由一道選擇題談一題多解

　　摘 要： 作者結合自己在數學教學中遇到的一道選擇題，談談如何實現一題多解，以培養學生思維的靈活性和創新能力。
　　關鍵詞： 數學教學 一題多解 多解一題
　　
　　在平日解答習題時，大多數同學往往就題論題，不多加思考即快速寫出答案了事。其實這種做法是不可取的，它會使學生頭腦中的知識零亂分散，不能形成系統性，也會使學生的思維空間縮小。解答習題時應善于借題發揮、擴展思路，一題多解、多題一解，通過不同角度思考問題，提高知識遷移能力，尋找解決問題的多種途徑及多種可能的結論，這樣能促進思維的靈活性。同時多解中的新思路、新方法，又有利于創新思維的形成，而在應用多種解法中選擇更簡、更優的解法，有利于優化思維品質。
　　《數學課程標準》指出，由于學生的生活背景、知識基礎和思考角度不同，在解題中所使用的方法必然是多樣的，教師應該尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，倡導解題方法的多樣化。下面我結合自己在數學教學中遇到的一道選擇題，談談如何實現一題多解，培養學生思維的靈活性和創新能力。
　　例：如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形。設△AFC的面積為S，則（?搖?搖）
　　A．S=2 B．S=2.4
　　C．S=4 D．S與BE的長度有關
　　解決圖形的面積問題，常用的方法無外乎兩種，一種是直接求，另一種是間接求，也就是把原圖形的面積用“割補法”進行轉化。這題也不例外。
　　方法一：間接求。這是學生遇到稍微困難點的求圖形面積問題時最常用的方法。這題就有很多種“割補”的方法。如：
　　生1：將△AFC的面積轉化成梯形ABGF與△ABC的面積和減去△FGC的面積。設正方形EFGB的邊長為a，則
　　S=S+S-S
　　 =(a+2)×a+×2×2-a(a+2)
　　 =a+a+2-a-a
　　 =2
　　生2：過點A作AM⊥FG，交GF的延長線與點M（如圖所示），則
　　S=S-S-S
　　=（a+a+2）×2-×a×(2-a)-a(a+2)
　　=2a+2-a+a-a-a
　　=2
　　……
　　利用割補法求圖形的面積，轉化的方式有很多，這里不一一贅述。
　　方法二：直接求。利用三角形的面積=×底×高。這里勢必會選擇AC為底，然后過點F作FM⊥CA的延長線于點M。因為這里的高的求法，一般學生不易想到，所以學生往往會選擇間接求，進行適當的轉化。實際上，在選擇AC為底時是因為△AFC中只有AC這一條邊可以求出來，那么就要想到另一個正方形EFGB的對角線同樣能起到作用。連接FB，易知FB∥AC，那么利用“平行線之間的距離處處相等”就可以求出高FM=AC=。
　　這樣，S=AC×FM=×2×=2
　　……
　　上面兩種方法是學生比較容易想到的方法，也是我們求圖形面積常用的兩種方法。我們應該肯定學生的思維，培養學生的學習積極性。
　　實際上，對于這道選擇題，還有其他的解法。如題目已知條件告訴我們“點E在AB上”，那么我們是否可以考慮點E在AB的特殊位置上呢？
　　假設點E在點B處，那么正方形EFGB的邊長就為0，點F、點G就和點B重合（如圖1所示），那么△AFC的面積就是△AEC的面積=2。如果點E在點A處，那么正方形EFGB的邊長就為2（如圖2所示），那么△AFC的面積就是×AF×CD=×2×2=2。如果點E在AB的中點處，（如圖3所示），那么我們易知AE=EF，∠FAE=45°，從而得到∠FAC=90°，那么△AFC的面積就等于×AF×AC=×2×=2。
　　這樣我們很快就可以選出正確答案A。
　　從點的特殊位置所得到的結果我們可以猜想一般結論，而從一般結論又可以驗證特殊值。當代數學教育家G.波利亞認為：“我們如果不用‘題目的變更’，幾乎是不能有什么進展的。”事實上，在眾多的數學問題中，特殊與一般之間都有密切的關系，它們往往是一個整體。但在我們的數學教學中，這類原本具有整體性的問題往往被分割成一個個單題，以致學生找不出其中的聯系。這就是說，在試題講評時，不能就題論題，對涉及知識、技能面廣的題目，要力爭“一題多變”、“一題多練”，引導學生擴展思路，縱橫聯系。我們應對相關知識進行有效的拓展與遷移，對該知識點聯系到的相同、相似和相關的知識進行比較、鑒別和再認識，以培養學生舉一反三、融會貫通的能力。這樣才能達到使學生做一題，學一法，會一類，通一片的目的，無論是對于知識的掌握，還是對于認識水平的升華，都會起到不可估量的作用。
　　將上題進行如下變式：
　　例：如圖4，四邊形EFGB與ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a、b（b≥2a），且點F在AB上（以下問題的結果可用a、b表示）。
　　（1）求S；
　　（2）把正方形BEFG繞點B逆時針方向旋轉45°得圖4，求圖4中的S；
　　（3）把正方形BEFG繞點B旋轉任意角度，在旋轉過程中，S是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由。
　　簡析：題（1）求△AFC的面積以AF為底，BC為高計算雖然簡便；若從探究問題（2）、（3）考慮，抓住正方形BEFG繞點B旋轉任意角度，在旋轉的過程中AC始終不變，△AFC的面積隨AC上高的變化而變化，求AC上的高成為問題的關鍵。據此，解題（1）時以AC為底，用解三角形求AC上的高，但是，此求高的方法對探究問題（2）、（3）不利。細心觀察圖4，可以發現EF∥AC，聯想到等積變形，把求△AFC的面積轉化成求△AEC的面積，在尋找△AFC邊AC上高的過程中又發現B、E、D在一直線上，OE就是高，此時已知AC上高與對角線BD相關。顯然探究問題（2）成了（1）的翻版（只是BF∥AC，△AFC與△ABC等積變形，這就是本題的“變”中之“不變”）。解決問題（3）的關鍵是，要看到正方形BEFG繞點B旋轉任意角度，點F的軌跡是以B為圓心，BF為半徑的圓（如圖6），當b>2a時，在位置F時△AFC的面積最小（b=2a時，沒有最小值）；在位置F時△AFC的面積最大，高仍與對角線BD相關。
　　本題從原來的邊長是具體數字，拓展為邊長是一個代數式，體現了從特殊到一般的思想方法，拓寬了學生的思維。如果說一題多解能培養學生思維的靈活性，多題一解則更能培養學生思維的廣闊性和變通性。G.波利亞說：“掌握數學就意味著要善于解題。”一語道出了數學教學的根本目的——提高學生探索和解決問題的能力，培養學生的數學創新精神。我們在求解一個新問題時，只有透徹理解數學思想、數學方法并融會貫通，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最優方案。而一題多解的思想具有對所學知識加以融會貫通的作用，不僅僅體現了解題能力的強弱，更重要的是其具有開放式思維特點，是一種培養創新能力的重要思維方法。因此，一題多解和多解一題應當成為我們掌握數學知識和探索數學思維規律的重要手段，也應成為數學教學的閃光點。