片面性。
　　一般來講，根據我國中學數學的內容，可以提出八種重要的思維模式：逼近模式；疊加模式；變換模式；映射模式；方程（或函數）模式；交軌模式；退化模式；遞歸模式。
　　這些模式的基本思想并不一定以明顯的方式出現于數學教材中，多數情況下是隱含在數學知識或解題過程中，需要教師對教材進行鉆研、分析、概括、提煉。
　　一、逼近模式
　　逼近模式是朝著目標推移前進，逐步溝通條件與結論之間的聯系而使問題解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.把問題歸結為條件與結論之間因果關系的演繹；
　　2.選擇適當的方向逐步逼近目標。
　　這里指的適當方向就是一些較具體的逼近模式，如正向逼近—順推演繹法；逆向逼近—逆求分析法；雙向逼近—分析綜合法；反面逼近—反證法；模糊逼近—嘗試探索法，等等。
　　二、疊加模式
　　疊加模式是運用化整為零、以分求和的思想對問題進行橫向分解或縱向分解實施各個擊破而使問題得到解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.把問題歸結為若干種并列情況的總和或者插入有關的環節構成一組問題；
　　2.處理各種特殊情況或解決各個小問題，將它們適當組合（疊加）而得到的一般解。
　　三、變換模式
　　變換模式是通過適當變更問題的表達形式使其由難化易、由繁化簡，從而最終達到解決問題的思維形式。其思維程序是：
　　1.選擇適當的變換，等價的或不等價的（加上約束條件），以改變問題的表達形式；
　　2.連續進行有關變換，注意整個過程的可控制性和變換的技巧，直至達到目標。
　　所謂等價變換，是指把原問題變更為新問題，是兩者的形式互為充要條件。不等價變換則是指新問題擴大或縮小了原問題的允許范圍。例如，由于實施了某種運算（乘方、開方、取對數等），形式地套用了某些法則，或者增加、減少了命題的條件，加強或減弱了命題的結論等都可能產生不等價的結果。
　　中學數學中的等價變換包括恒等變換和同解變換等。如數、式的恒等變形，方程與不等式的同解變形，幾何圖形的平移、對稱、旋轉等都屬等價變換。不等價變換涉及的范圍很廣，需要具體問題具體分析。主要的控制方法是對變換過程進行充分性與必要性的分析，通過增加限制條件或補漏情況使其轉化為等價過程。
　　中學數學中的一些具體變換模式有：恒等變形；代數換元法；同解變形；三角變換；三角換元法；萬能替換；合同變換；相似變換；反演變換，等等。
　　四、映射模式
　　映射模式是把問題從一個領域映射到另一個領域，在另一個領域中獲解后再反解回原領域使問題解決的思維方式。在映射模式下具體的一些模式有：
　　1.幾何法——把數、式的問題歸結為形的問題加以解決；
　　2.解析法——把幾何問題歸結為代數問題加以解決；
　　3.復數法與向量法——把數字問題轉化為物理問題或其他學科問題加以解決。
　　其他如極坐標法、參數法等也屬于映射模式的范疇。
　　五、方程模式
　　方程模式又稱函數模式，是通過列方程（組）與解方程（組）來確定數學關系或解決問題的思維方式。方程模式是反映客觀事物數量關系的一種重要的數學模型。它是溝通已知元素與未知元素之間的辯證聯系的一種基本方法。其思維程序是：
　　1.把問題歸結為確定一個或幾個未知量；
　　2.列出已知量與未知量之間按條件必須成立的所有關系式即方程（組）；
　　3.解所得的方程（組），得出結果。
　　六、交軌模式
　　交軌模式是通過分離問題的條件以形成滿足每個條件的未知元素的軌跡（集合），再通過疊加來確定未知元素而使問題解決的思維方式。交軌是一種特殊的疊加。通常的疊加是求集合的并集，而交軌的疊加是求集合的交集。
　　交軌模式的思維程序是：
　　1.把問題歸結為去確定一個“點”——一個或幾個未知元素，或一個幾何點，或一個解析點，或某個式子的值，或某種量的關系等；
　　2.把問題條件分離成幾個部分，使每一部分能確定所求點的一個軌跡（集合）；
　　3.用軌跡（或集合）的交集確定所求的“點”或未知元素，并由此得出問題的解。
　　七、退化模式
　　退化模式是運用聯系轉化的思想，將問題按適當方向后退到能看清關系或得出解法思路的地步，再以退求進來達到問題解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.將問題從整體或局部上后退，化為較易解決的簡化問題、類比問題或特殊問題等，而保持轉化回原問題的聯系通道；
　　2.用解決退化問題的思想方法，經適當變換以解決原問題。
　　八、遞歸模式
　　遞歸模式是通過確定序列的相鄰各項之間的一般關系，以及初始值來確定通項或整個序列的思維方式。它適用于解決定義在自然數集上的一類函數，是解決數字問題的一種重要邏輯模式。其思維程序是：
　　1.得出序列的第一項或前幾項；
　　2.找到一個或幾個關系式，使序列的一般項和它相鄰的若干項聯系起來；
　　3.利用上面提到的關系式或通過變換求出更為基本的關系式，遞推地求出序列的一般項或所有項。
　　遞歸關系通常指僅含有序列的后項與前若干項而無常數項的關系，如等差數列an=2an-1-an-2是遞歸關系，而an=an-1+a就不稱為遞歸關系，而稱之為遞推關系，即遞推關系可含常數項。
　　在遞歸模式范圍，根據遞推關系的典型模式是線性關系，分式關系或其他非線性關系，如根式關系、冪指關系等，又可分成一些具體的模式，這里不再一一介紹了。
　　以上所列的八種思維模式，它們之間是相容的并立，在每一思維模式下列舉了屬于其范圍的一些具體模式或方法，實際解題時，特別是對于較復雜的問題，往往需要交錯運用幾種模式；或者對于同一問題可從不同角度運用不同的模式去解決；模式本身也有不同的適用范圍，這些方面都需要根據問題的特點靈活地加以探索，才能使其成為解題者自己的經驗。
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