組合信用風(fēng)險(xiǎn)模型的蒙特卡羅模擬探討

摘 要：信用風(fēng)險(xiǎn)的度量一直是國(guó)內(nèi)外金融體系關(guān)注的重點(diǎn)，CreditMetrics、KMV、Creditrisk+及CreditPortfolio View（CPV）等信用風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量模型相繼被引入國(guó)內(nèi)，有力地推動(dòng)了相關(guān)領(lǐng)域的研究與發(fā)展。本文通過CreditMetrics模型對(duì)債券組合的信用風(fēng)險(xiǎn)考察，在考慮了債券有效期內(nèi)信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑的情況下，利用信用風(fēng)險(xiǎn)CreditMetrics模型對(duì)債券組合的遠(yuǎn)期價(jià)值分布進(jìn)行蒙特卡羅模擬。最后通過債券組合的遠(yuǎn)期價(jià)值分布測(cè)算在一定置信度下債券組合的VaR，對(duì)模型的應(yīng)用進(jìn)行了改進(jìn)。

關(guān)鍵詞：信用風(fēng)險(xiǎn)；信用轉(zhuǎn)移；CreditMetrics；VaR；Cholesky分解

中圖分類號(hào)：F820 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ 文章編號(hào):１００３－９０３１(２０11)12－００11－０4 DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2011.12.03

一、引言

隨著全球性金融危機(jī)的蔓延，全球范圍內(nèi)金融機(jī)構(gòu)相繼破產(chǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)越來越成為銀行業(yè)所面臨的主要風(fēng)險(xiǎn)之一。90年代中期，國(guó)際各大銀行和咨詢中介機(jī)構(gòu)積極研究和開發(fā)信用風(fēng)險(xiǎn)模型，主要包括J.P.Morgan開發(fā)的信用度量技術(shù)（CreditMetrics），KMV公司開發(fā)的信用監(jiān)測(cè)模型（Credit Monitor Model，1993），CSFB的信用風(fēng)險(xiǎn)附加法（Credit Suisse Financial products’CredigRisk+模型，Credit Risk+，1997），麥肯錫公司（Wilson And Mckinsey）開發(fā)的信貸組合分析模型（CreditPortfolioView，1995）等。

CreditMetries模型（信用度量術(shù)）于1997年4月由J.P摩根和KMV公司共同開發(fā)的，也是第一個(gè)測(cè)度投資組合風(fēng)險(xiǎn)的模型。此后，A.Nyfeler（2000）、Lawrece R.Forest和Kpmecpeat Marwick（2000），David John和John Mingo（2001）對(duì)此模型作了進(jìn)一步解釋和拓展，現(xiàn)己基本成熟，并成為最著名的信用風(fēng)險(xiǎn)模型之一[1]。而國(guó)內(nèi)對(duì)該模型的研究開始比較晚，比較集中于對(duì)模型基本理論進(jìn)行解釋，以及對(duì)信用等級(jí)矩陣轉(zhuǎn)移相關(guān)關(guān)系和資產(chǎn)收益率分布改進(jìn)等橫向研究，缺乏在時(shí)間軸上對(duì)信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑的縱向研究。本文主要從此方面進(jìn)行突破，通過在CreditMetrics模型中加入信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑，估算出更具連續(xù)性的信用風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。本文首先對(duì)CreditMetrics模型進(jìn)行分析，CreditMetrics模型做出兩個(gè)關(guān)鍵假設(shè)：一是實(shí)際違約率等于歷史違約率；二是同一等級(jí)的公司具有相同的違約率。CreditMetrics模型的起點(diǎn)是信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移分析，即分析債務(wù)人在給定的風(fēng)險(xiǎn)期間從一種信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移為另一種信用評(píng)級(jí)的概率。其次，CreditMetrics模型基于內(nèi)部評(píng)級(jí)系統(tǒng)或外部評(píng)級(jí)結(jié)果，給所有債務(wù)人也都賦予一個(gè)信用評(píng)級(jí)。通過采用與信用評(píng)級(jí)級(jí)別相對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)率，可以估計(jì)出與每一個(gè)評(píng)級(jí)級(jí)別可對(duì)應(yīng)的貸款市值。

目前，國(guó)內(nèi)雖然已經(jīng)開始了對(duì)于Credit Metrics模型的蒙特卡羅模擬研究，但在計(jì)算某個(gè)資產(chǎn)組合給定時(shí)間段后的遠(yuǎn)期價(jià)值時(shí)，不曾考慮之后的信用級(jí)別的轉(zhuǎn)移。本文利用信用風(fēng)險(xiǎn)中的Credit Metrics模型對(duì)債券組合未來期末價(jià)值進(jìn)行蒙特卡羅模擬，將信用級(jí)別的轉(zhuǎn)移路徑應(yīng)用到資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)值的計(jì)算中，在一定的置信度下，計(jì)算銀行債券組合在一定時(shí)期內(nèi)的VaR值，并將相應(yīng)結(jié)果與不考慮債券信用級(jí)別轉(zhuǎn)移的遠(yuǎn)期價(jià)值的模擬結(jié)果進(jìn)行比較。

二、CreditMetrics模型的債券組合信用風(fēng)險(xiǎn)

（一）信用等級(jí)轉(zhuǎn)移

在CreditMetrics模型中，信用風(fēng)險(xiǎn)不僅來自于違約，也來自信用等級(jí)的遷移。參照標(biāo)準(zhǔn)普爾對(duì)債權(quán)發(fā)行人的信用等級(jí)劃分，由高到低分別為AAA，AA，A，BBB，BB，B，CCC，D。其中等級(jí)D代表違約。表1為標(biāo)準(zhǔn)普爾給出的一年信用等級(jí)遷移矩陣。

本文對(duì)債券的考察期限為一年，假設(shè)債券期末的信用等級(jí)由債券發(fā)行人的資產(chǎn)收益率決定，資產(chǎn)收益率由股票收益率代表，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，根據(jù)股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)化確定債券所在信用等級(jí)[2]。

假設(shè)一個(gè)債券信用等級(jí)為K，該債券發(fā)行人資產(chǎn)收益率對(duì)數(shù)X服從均值為?滋，標(biāo)準(zhǔn)差?滓為的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)化后x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。該債券在一年后的期末所處的可能的信用等級(jí)有8個(gè)，用數(shù)字1~8分別表示這些由低到高的等級(jí)。根據(jù)一年期債券等級(jí)轉(zhuǎn)移概率對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化的對(duì)數(shù)收益率確定以下閥值：Zk，1=-∞，Zk，2，…，Zk，8=+∞。當(dāng)Zk，s-1

（二）違約相關(guān)系數(shù)矩陣

由于組合中債券的違約會(huì)受到一些共同因素的影響，即組合中的債券違約具有相關(guān)性，在模型中體現(xiàn)為信用轉(zhuǎn)移的相關(guān)性。信用轉(zhuǎn)移由資產(chǎn)收益率決定，本文根據(jù)債券發(fā)行人的資產(chǎn)歷史對(duì)數(shù)收益率的相關(guān)性來確定組合債券的違約相關(guān)系數(shù)。

如有兩個(gè)債券：債券1和債券2，它們的資產(chǎn)收益率對(duì)數(shù)分別為X1~N(?滋1，)，X2~N(?滋2，?滓)，X1，X2的相關(guān)系數(shù)為?籽，這兩個(gè)債券發(fā)行人的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率的相關(guān)系數(shù)為?籽=?籽?籽。可見，通過債券發(fā)行人資產(chǎn)收益率對(duì)數(shù)的相關(guān)系數(shù)直接得到標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率的相關(guān)系數(shù)，且對(duì)于組合債券數(shù)的情況也同樣成立。對(duì)于包含n個(gè)債券的組合，若各債券發(fā)行人的對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)矩陣為?蒡(?籽)n×n，那么它們標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)矩陣也為?蒡(?籽)n×n，若用X（x1，x2，…，xn）'表示標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)收益率向量，那么X 服從均值向量為零向量 0、方差協(xié)方差矩陣為?蒡(?籽)n×n的n 維正態(tài)分布N(0，?蒡)[3]。

（三）確定債券的遠(yuǎn)期價(jià)值

第一， 當(dāng)不考慮債券有效期內(nèi)信用級(jí)別的轉(zhuǎn)移路徑時(shí)。假設(shè)債券一年后所處的信用級(jí)別將在以后的有效期間內(nèi)保持不變。根據(jù)每一個(gè)信用級(jí)別的遠(yuǎn)期利率曲線，得出債券的遠(yuǎn)期價(jià)值。考慮一個(gè)債券的信用等級(jí)為K，k=2，…8，債券面值為M，票面利率為r，到期期限為T年。該債券在一年后的信用等級(jí)為S，s=2，3，…8，即S為非違約等級(jí)時(shí)。該債券在一年末的遠(yuǎn)期價(jià)值為：

Vs=M#8226;r++ （1）

上式中rs，t表示信用等級(jí)為S 的債券在1年至( 1+ t )年期限內(nèi)的遠(yuǎn)期利率。若S=1，即一年后債券為違約級(jí)別，則債券一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值為：

Vs=M*F （2）

F 為該債券在違約時(shí)的回收率，服從的貝塔分布[4]。

第二，當(dāng)考慮債券有效期內(nèi)信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移路徑時(shí)[5]，先模擬債券的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑，再根據(jù)不同的信用級(jí)別確定相應(yīng)的遠(yuǎn)期貼現(xiàn)利率。如考慮一個(gè)債券的信用等級(jí)為K，k=2，…8，債券面值為M，票面利率為r，到期期限為T年。債券在一年后的信用等級(jí)為S1，并且通過模擬產(chǎn)生的之后年度的信用等級(jí)分別為St，t=2，3，…T。如果直至到期日T，債券信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移路徑都不曾出現(xiàn)違約等級(jí)，則債券一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值為：

Vs=M#8226;r++ （3）

上式中rs，t表示信用等級(jí)為St的債券在t年至（1+ t）年期限內(nèi)的遠(yuǎn)期利率。若該債券的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑中出現(xiàn)了違約等級(jí)，如在n（n≤T）年末處于違約級(jí)別，則債券一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值為：

Vs=M*r++，n≥2 （4）

Vs=M*F，n=1 （5）

上式中表示債券在第n年末處于違約等級(jí)時(shí)在n-1年到n年期限內(nèi)的貼現(xiàn)率，由于并不存在違約級(jí)別債券的遠(yuǎn)期利率曲線，債券即使違約依然有一部分價(jià)值可回收，因此本文中假設(shè)債券處于違約級(jí)別時(shí)最后一年的貼現(xiàn)率rs，n-1為無風(fēng)險(xiǎn)利率，F(xiàn)為服從的貝塔分布的債券違約回收率。假設(shè)一個(gè)等級(jí)為AA的債券還有五年到期，通過蒙特卡羅模擬出它的一條未來的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑如下圖1所示：

根據(jù)信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑中每年末相應(yīng)的信用等級(jí)，計(jì)算每年相應(yīng)的遠(yuǎn)期利率并對(duì)債券現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)可以得出1年后債券的遠(yuǎn)期價(jià)值。表2為各等級(jí)債券相應(yīng)的遠(yuǎn)期利率。

根據(jù)上表計(jì)算得出各級(jí)別債券1-2年，2-3年，3-4年，4-5年的一年期的遠(yuǎn)期利率，得出的一年期的遠(yuǎn)期利率如下表3所示：

根據(jù)債券的信用轉(zhuǎn)移路徑，計(jì)算債券第一年后的債券的遠(yuǎn)期價(jià)值VAA，第2年由AA級(jí)轉(zhuǎn)移為A級(jí)，則使用A級(jí)債券第2年的1年期遠(yuǎn)期利率3.72%將現(xiàn)金流貼現(xiàn)到第1年末，第3年保持第2年的A級(jí)，則使用A級(jí)債券的第3年的2年期遠(yuǎn)期利率4.32%將現(xiàn)金流貼現(xiàn)到第1年末，第4年由A級(jí)轉(zhuǎn)移為BB級(jí)，則使用BB級(jí)債券的第4年的1年期的遠(yuǎn)期利率8.32%將現(xiàn)金流貼現(xiàn)到第3年末，再使用A級(jí)債券的第3年的2年期遠(yuǎn)期利率4.32%再貼現(xiàn)到第1年末。第5年保持BB級(jí)，則使用BB級(jí)債券的第5年的2年期遠(yuǎn)期利率6.02%貼現(xiàn)到第3年末，再貼現(xiàn)到第1年末。假設(shè)這筆債券的票面價(jià)值為100萬(wàn)元，年利率為10%，則第1年末債券的遠(yuǎn)期價(jià)值為：

三、債券組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的蒙特卡羅模擬

（一）模擬步驟

對(duì)于n個(gè)債券組成的資產(chǎn)組合，若第i(i=1，2，…，n)個(gè)債券的價(jià)值為Mi，當(dāng)前信用等級(jí)為Gi，期末價(jià)值為Vi，違約回收率為Fi，F(xiàn)i服從貝塔分布(ai，bi)，各債券發(fā)行人的資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)矩陣為?蒡=(?籽xi，xj)n×n， 各債券信用等級(jí)由 K 級(jí)轉(zhuǎn)移到 S 級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率等級(jí)閾值為Zk，s，利用matlab軟件建立M文件通過以下仿真計(jì)算步驟可以得到期末債券價(jià)值：

（1）利用對(duì)對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率相關(guān)系數(shù)矩陣?蒡進(jìn)行Cholesky分解[6]，產(chǎn)生服從 n 維正態(tài)分布N（0，?蒡）的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率隨機(jī)向量X（x1，x2，…xn)'；（2）對(duì)于第i個(gè)債券，模擬產(chǎn)生債券發(fā)行人在連續(xù)T年的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率隨機(jī)向量xi，t=(xi，1，xi，2，…xi，T)'，i=1，2，…，n，通過信用等級(jí)轉(zhuǎn)移概率矩陣得出各個(gè)信用等級(jí)向其他等級(jí)轉(zhuǎn)移的相應(yīng)閥值Zk，s。將第i個(gè)債券發(fā)行人每年的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率與該債券發(fā)行人前一年信用等級(jí)轉(zhuǎn)移的閥值相對(duì)應(yīng)得出債券發(fā)行人在該年末的信用等級(jí)，從而得出債券連續(xù)T年的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑[7]。（3）根據(jù)債券信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑，將每期末債券現(xiàn)金流以該期債券發(fā)行人信用等級(jí)對(duì)應(yīng)的1年期遠(yuǎn)期利率連續(xù)向前貼現(xiàn)直到第1年末，得到第i個(gè)債券第1年末的遠(yuǎn)期價(jià)值Vi。（4）將各個(gè)債券的第1年末的遠(yuǎn)期價(jià)值相加得到第1年末該組合債券的期末價(jià)值V。重復(fù)以上步驟，模擬m=10000次，得到組合債券期末價(jià)值的分布。根據(jù)組合債券期末價(jià)值的分布得到在一定置信度下債券組合的信用風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）[8]。

（二）實(shí)例計(jì)算

本文取四個(gè)債券組成的資產(chǎn)組合，債券發(fā)行人分別是深圳市紡織(集團(tuán))股份有限公司，瀘州老窖股份有限公司，湖北雙環(huán)科技股份有限公司，哈飛航空工業(yè)股份有限公司，分別用A1，A2，A3，A4表示。假設(shè)四種債券票面價(jià)值分別為50萬(wàn)，100萬(wàn)，80萬(wàn)，60萬(wàn)，且四種債券目前的評(píng)級(jí)分別為A，AA，BB，BBB，剩余期限為5年，票面利率分別為9%，7%，15%，12%。假設(shè)四個(gè)債券違約時(shí)的回收率均服從貝塔分布beta(1，2)，違約后收到的現(xiàn)金流以無風(fēng)險(xiǎn)收益率進(jìn)行貼現(xiàn)。利用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)債券組合一年后的價(jià)值分布的蒙特卡羅模擬并得到一定置信度下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

四個(gè)債券發(fā)行人過去一年的股票價(jià)格（以每日收盤價(jià)為準(zhǔn)），計(jì)算出每日收益率并對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，計(jì)算出四支股票對(duì)數(shù)收益率的相關(guān)系數(shù)，得到相關(guān)系數(shù)矩陣為Q。對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行Cholesky分解，并產(chǎn)生滿足4維正態(tài)分布N(0，Q)的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率隨機(jī)向量X(x1，x2，x3，x4)'；根據(jù)初始債券的評(píng)級(jí)和債券一年期轉(zhuǎn)移概率計(jì)算出各個(gè)等級(jí)相應(yīng)的轉(zhuǎn)移閥值，由隨機(jī)產(chǎn)生的一年后四個(gè)債券發(fā)行人的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率得出一年后四個(gè)債券發(fā)行人分別對(duì)應(yīng)的信用等級(jí)。

Q=1.0000 -0.0317 0.3169 0.2144-0.0317 1.0000 0.1921 0.40320.3169 0.1921 1.0000 0.30290.2144 0.4032 0.3029 1.0000

根據(jù)一年后四個(gè)債券的各自信用等級(jí)和該信用等級(jí)一年期的信用轉(zhuǎn)移概率得出下一年的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移的閥值，再由隨機(jī)產(chǎn)生的第二年的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益率得出第二年后四個(gè)債券發(fā)行人分別對(duì)應(yīng)的信用等級(jí)，同理得出之后五年的信用等級(jí)，得到一條債券發(fā)行人的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑。由信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑中每一年的信用等級(jí)對(duì)應(yīng)的1年期遠(yuǎn)期利率，對(duì)每年末債券現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)，得到第一年末每個(gè)債券的遠(yuǎn)期價(jià)值，將其進(jìn)行加總得到債券組合一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值。將以上過程模擬10000次，得到債券組合一年后的價(jià)值分布：債券組合一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值分布直方圖（圖2），債券組合一年后的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值累積概率分布圖（圖3）。根據(jù)債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值分布，可以得到在置信度分別為95%和90%下的債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

由于P(△V>VaR)=1-a，△V=V-V。當(dāng)a=0.05，置信度為95%時(shí)，該債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值Var=59.6257；當(dāng)a=0.1，置信度為90%時(shí)，該債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR=24.9059萬(wàn)。

當(dāng)不考慮債券信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移路徑時(shí)，得到的債券組合一年后的遠(yuǎn)期價(jià)值分布直方圖（圖4）和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值累積概率分布圖（圖5）。

當(dāng)a=0.05，置信度為95%時(shí)，該債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR=59.6257萬(wàn)；當(dāng)a=0.1，置信度為90%時(shí)，該債券組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR=24.9059萬(wàn)。比較兩種情況，考慮債券信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移路徑時(shí)得到的結(jié)果更具有連續(xù)性，而且也更接近實(shí)際情況。

四、結(jié)論

通過上述對(duì)CreditMetrics模型中加入債券N年的信用等級(jí)轉(zhuǎn)移路徑的分析，最后得出債券組合連續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。加入信用等級(jí)路徑轉(zhuǎn)移的債券組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)算相較于以前的模型更具有參考價(jià)值和實(shí)用意義。盡管本文對(duì)CreditMetrics模型的運(yùn)用做了改進(jìn)，但要使該模型能更好地服務(wù)于我國(guó)的金融行業(yè)，應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)和完善我國(guó)的信用評(píng)級(jí)業(yè)務(wù)，提高評(píng)級(jí)質(zhì)量。其次，在引入和具體運(yùn)用CreditMetrics模型時(shí)，還應(yīng)注意模型中的一些局限性和不符合我國(guó)金融機(jī)構(gòu)使用的參數(shù)，改進(jìn)和調(diào)整建模思路。如在模型中加入宏觀經(jīng)濟(jì)因素的考慮構(gòu)造動(dòng)態(tài)的信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移矩陣以得到更具有預(yù)測(cè)性結(jié)果，將模型與壓力測(cè)試有機(jī)結(jié)合以便應(yīng)對(duì)小概率事件的發(fā)生等將成為CreditMetrics模型研究的新方向。

（特約編輯：羅洋）

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