洛比達法則的運用技巧

　　摘 要： 本文對洛比達法則的一般方法和技巧進行了歸納總結，以例題的形式說明在使用洛比達法則時的特殊技巧。
　　關鍵詞： 洛比達法則 方法歸納 技巧
　　
　　一、歸納起來，通常求未定型的步驟如下
　　1.考查所求極限是否為未定式，如不是未定式，則直接利用極限四則運算法則求得答案；如果是未定式，則變形為或型.
　　2.為了利用x→0時的等價無窮小，當所求極限是x→a時可作變換u=x-a，則把問題變成u→0的形式（當x→∞時，可用變換u=）.
　　3.對于型，把分子、分母乘積因子中無窮小量用x的等價無窮小代替.
　　4.檢查表達式中是否有非零極限乘積因子，如果有則應將極限分為兩個極限乘積，一個極限為確定值，再考慮余下的未定型.
　　5.如留下的未定型不能用前面的方法解決，則用洛比達法則使分子、分母的無窮小階數降低.
　　6.繼續上述過程，先用等價無窮小代替，再用洛比達法則，直至得到答案.
　　通過洛比達法則我們容易求得：
　　==0.==0，所以當x→∞時，e趨于快于x，x趨于+∞又快于lnx.
　　通過多次使用洛比達法則知道x→∞時，e快于x（a＞0），x又快于（lnx）（β＞0）.
　　所以xe=0，（lnx）=0，或者=0，等等.
　　二、洛比達法則求極限的幾種方法
　　1.求解型極限的方法.
　?。?）利用因式分解或根式有理化消去零因子，再用連續函數的性質求極限.
　?。?）利用等價無窮小的替換性質求極限，注意加減時不能使用這種方法.
　?。?）直接使用洛比達法則.
　?。?）利用變量代換（根據極限不同的特點，選用合適的變量代換法，如令x=或x=）.
　　2.求解型極限的方法.
　　（1）直接使用洛比達法則.
　　（2）變量代換化為型.
　　3.求解∞—∞型極限的方法.
　　通過對式子的通分、根式有理化、變量代換等方法，轉化為或型，再用一、二條中的方法.
　　4.求解0?∞型極限的方法.
　　同樣轉化為或型，再用洛比達法則.
　　5.求1解型極限的方法.
　　（1）用對數恒等變型e=e?圯e或e，再用洛比達法則.
　　（2）利用重要極限：=1，（1+）=e.
　　6.求解0或∞型極限的方法.
　　通過對數恒等式轉化為或型，再用洛比達法則.
　　如果函數f（x）和g（x）滿足：
　?。?）當x→x時，f（x）和g（x）都是無窮小量（或都是無窮大量）；
　?。?）在x點的某個空心鄰域內，f（x）和g（x）都是可導的，且g′（x）≠0；
　?。?）=A.則有=A.
　　在多數情形下，使用洛比達法則的解法比起初等解法簡便得多，但要強調的是，對于較為復雜的不定式的極限計算問題，不要盲目地使用洛比達法則，而要注意配合使用無窮小代換法則等各種辦法，才能使計算過程得到簡化.
　　例1：求極限.
　　分析一：此極限屬于型不定式，所以可對原式直接用洛比達法則.
　　原式=2
　　分析二：注意到當x→0時，有sinx→x.e-1→x.因此，在使用洛比達法則的計算過程中配合使用無窮小代換法.即
　　原式==
　　=====
　　例2：求
　　分析一：為了計算方便起見，用e-1的等價無窮小x對其進行代換，則分母為x項，此時要把分子sinx在x=0點用麥克勞林公式展開到x項.即
　　sinx=x-+o（x）
　　故==+o（x）=
　　分析二：分母仍用（e-1）的等價無窮小代換，之后用洛比達法則.
　　=====.
　　分析三：對原式直接用洛比達法則.
　　
　　參考文獻：
　?。?］朱勻華，周健偉，胡建勛.數學分析的思想方法.中山大學出版社，1998.
　　［2］華東師范大學數學系.數學分析（上）（第四版）.高等教育出版社，2010.
　?。?］彭輝.高等數學同步輔導.新華出版社，2007.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文