矩陣方程AXB=C的初等變換法

　　摘 要： 本文通過討論求解矩陣方程AX=B和XA=B的初等變換法，得到了求解矩陣方程AXB=C的初等變換法。
　　關鍵詞： 矩陣方程AXB=C 初等變換 求解
　　
　　1．引言
　　假設已知矩陣A和B可逆，對于矩陣方程AXB=C，我們一般都是先求出矩陣A和B的逆矩陣A和B，然后根據矩陣的乘法運算，求出矩陣方程的解X=ACB。
　　2．主要結果
　　本文討論了利用矩陣的初等變換直接求解矩陣方程AXB=C。
　　首先引入下列引理：
　　引理1［1］：對于一個矩陣施行一次行或列初等變換，相當于把這個矩陣左乘或右乘以一個相應的初等矩陣。
　　引理2［3］：任意一個n階可逆矩陣A經過若干次矩陣的初等變換可以化為E。
　　由文獻［２］可以知道，假設n階矩陣A可逆，要求矩陣的A逆矩陣A，可以采用下列方法：
　　將矩陣A和E放在一起，得到一個n×2n階矩陣(A，E)，再對其施行矩陣的初等行變換，如果把子塊A化為E，則子塊E就化為了A。即
　　（A，E） （E，A）。
　　同樣的也可以利用矩陣的初等列變換求A。這時對2n×n矩陣施以初等列變換，如果把上半子塊A化為E，則下半子塊E就化為了A。即
　　AE EA。
　　由上面求矩陣的逆的方法可以得到求解矩陣方程AX=B和YC=D（其中A和C可逆，且AX=B的解為X=AB，CY=D的解為Y=DC）的初等變換法。
　　（A，B） （E，AB）。
　　CDEY。
　　將上面兩式結合就得到本文的主要結果：
　　定理假設矩陣方程AXB=C中的矩陣A和B均可逆，則此矩陣方程的解可以通過下列矩陣的初等變換得到：
　　0 BA C0BE AC 0EEX。
　　證明：綜合上面矩陣方程AX=B和XA=B的解法即得。
　　3．數值實例
　　通過下面的實例來說明文中結論的有效性。
　　例：求解矩陣方程AXB=C，其中
　　參考文獻：
　　［１］張禾瑞等.高等代數.北京：高等教育出版社，1999.
　　［2］劉艷杰，謝延波等.線性代數.沈陽：東北大學出版社，2004，8.
　　［3］錢椿林.線性代數（第二版）.北京：電子工業出版社，2001.