課堂外的數字世界

　　在我們數學課堂教學的閑暇，適當地開展一些相關的拓展課堂是一種很有價值的輔助教學嘗試。經由這樣的拓展教學嘗試，我們可以邂逅書本外的知識，拓展中學生的數學視野，分享快樂與啟迪智慧……本文源自在上海市復興實驗中學中預（2）班開展的一次初中數學的拓展課堂，在介紹數的整除內容的基礎上，與學生一起討論有關完美數和親和數的一些數學知識和相關數學故事與文化。
　　具體的課堂教學的設計與嘗試如下：
　　一、來自課本外的數字朋友：新知識的呈現
　　教學片段一：完美數的引入
　　師：上節課我們學習了因數，現在我們來回顧一下，請同學們依次在下列表格中填寫出8的因數和10的因數。
　　（在師生互動下寫出如下表格的第一行。）
　　師：很好，下面我們來學習一個新概念——真因數，真因數指除去它本身的因數。如8的真因數是1，2，4；10的真因數是1，2，5。（邊說邊完成表格。）
　　師：請同學們試著寫出下列各數的真因數：4，6，12，14。
　　在師生互動下寫出：
　　4：1，2
　　6：1，2，3
　　12：1，2，3，4，6
　　14：1，2，7
　　師：現在請同學們算算上面這些數各自的真因數之和，你能發現它與原來的數有什么關系嗎？有沒有什么比較特別的數？
　　2~3分鐘后，有學生說：“6是與眾不同的一個數：1+2+3=6，其和正好等于它本身。而其他數的真因數之和不是大于就是小于原數。”
　　師：好。現在讓我們兩人一組去找找看在15~30中有沒有和6一樣——其真因數之和等于本身這樣獨特性質的數？
　　教學目的：讓學生體驗如何去找完美數，一個一個去算，體會數學家找這些完美數的過程。然后學生會發現在這些他們計算的數中，28也是具有這樣性質的數：28＝1＋2＋4＋7＋14。由此引出完美數的概念。
　　完美數，就是一些特殊的自然數，它所有的真因素（除了自身以外的因數）之和恰好等于它本身。
　　師：由此我們可以知道，6和28都是完美數。其實，在所有兩位數中，已經沒有其他完美數了。
　　而像12這樣小于它的真因數之和的叫做虧數（不足數）；大于真因數之和的（如14）叫做盈數或過剩數。
　　隱藏在數中的精彩——故事一：
　　同學們，你們知道嗎？（一邊指著完美數一邊說）宗教學者將它們視為宇宙經緯的一部分：上帝創造世界用了6天，月亮繞地球一周需28天。古希臘人也非常重視完美數的研究。大約在公元前100年，有一個叫尼可馬修斯的數學家寫了第一本專門研究數論的書《算術入門》，其中寫道：“也許是這樣：正如美的、卓越的東西是罕有的，是容易計數的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；所以盈數和虧數非常之多，而且紊亂無章，它們的發現也毫無系統……”現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們只發現47個，而且都是偶完美數。前5個完美數分別是：6，28，496，8128，33550336。
　　當告訴學生第3個完美數是496，第4個數是8128時，他們都露出非常驚訝的表情，“難道中間就沒有完美數了嗎？”有學生問。當說出第5個數是33550336時，他們真的不敢相信了，有學生直呼：“哇，不是吧！”有的還說：“不行，我得回去算算。這么多數中間，難道都沒有一個完美數嗎？”
　　師笑而不語，問：同學們有沒有發現這些完美數有什么共同特征？
　　生1：老師，我知道，他們都是偶數。
　　師：嗯，是的，而且末尾都是6和8的偶數。
　　生2：老師，那有沒有是奇數的完美數呢？
　　師：這依然是完美數世界的一個謎，等待著你們去發現呢！
　　生：哦，這么神奇啊，到現在科學家們都沒找到一個奇完美數嗎？
　　同學們都很驚訝。
　　教學片段二：親和數的引入
　　師：接下來讓我們繼續追尋數之世界的傳奇。聽，有下面的一小段數學故事
　　故事二：
　　其實在古代，人類就對某些數字有著非常特別的情結。紀元前的一些人類部落把220和284兩個數字奉若神明。在那個時期，男女青年擇偶時，往往先把這兩個數分別寫在不同的木簽上，他們若分別抽到了220和284，便被確定為終身伴侶；否則，他們便被認定天生無緣，只有分道揚鑣。這種結婚方式固然是古老部落的陋俗，但在某種迷信色彩的背后，卻隱匿著人們對于這兩個數字的敬畏。表面上，這兩個數字似乎沒有什么神秘之處，其實不然。
　　當說到這兒的時候，師故意停頓了一下。
　　這時，很多學生已經迫不及待了，老師，這兩個數到底有什么神秘的呀，你快說呀！
　　師：好，這兩個數有什么特殊之處呢？讓我們一起來發現隱藏在其間的秘密吧……現在我們把班上的同學分成兩個組，分別來算算220和284的真因數。
　　班上學生自然地被分成兩組，一組算220的真因數，一組算284的真因數，它們的真因數很快就算出來了：
　　220：1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20，
　　284：1，2，142，4，71。
　　師：有哪位同學發現了隱藏在其中的神秘寶藏？……友情提醒，請同學們分別計算這兩個數的真因數之和……
　　生：老師，真的很神奇耶！我們發現220的全部真因數之和恰好等于284；而284的全部真因數之和又恰好等于220。
　　然后黑板上的文字呈現如下：
　　220=1+2+4+71+142
　　284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
　　這個發現讓許多學生非常興奮，覺得世界上真有這么巧的事情存在。有學生說：“老師，世界上真有這樣的兩個數存在啊，太神奇了，還有這樣的數嗎？”“是啊，老師，這樣的數還有嗎？”同學們都問道。
　　師：是的。像220和284這樣的一對數，數學家稱它為親和數，有的書上也叫友好數。讓我們先說一下親和數的定義吧。
　　親和數的定義：設有一個數對（c，d），如果c是d的所有真因數的和，而d是c的所有真因數的和，我們就稱這個數對（c，d）是親和數。
　　師：現在老師可以給你們看一個神奇的圖表（電子版展示圖表如下）。
　　故事三：
　　親和數其實可以有許多許多對。我們上面看到的數對（220，284）則是最小的一對親和數。遠在1747年的時候，一個叫歐拉的大數學家找到了30對親和數，后來又擴展到了60對，不僅列出了數表，還公布了全部的計算過程，令數學家們拍案叫絕。同學們知道嗎？其實當時的大數學家們竟然漏了一對很小的親和數：1184和1210。這是一個名叫白格黑尼的中學生在1866年發現的。當時他才16歲……你們看，小小少年竟然發現數學大師們的疏漏……
　　于是這又迎來學生片刻數學興趣的高潮。1184和1210的真因數似乎不大容易算，同學們不是漏了這個就是漏了那個。終于，在諸多同學的共同努力下，大家一起計算和驗證了1184和1210確實是一對親和數，同學們都顯得興奮異樣。
　　二、數學思考的再拓展——數學的黑洞
　　師：我們把一個數m的所有真因數之和記作p（m）。我們把它稱作p的函數。則有p（6）=6，p（28）=28，p（220）=284，p（284）=220。
　　我們可以通過圖1來說明。
　　這個表示的是2環的數鏈，我們可以把它記為p2（220）=220，那么，請同學們思考一下，是否有這樣的數m存在，使得p3（m）=m？知道這是什么意思嗎？
　　生：老師，我知道，就是一個數經過3次真因數之和的計算回到它本身。
　　師：是的，我們也可以通過圖2來說明。
　　這個表示的是3環的數鏈。那請同學們想想，是否會有這樣的數鏈存在呢？
　　在一些學生熱情的提議下，我們開始尋找這樣的3環的數鏈之旅：有的同學組成小組，利用團結合作的方式，而有的同學自己在冥思苦算，力圖獨立完成探究，還有的在小聲地商量著……
　　10分鐘后的話題回旋。
　　師：好，同學們有誰找到了這樣的數？或者，你們有沒有什么別的發現？
　　生1：老師，我算來算去最后都回到了1。
　　生2：老師，我也是。
　　生3：老師，我們都是……
　　我們在黑板上列出一些同學計算的過程如下：
　　20→22→14→10→8→7→1
　　32→31→1
　　30→42→54→66→78→90→144→259→45→33→15→9→4→3→1
　　師：呵呵，這個非常獨特的現象就是數學上有名的“數學的黑洞”上面的計算之旅或多或少告訴大家，在p－函數的鏡像中看，1是數學上的一種黑洞。經過上面的計算過程，絕大多數最后都回到1。而6，28，220，284…這些數則是剩下的少數派——完美數與親和數，演繹著逃離黑洞的奇跡。相關于完美數與親和數更多的數學童話，請同學們查閱課堂外廣闊的網絡世界……
　　這是一個大約60分鐘的數學拓展課堂。課后我們做了一個簡單的問卷調查。相關的數據說明，學生們對這樣的課堂是充滿期待和非常歡迎的。課結束后，同學們都咋咋稱奇，訝異于這些數字的神奇，體會著數學的神秘。這一數學拓展課堂讓許多同學耳目一新，不僅豐富了知識，拓展了視野，而且大大地提高了數學學習的熱情。選擇在比較緊張與相對枯燥的中學數學教學的閑暇，添加一些數學的趣味話題和數學故事的點滴，做一點數學拓展課堂的嘗試，對于中學生拓展數學知識與視野，對于他們數學學習熱情的提高和數學學科德育教育無疑是大有益處的。我們真誠的希望，這樣的數學課堂再多一些。
　　（作者單位 上海市復興實驗中學 華東師范大學數學系）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文