營造和諧的課堂氣

　　摘 要： 創造和諧的課堂氣氛是確保教學實踐成功的前提，本文結合《數學分析》重理論的特點，從教學內容生活化、教學方法多樣化、教學案例應用化等三個方面著力探討了創造和諧的課程氣氛，激發學生學習《數學分析》的興趣的方法。
　　關鍵詞： 《數學分析》 課堂氣氛 學習興趣
　　
　　創造和諧的課堂氣氛是確保教學實踐成功的前提。《數學分析》側重于理論知識的研究，大量的定義、定理、公式、大量的證明，往往會使學生感到枯燥，容易產生厭煩情緒。這種情緒的產生會導致課堂氣氛死氣沉沉，如果教師沒有及時調整的話，有些學生會出現“身在曹營心在漢”的現象。教師無法與學生們互動交流，無法了解學生們對知識掌握的真實情況，這種惡性循環將造成教學的失敗。因此，創造良好的課堂氣氛是激發學生學習興趣的關鍵。創造和諧的課堂氣氛，可從下面三個方面入手。
　　一、教學內容生活化
　　數學是對客觀世界數量關系的抽象。在教學實踐過程中，教師應把理論知識與實際問題相結合，應從學生的認知角度出發，只有這樣所講授的知識才易被學生接受理解。例如:《數學分析》中，數列極限的定義，若直接給出數學語言描述：?坌ε＞0，?堝N∈N，使得，當n＞N時，有|a-a|＜ε。學生們會不知所以然，只能死記硬背。但如果通過一個具體的實際問題（如:一尺之棰，日取其半，萬世不竭），就可以抽象出極限的含義或特性：隨著n的無限增大，a無限地接近某一常數a。但這個特性只是文字表述，為得到數學語言描述，我們還需要繼續生活化，極限的特性換句話表述就是：當n充分大時，數列的通項a與常數a之差的絕對值可以無限小。要把這個特性描述成數學語言就要解決兩個問題：第一，“n充分大”怎么描述？第二，“a與a之差的絕對值可以無限小”怎么描述？首先來看“充分大”，也就是足夠大的意思。“足夠”這個詞怎么理解呢？我們常聽人說：如果我有足夠多的錢，我就可以買一套兩室一廳的房子，假設他要買的房子價值70萬，大于或等于70萬就是他所謂的足夠多的錢。從這個生活中的例子我們可以看出：只要我們能找到一個參照數N，大于或等于N就可描述足夠多或足夠大，于是“n充分大”就可以通過“?堝N∈N，n＞N”來刻畫。其次來看“無限小”。為了描述它，我們引入一個任意小的正數ε，此ε是一個你說它有多小就有多小的抽象的數，“無限小”就可以用“＜ε”來刻畫，你想想，比任意小都小的數難道不是無限小嗎？這樣，“a與a之差的絕對值可以任意小”就可以用“|a-a|＜ε”來刻畫。于是，只要稍微注意極限特性中前后誰是條件誰是結論，極限的特性就可以用數學語言描述為：“?坌ε＞0，?堝N∈N，使得，當n＞N時，有|a-a|＜ε。”這不就是數列極限的定義嗎？通過這個生活化的過程，數列極限的ε-N定義就很容易被學生接受。
　　二、教學方法多樣化
　　科學的教學方法能夠使教學實踐達到事半功倍的效果。在《數學分析》教學實踐過程中，教師應堅持啟發式教學，設置問題背景，引導學生積極思考，讓學生自己發現和掌握有關知識。如在教學實踐中，教師可以巧設懸念，故布疑陣，給學生造成一種躍躍欲試和急于求知的迫切心情，激發學生的興趣和求知欲。比方說在講解隱函數存在定理時我們可以這樣安排講授。
　　第一步：給出隱函數的定義，讓學生知道隱函數由方程確定，是隱藏在方程背后的函數。如方程xy+y-1=0，對于每一個x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），都能根據這個方程唯一確定y與之對應，即方程xy+y-1=0確定了一個定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的函數，記作y=f（x），這時，我們稱方程xy+y-1=0確定一個定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隱函數y=f（x）。一般地，對于方程F（x，y）=0，若存在集合I、J，使得對于任何x∈I，恒有唯一確定的y∈J，它與x一起滿足方程F（x，y）=0，則稱方程F（x，y）=0確定一個定義在I上，值域含于J的隱函數。若把它記為y=f（x），x∈I，y∈J，則成立恒等式F（x，f（x））≡0，x∈I。
　　并且有些隱函數可以寫成顯函數的形式，如方程xy+y-1=0所確定的定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隱函數y=f（x）可表示成顯函數的形式：y=。
　　第二步:設問。是不是每一個方程都能確定隱函數？倘若是，那么，是不是每一個隱函數都能寫成顯函數呢？
　　第三步：解惑。方程x+y+c=0，當c＞0時，就不能確定任何函數f（x），使得x+［f（x）］+c=0，因為這沒有意義。所以并不是每一個方程都能確定隱函數的。對于方程y-x-siny=0，確實存在一個定義在（-∞，+∞）上的函數f（x），使得f（x）-x-sinf（x）≡0，但這函數f（x）卻無法用x的算式來表達，即不能把f（x）寫成顯函數的形式。
　　第四步：再設問。既然不是每一個方程都能確定隱函數，并且即使有些方程能確定隱函數，我們也不能或不易把隱函數寫成顯函數的形式，那么，什么樣的方程能確定隱函數呢？我們在研究隱函數問題時是不是可以不用通過顯函數，而直接對方程本身進行處理就能研究出隱函數的某些形態呢？
　　第五步：擺出隱函數定理，再解惑。隱函數定理就是解決第四步的問題。
　　在實際中，我們不但要注意因材施教，而且要注意因內容施教，采用靈活多樣的教學方法（如“研究式”、“發現式”、“自學式”、“精講多練式”等）進行教學，調動學生的學習積極性，培養學生的自學能力、分析問題和解決問題的能力、創新思維的能力。
　　三、教學案例應用化
　　能夠解決實際問題的學習，學生才會認為是有意義的，才能激發求知的欲望。所以在教學實踐過程中，應時刻把理論知識應用于實際，通過抽象地概括、建構數學模型，使學生們體會到數學分析中定義、定理、公式是從現實世界中得到的，與現實世界有著千絲萬縷的聯系，并且反過來應用于現實世界解決各種實際問題，由此逐步培養學生認識問題、分析問題、解決問題的能力。例如在講“根的存在定理”時，可補充如下例子。
　　例：日常生活中一件普通的事實：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩了。這個看來似乎與數學無關的現象能用數學語言給予表述，并用數學工具來證實嗎？
　　【模型假設】（1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形。（2）地面高度是連續變化的，沿任何方向都不會出現間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數學上的連續曲面。（3）對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。
　　【模型構成】中心問題是用數學語言把椅子四只腳同時著地的條件和結論表示出來。
　　首先要用變量表示椅子的位置。注意到椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉角度這一變量表示椅子的位置。在圖中，椅腳連線為ABCD，對角線AC與x軸重合，椅子繞中心點O旋轉角度θ后，正方形ABCD轉至A′B′C′D′的位置，所以對角線AC與x軸的夾角θ表示了椅子的位置。
　　其次要把椅腳著地用數學符號表示出來。如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么當這個距離為零時就是椅腳著地了。椅子在不同位置時椅腳與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量θ的函數。
　　雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數就行了。記A，C兩腳與地面距離之和為f（θ），B，D兩腳與地面距離之和為g（θ）（這里f（θ），g（θ）≥0）。由假設（2），f和g都是連續函數。由假設（3），椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的θ，f（θ）和g（θ）中至少有一個為零。當θ=0時不妨設g（0）=0，f（0）＞0。這樣，改變椅子的位置，使四只腳同時著地，就歸結為證明如下數學命題：
　　已知f（θ）和g（θ）是θ的連續函數，對任意θ，f（θ）?g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）＞0。證明：存在θ，使f（θ）=g（θ）=0。
　　【模型求解】上述命題有多種證明方法，這里介紹其中比較簡單，但是有些粗糙的一種。
　　將椅子旋轉，對角線AC與BD互換。由g（0）=0和f（0）＞0可知g（）＞0和f（）=0。
　　令h（θ）=f（θ）-g（θ），則h（θ）＞0和h（）＜0。由f和g的連續性知h也是連續函數。根據連續函數的根的存在定理，必存在θ（0＜θ＜）使h（θ）=0，即f（θ）=g（θ）。
　　最后，因為f（θ）?g（θ）=0，所以f（θ）=g（θ）=0。
　　這種題是開放型的數學模型題，因為模型假設也可以是:（1）桌子的四個腳構成平面上的嚴格的長方形（或梯形、平行四邊形）;（2）地面高度可能出現間斷。把他們留給學生課后練習的話，就會給學生以更大的思維空間，更好的訓練，這對激發學生興趣、提高教學質量是非常有幫助的。
　　此外，教師還可以給學生介紹些與其相關的數學小常識、數學家的小典故，這樣做不但可以調節課堂氣氛，而且可以加深學生們對知識點的記憶。
　　
　　參考文獻：
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　　基金項目：湖北工業大學教學研究項目（校2010032）