話說反證法

　　反證法作為一種證明命題的方法，有時(shí)起著其他證明方法所達(dá)不到的作用。但是很多學(xué)生往往對它的原理、步驟及適用對象等認(rèn)識不清楚而使用不好。本文從反證法的各個(gè)方面進(jìn)行了闡述，并且精心選編了例題和練習(xí)題，試圖幫助同學(xué)們學(xué)好這一種方法。
　　一、何為反證法
　　我們證明一個(gè)命題，一般是從已知出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出結(jié)論。這種方法就稱為直接證法。一個(gè)命題，當(dāng)用直接證法比較困難時(shí)，可采用間接證法。反證法就是一種間接證法，它不是直接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命題結(jié)論的反面不能成立。即先假設(shè)所需證明的命題的結(jié)論不成立（也就是結(jié)論的反面成立），然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法。
　　反證法作為證明方法的一種，有時(shí)起著直接證法不可替代的作用。
　　二、反證法的理論依據(jù)
　　反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為假，至少有一個(gè)是真的，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到互相矛盾的兩個(gè)判斷，根據(jù)“矛盾律”和“排中律”，這一互相否定的判斷不能同時(shí)都為真，也不能同時(shí)為假，必有一真一假，而定義、公理、已證定理或已知條件都是正確的，那么“假設(shè)”就是錯(cuò)誤的，于是我們得到原結(jié)論是正確的。反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，所以反證法是可信的。
　　三、反證法證題的一般步驟
　　1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立，或假設(shè)命題結(jié)論的反面成立；
　　2.從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；
　　 3.由矛盾判定，假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。
　　反證法的關(guān)鍵是第一步，要正確假設(shè)，否則就不是反證法。核心是第二步，運(yùn)用假設(shè)導(dǎo)出矛盾。如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要斷定這種情況不成立就可以了；如果命題的反面情況有多種，那么必須斷定所有的反面情況都不成立，才能推斷原結(jié)論成立。
　　四、什么樣的命題適合運(yùn)用反證法
　　原則上是當(dāng)直接證明較困難或無從下手時(shí)，就考慮運(yùn)用反證法。一般來說，反證法常用于有下述特點(diǎn)的命題的證明：
　　1.結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)；
　　2.結(jié)論是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；
　　3.結(jié)論涉及“存在或不存在”“有限或無限”等形式；
　　4.結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明。
　　 一些常見結(jié)論及其的反設(shè)如下：大于（＞）與不大于（≤）；小于（＜）與不小于（≥）；是與不是；都是與不都是；都不是與至少有一個(gè)是等。
　　五、反證法證題舉例
　　例1.求證方程x2＝y(tǒng)2＋2010沒有正整數(shù)解。
　　證明：假設(shè)方程x2＝y(tǒng)2＋2010有正整數(shù)解x=my=n，
　　則m2＝n2＋2010，（m＋n）（m－n）＝2010。
　　由于m＋n與m－n同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以（m＋n）（m－n）是奇數(shù)或是4的倍數(shù)。
　　但2010＝2×1005既非奇數(shù)，也非4的倍數(shù)。這說明“假設(shè)方程x2＝y(tǒng)2＋2010有正整數(shù)解”是不正確的。
　　故方程x2＝y(tǒng)2＋2010沒有正整數(shù)解。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文