由一道選擇題談一題多解

　　摘 要： 作者結(jié)合自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的一道選擇題，談?wù)勅绾螌?shí)現(xiàn)一題多解，以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新能力。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 一題多解 多解一題
　　
　　在平日解答習(xí)題時(shí)，大多數(shù)同學(xué)往往就題論題，不多加思考即快速寫(xiě)出答案了事。其實(shí)這種做法是不可取的，它會(huì)使學(xué)生頭腦中的知識(shí)零亂分散，不能形成系統(tǒng)性，也會(huì)使學(xué)生的思維空間縮小。解答習(xí)題時(shí)應(yīng)善于借題發(fā)揮、擴(kuò)展思路，一題多解、多題一解，通過(guò)不同角度思考問(wèn)題，提高知識(shí)遷移能力，尋找解決問(wèn)題的多種途徑及多種可能的結(jié)論，這樣能促進(jìn)思維的靈活性。同時(shí)多解中的新思路、新方法，又有利于創(chuàng)新思維的形成，而在應(yīng)用多種解法中選擇更簡(jiǎn)、更優(yōu)的解法，有利于優(yōu)化思維品質(zhì)。
　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，由于學(xué)生的生活背景、知識(shí)基礎(chǔ)和思考角度不同，在解題中所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)該尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，倡導(dǎo)解題方法的多樣化。下面我結(jié)合自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的一道選擇題，談?wù)勅绾螌?shí)現(xiàn)一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新能力。
　　例：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形。設(shè)△AFC的面積為S，則（?搖?搖）
　　A．S=2 B．S=2.4
　　C．S=4 D．S與BE的長(zhǎng)度有關(guān)
　　解決圖形的面積問(wèn)題，常用的方法無(wú)外乎兩種，一種是直接求，另一種是間接求，也就是把原圖形的面積用“割補(bǔ)法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這題也不例外。
　　方法一：間接求。這是學(xué)生遇到稍微困難點(diǎn)的求圖形面積問(wèn)題時(shí)最常用的方法。這題就有很多種“割補(bǔ)”的方法。如：
　　生1：將△AFC的面積轉(zhuǎn)化成梯形ABGF與△ABC的面積和減去△FGC的面積。設(shè)正方形EFGB的邊長(zhǎng)為a，則
　　S=S+S-S
　　 =(a+2)×a+×2×2-a(a+2)
　　 =a+a+2-a-a
　　 =2
　　生2：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FG，交GF的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M（如圖所示），則
　　S=S-S-S
　　=（a+a+2）×2-×a×(2-a)-a(a+2)
　　=2a+2-a+a-a-a
　　=2
　　……
　　利用割補(bǔ)法求圖形的面積，轉(zhuǎn)化的方式有很多，這里不一一贅述。
　　方法二：直接求。利用三角形的面積=×底×高。這里勢(shì)必會(huì)選擇AC為底，然后過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M。因?yàn)檫@里的高的求法，一般學(xué)生不易想到，所以學(xué)生往往會(huì)選擇間接求，進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。實(shí)際上，在選擇AC為底時(shí)是因?yàn)椤鰽FC中只有AC這一條邊可以求出來(lái)，那么就要想到另一個(gè)正方形EFGB的對(duì)角線同樣能起到作用。連接FB，易知FB∥AC，那么利用“平行線之間的距離處處相等”就可以求出高FM=AC=。
　　這樣，S=AC×FM=×2×=2
　　……
　　上面兩種方法是學(xué)生比較容易想到的方法，也是我們求圖形面積常用的兩種方法。我們應(yīng)該肯定學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
　　實(shí)際上，對(duì)于這道選擇題，還有其他的解法。如題目已知條件告訴我們“點(diǎn)E在AB上”，那么我們是否可以考慮點(diǎn)E在AB的特殊位置上呢？
　　假設(shè)點(diǎn)E在點(diǎn)B處，那么正方形EFGB的邊長(zhǎng)就為0，點(diǎn)F、點(diǎn)G就和點(diǎn)B重合（如圖1所示），那么△AFC的面積就是△AEC的面積=2。如果點(diǎn)E在點(diǎn)A處，那么正方形EFGB的邊長(zhǎng)就為2（如圖2所示），那么△AFC的面積就是×AF×CD=×2×2=2。如果點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)處，（如圖3所示），那么我們易知AE=EF，∠FAE=45°，從而得到∠FAC=90°，那么△AFC的面積就等于×AF×AC=×2×=2。
　　這樣我們很快就可以選出正確答案A。
　　從點(diǎn)的特殊位置所得到的結(jié)果我們可以猜想一般結(jié)論，而從一般結(jié)論又可以驗(yàn)證特殊值。當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家G.波利亞認(rèn)為：“我們?nèi)绻挥谩}目的變更’，幾乎是不能有什么進(jìn)展的。”事實(shí)上，在眾多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，特殊與一般之間都有密切的關(guān)系，它們往往是一個(gè)整體。但在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這類(lèi)原本具有整體性的問(wèn)題往往被分割成一個(gè)個(gè)單題，以致學(xué)生找不出其中的聯(lián)系。這就是說(shuō)，在試題講評(píng)時(shí)，不能就題論題，對(duì)涉及知識(shí)、技能面廣的題目，要力爭(zhēng)“一題多變”、“一題多練”，引導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)展思路，縱橫聯(lián)系。我們應(yīng)對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行有效的拓展與遷移，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系到的相同、相似和相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行比較、鑒別和再認(rèn)識(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通的能力。這樣才能達(dá)到使學(xué)生做一題，學(xué)一法，會(huì)一類(lèi)，通一片的目的，無(wú)論是對(duì)于知識(shí)的掌握，還是對(duì)于認(rèn)識(shí)水平的升華，都會(huì)起到不可估量的作用。
　　將上題進(jìn)行如下變式：
　　例：如圖4，四邊形EFGB與ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為a、b（b≥2a），且點(diǎn)F在AB上（以下問(wèn)題的結(jié)果可用a、b表示）。
　　（1）求S；
　　（2）把正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得圖4，求圖4中的S；
　　（3）把正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，S是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
　　簡(jiǎn)析：題（1）求△AFC的面積以AF為底，BC為高計(jì)算雖然簡(jiǎn)便；若從探究問(wèn)題（2）、（3）考慮，抓住正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中AC始終不變，△AFC的面積隨AC上高的變化而變化，求AC上的高成為問(wèn)題的關(guān)鍵。據(jù)此，解題（1）時(shí)以AC為底，用解三角形求AC上的高，但是，此求高的方法對(duì)探究問(wèn)題（2）、（3）不利。細(xì)心觀察圖4，可以發(fā)現(xiàn)EF∥AC，聯(lián)想到等積變形，把求△AFC的面積轉(zhuǎn)化成求△AEC的面積，在尋找△AFC邊AC上高的過(guò)程中又發(fā)現(xiàn)B、E、D在一直線上，OE就是高，此時(shí)已知AC上高與對(duì)角線BD相關(guān)。顯然探究問(wèn)題（2）成了（1）的翻版（只是BF∥AC，△AFC與△ABC等積變形，這就是本題的“變”中之“不變”）。解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵是，要看到正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，點(diǎn)F的軌跡是以B為圓心，BF為半徑的圓（如圖6），當(dāng)b>2a時(shí)，在位置F時(shí)△AFC的面積最小（b=2a時(shí)，沒(méi)有最小值）；在位置F時(shí)△AFC的面積最大，高仍與對(duì)角線BD相關(guān)。
　　本題從原來(lái)的邊長(zhǎng)是具體數(shù)字，拓展為邊長(zhǎng)是一個(gè)代數(shù)式，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，拓寬了學(xué)生的思維。如果說(shuō)一題多解能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，多題一解則更能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和變通性。G.波利亞說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。”一語(yǔ)道出了數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的——提高學(xué)生探索和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神。我們?cè)谇蠼庖粋€(gè)新問(wèn)題時(shí)，只有透徹理解數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法并融會(huì)貫通，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最優(yōu)方案。而一題多解的思想具有對(duì)所學(xué)知識(shí)加以融會(huì)貫通的作用，不僅僅體現(xiàn)了解題能力的強(qiáng)弱，更重要的是其具有開(kāi)放式思維特點(diǎn)，是一種培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要思維方法。因此，一題多解和多解一題應(yīng)當(dāng)成為我們掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和探索數(shù)學(xué)思維規(guī)律的重要手段，也應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的閃光點(diǎn)。