小學數學思想方法簡論

　　摘 要： 數學思想就是對數學知識和方法的本質認識，是數學方法的精髓和靈魂，數學方法就是解決數學問題一般程序，是數學思想的具體表現和實際應用，稱為數學思想方法。數學思想方法是數學理論學習和實踐運用的指導思想，因此，了解和掌握數學思想方法對于提高數學水平，培養分析解決問題的能力和深化數學素養有著重要的作用，是學好數學的法寶。在小學數學教學中滲透一些數學思想方法，對于探索和改革數學教學具有十分重要的意義。
　　關鍵詞： 小學數學教學 數學思想方法 化歸思想 數形結合思想 對應思想`
　　一、數學思想方法的概述
　　數學思想方法源于人類的社會實踐與數學活動。數學思想方法與哲學思想方法有著密切的關系。古希臘數學的開創者泰勒斯和畢達哥拉斯同樣也是古希臘著名的哲學家，這就使古希臘數學不可避免地打上了哲學思想方法的烙印。古希臘數學的主要特色是演繹論證，而這個特色則源于哲學界的辯論之風，并由此形成了數學的論證思想和方法，這個思想方法使數學成為人們公認的真理體系。不僅論證思想方法與哲學有關，其他的數學思想方法與哲學也密不可分。
　　數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們習慣把它們合稱為數學思想方法。小學數學教材是數學教學的顯性知識載體，再重要的法則、公式，在教材中只能看到漂亮的結論，而許多例題的解法，也只能看到巧妙的處理，卻看不到有特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動過程。因此，數學思想方法是數學教學的隱性知識系統，小學數學教學包括顯性教學和隱性教學。如果教師在教學中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習這一傳統的教學過程，即使教師講得再深再透，學生也很難掌握，即使能夠掌握，這樣培養出來的學生也只是“知識型”、“記憶型”的，也不完全符合數學教學的目標。
　　在認知心理學中，思想方法屬于元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節的作用，對培養能力起著指導性作用。學習數學的目的“就意味著解題”，而解題的關鍵在于找到合適的解題思路，數學思想方法就是幫助找到解題思路的武器。因此，向學生滲透一些數學思想方法，是提高學生的數學水平和數學素養，鍛煉學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
　　數學知識本身固然重要，但它并不是惟一的決定因素，而真正對學生以后的學習、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的是數學思想方法。未來社會將需要大量具有較強數學意識和數學素養的人才。21世紀國際數學教育的根本目標就是“問題解決”。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，是適應未來社會的要求和國際數學教育發展的時代召喚，小學數學教學的根本任務是全面提高學生的數學技能和思維能力，其中最重要的是思維素質，而數學思想方法就是增強學生數學觀念，形成良好思維素質的關鍵。
　　二、小學數學教學中具體的思想方法
　　1.化歸思想。所謂化歸就是將有待解決或未解決的問題通過某種轉化方式，化歸為另一個相對比較容易解決的或者已經有解決辦法的問題，以最終解決問題。在小學數學教學中，遇到一些數量關系復雜、隱蔽而難以解決的問題時，可先轉化，使生疏復雜的問題熟悉簡單化、抽象的問題具體化，從而順利解決問題。例如，在平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積計算公式的推導中，全都運用了轉化的思想。又如，把一個沒有學過的圖形，經過割補、剪拼，轉化成學過的圖形來求，還有相遇問題和工程問題的轉化，單位“1”的轉化，分數應用題和比例應用題的轉化，解決問題中一些已知條件的轉化，等等。把一個實際問題通過某種轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一較簡單的問題。值得注意的是化歸思想不同于一般所講的“轉化”、“轉換”，它具有不可逆轉的單向性。
　　2.數形結合思想。數學是一門以現實世界中空間形式和數量關系為研究對象的科學，也就是說，“數”與“形”是數學學科所研究的基本對象和基本內容。在小學范圍內，“數”一般指實數、代數式等；“形”一般指線段、長方形、正方形等幾何圖形。數與形的關系并不是彼此孤立的，而是相互聯系、相互依賴、相輔相成、密不可分的，并且在一定條件下是可以相互轉化的。數形結合的思想方法能夠充分利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來，是通過具體事實的直觀形象思維過渡到抽象邏輯思維的方法。數形結合思想是在解決數學問題的過程中，結合問題中各要素間的本質聯系，根據實際需要，將數量關系與幾何圖形相結合，依據數與形的對應關系，通過數與形相互轉化的使問題得到巧妙解決的一種思想方法。數形的結合是雙向的，一方面，抽象的數學概念、復雜的數量關系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化，如用線段圖、長方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數量關系，使問題簡明直觀。另一方面，復雜的形體可以用簡單的數量關系表示，用圖解法分析問題就是運用這種方法。數形結合能在數和形之間架起一座連接彼此的橋梁，可以將二者有機地結合起來，實現數和形的完美統一。其解決問題的策略具體表現為把有關數量關系的問題轉化成圖形性質的問題進行分析，或將有關圖形性質的問題轉化成數量關系的問題加以探討，最終使問題得以解決，達到事半功倍的效果。這種思想方法不僅要對問題中數的含義予以分析，而且要對其幾何意義加以表述，把抽象的數學運算和直觀的幾何圖形緊密地聯系起來。它具備數的精確性和形的直觀性的雙重優勢，以數精確地分析形，或以形直觀地表示數。如二年級開始教學生畫線段圖分析應用題中的數量關系。數形結合思想有助于深化學生對數學知識的理解，為學生學好數學提供有效的方法和策略，拓寬學生的思路，使學生的抽象思維和形象思維都得到發展，增強思維的靈活性，提高思維品質。教師要注重這種思想方法的滲透，對蘊涵在數學知識中的數形結合思想適時地予以揭示和提煉，使學生在獲取數學知識的同時，還能體會數學思想方法的運用，使學生更好地把握數學本質，提高學生分析問題與解決問題的能力，以及開拓創新的能力。因此，在數學教學過程中，要有機地結合數學知識的內容，做到持之以恒、循序漸進和反復訓練，使學生真正地領悟數學思想方法。
　　3.對應思想。對應思想是指在兩類事物(集合)之間建立某種聯系的思維方法，是數學的基本思想方法之一，是函數和方程的思想支柱。在小學數學中“對應”的現象，也是隨處可見的，譬如數與形、量與量、量與率、數量的變化規律等，都需要尋找對應關系。我們不僅要使學生理解這些“對應”關系，而且能運用“對應”的思想去解決問題。因此，在教學中恰當地運用對應思想，會起到不同凡響的效果，但在具體教學中要注意以下幾方面。
　　首先要注意在觀察對比中對應思想。觀察是一種有目的、有順序的知覺過程，學生通過觀察有關表面知識，在理解的基礎上引導學生進行比較，培養學生發現問題、解決問題的能力。烏申斯基說：“觀察、比較是一切思想的基礎。”在教學中，有效地指導學生觀察，并通過比較，能優化學生“看”和“思”的過程，使學生發現問題的本質，從而領悟、體會數學思想。如：在教“數數”、“比多少”等知識時，通過對物與數、圖與圖匹配關系的觀察，就滲透了對應的思想方法。又如在算式中，由于數的變化而導致結果的變化，都需要學生在對比觀察中找出對應關系。
　　
　　其次，要在數形結合中滲透對應思想。通過在數與形之間建立對應關系，把數量關系轉化為圖形性質，或者把圖形性質轉化為數量關系，幾何問題就能用代數方法來研究，使代數由于運用幾何模型而具有鮮明的直觀性，通過與幾何的類比而得到進一步的發展。小學生正處于形象思維向抽象思維過渡的時期，教師在教學中應注重揭示和運用數形結合的方法，幫助他們完成對數學知識從具體到抽象、從簡單到復雜的理解。許多抽象的數學概念和復雜的數量關系，可借助圖形使問題直觀化、形象化、簡單化。如在教11—20各數的認識時，教師可適時地提供數軸，讓學生借助數軸對讀數、寫數、基數、序數進行區分辨認，使學生知道有方向的直線上的每一點都與數一一對應。又如在圖形的面積教學中，先要求學生能熟練地尋找每條底邊，并與這條底邊相對應的高。當學生學會簡單的圖形面積計算時，教師應利用圖形的動態變換，如演示三角形的面積中，同底等高的三角形有無數個。這就使學生理解一個面積的數量，對應了無數多個圖形。又如，在小學數學應用題教學中，常常用線段圖使數量關系形象化，其實質就是用線段圖的長短表示數量的大小，借助線段長度的和、差、倍、分關系來表示數量關系。這樣蘊涵在題中的數量關系能通過圖形直觀地顯示，學生就能在形象思維的幫助下，提高邏輯推理活動的有效性，有利于更好地分析題意，較快地找到解決問題的途徑。
　　最后，在應用中滲透。讓學生掌握對應的思想方法去分析問題，是提高學生解決問題能力的重要策略。如下一道題：“買5個籃球和1個足球需要360元；買5個籃球和5個足球需要480元，買1個籃球和1個足球分別需要多少元?”這道題就是原題的文字表述，學生往往會感到困難。如果讓學生養成把條件重新對應摘錄分析的習慣，解決此題就輕而易舉了。把題中數量關系對應成表格，或寫成以下形式：
　　籃球 足球 總價
　　學生從以上對應關系中就能一目了然地看出4個足球的價錢是120元，這樣問題就迎刃而解了。又如在正、反比例問題中，更加突出兩個對應變量之間與不變量的關系。解題時如何較快地找出對應量與不變量，形成對應思想是教學的關鍵。如：“小明家到學校有720米，6分鐘走到，照這樣計算，小明家到電影院960米，幾分鐘走到?”
　　當學生能自覺地利用對應思想去分析時，像以上題目，就會較快地找到“720米”與時間“6分鐘”的對應，求出速度（720÷6=120米）。此速度就是走“960米”的速度，就能求出需要的時間。
　　參考文獻：
　　［1］汪繩祖.小學數學教育學［M］.北京：高等教育出版社，1997.11.
　　［2］吳炯圻，林培榕.數學思想方法：創新與應用能力的培養［M］.廈門：廈門大學出版社，2009.