關于對坐標的曲線積分若干問題研究

齊小軍

(天水師范學院 數學與統計學院 甘肅 天水 741001)

0 引言

積分是大學數學的重要內容，在高等數學中積分又分為定積分，重積分，曲線積分和曲面積分等．曲線積分是其中的一個難點，其內容抽象，計算方法多樣．曲線積分又分為對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分，很多文獻[4-7]對這類積分做過較為細致的研究．在高等數學中，隨著積分內容的深入，積分之間聯系越來越密切，難度也在加大．本文主要討論對坐標的曲線積分的計算，以及探討在計算中的簡便方法．

1 一般曲線上的對坐標的曲線積分

在上述問題中，我們也可以通過坐標系的旋轉，將問題化為某一坐標面上的定積分．通過坐標旋轉有時還可將曲線化作較簡單曲線，簡化計算．

通過做坐標系的旋轉，在新的坐標系下使曲線變為較簡單的曲線方程，對曲線方程引入參數方程，計算過程相對簡單，這不失為一種新的處理曲線積分問題的方法．在某些情況下可考慮這種方法．

將曲線積分轉化為某一參量的的積分，這里的計算會依賴于曲線方程的簡易程度，也可以轉化為對變量x或變量y的定積分．一個自然的想法是能否將對不同坐標的積分轉化為對其中一個坐標的曲線積分．

同樣也可轉化成對y坐標的積分，計算難易程度相同．對于上述積分如果通過兩類曲線積分間的等式轉變成對面積的曲線積分，其最終還是化成了對某一變量的定積分，這跟上述作法如出一轍．反過來，如果將對弧長的曲線積分轉化成對坐標的曲線積分，在這種情況下可能簡化計算過程．

2 封閉曲線上的對坐標的曲線積分

前面，我們將曲線積分轉變為定積分，同樣也可轉化成重積分．假設區域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P(x,y)，Q(x,y)在閉區域D上有一階連續的偏導，則有Green公式

[2]，其中L是D的取正向的邊界曲線．

問題2 計算

其中L是沿曲線y=x2由點A(1,1)到點O(0,0)的一段．

在y軸的點B(0,1)處連接OB,AB．于是可得由曲線y=x2以及坐標軸y和直線段y=1所圍成的一個二維封閉圖形D，在區域D上使用Green公式，于是有

在直線段AB上dy=0，于是

-6-e.

在直線段BO上dx=0，于是

=sin1

由Green公式

于是I=-3-e+sin1.

同樣，上述問題也可利用積分與路徑無關的條件轉化成折線路徑求解．

而積分

由此，利用恰當條件可使計算簡化，當然這種方法適合區域D是單連通域，并且滿足積分與路徑無關的條件．

前面我們將平面閉曲線上的曲線積分轉化成重積分，但對于空間閉曲線上曲線積分，我們可以將其表示成空間曲面上的曲面積分．利用Stokes公式就可將曲線積分表示成曲面積分．在某些情況下，這樣的做法可極大的簡化計算過程．

其中，Γ為分段光滑的空間有向曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面并且Γ的正向與Σ的側符合右手法則．

問題3 計算積分

上述問題同樣也可利用空間曲線積分與路徑無關的條件，轉變為恰當方程求解．

(z2-xy)dz成立．于是積分

可以看出，使用恰當方程解題過程更簡單．

至此，我們討論了關于對坐標的曲線積分在兩種曲線類型下計算的部分問題，包括曲線積分轉化為定積分，曲線積分的向量形式，兩類曲線積分的相互轉化，曲線積分和重積分以及曲線積分和曲面積分之間相互轉換，曲線積分在二維平面閉區域，三維空間區域上積分與路徑無關問題的計算，每一種問題的解決方法都有各自的特點，可以看出曲線積分跟積分曲線，被積表達式的關系密切．同一種問題用多種方法都可以加以解決，但處理的過程有難易區別．在使用這些方法時要注意他們各自適用的條件．也可以通過被積函數的奇偶性，曲線的對稱性等靈活處理．