單位,讓分?jǐn)?shù)更好玩

課前慎思

1.要不要講“單位‘1’”？

在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之后，不同版本的教材都會(huì)在五年級(jí)再次安排認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容。新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)教材第34-36頁(yè)是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”；人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第60-64頁(yè)是“分?jǐn)?shù)的意義”；蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第36-37頁(yè)是“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”。在西南師大版、青島版、河北版的五年級(jí)下冊(cè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也都安排了“分?jǐn)?shù)的意義”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容。

除新世紀(jì)版外，其他版本教材幾乎都有差不多的表達(dá)：“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常我們把它叫做單位‘1’?！?/p>

以前我們覺(jué)得“單位‘1’”是一個(gè)重要的概念，“1”從表示數(shù)量上的“1個(gè)”到看作“一個(gè)整體”，“1”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)甚至對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，都發(fā)生了“質(zhì)”的飛躍。這也應(yīng)該是分?jǐn)?shù)的意義或者分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)要體現(xiàn)的重要內(nèi)容。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)是“1個(gè)”平均分為若干份，而分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)則是“一個(gè)整體”平均分為若干份。如果不講“單位‘1’”，怎么體現(xiàn)出是分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)？

分析起來(lái)好像就是這樣。事實(shí)上，我們教學(xué)分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，常常讓學(xué)生先去找“單位‘1’”，這有助于學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題。

不過(guò)，在一年級(jí)認(rèn)識(shí)數(shù)“1”的時(shí)候，是只講一只蘿卜是“1”，不講一筐蘿卜是“1”嗎？退一步說(shuō)，一年級(jí)老師沒(méi)有講，三年級(jí)學(xué)生看到三筐蘿卜還不知道用“筐”來(lái)回答有多少蘿卜，一定是一只一只地去數(shù)嗎？一定要等到五年級(jí)老師講了才明白？學(xué)生在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)根據(jù)小組內(nèi)男女生人數(shù)，進(jìn)而說(shuō)出一個(gè)分?jǐn)?shù)呢？是學(xué)生本來(lái)就沒(méi)有，還是我們壓根就沒(méi)有放手？

學(xué)生是天生的學(xué)習(xí)者，學(xué)習(xí)本來(lái)像呼吸一樣地自然。學(xué)生順其自然就可以認(rèn)識(shí)的，我們?yōu)槭裁匆藶榈亟爻蓭锥文兀渴菫榱藰?gòu)建嚴(yán)密的學(xué)科課程體系？還是為了彰顯教師的不可或缺？

教育是解放，不是壓迫。

“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”究竟應(yīng)該認(rèn)識(shí)什么？

“單位‘1’”的概念究竟要不要揭示？“1”是重要的計(jì)數(shù)單位，是學(xué)生所熟悉的。分?jǐn)?shù)，從本質(zhì)上說(shuō)是表示兩數(shù)相除的結(jié)果，使得四則運(yùn)算及其法則暢行無(wú)阻；在生活中，分?jǐn)?shù)主要是表示部分與整體的關(guān)系。而“整體”這個(gè)概念，學(xué)生是熟悉的，也是非常容易接受的?，F(xiàn)行教材中，用“單位‘1’”的地方基本上都可以用“整體”來(lái)表達(dá)。

那么，沒(méi)有“單位‘1’”這一概念，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有沒(méi)有影響呢？我專(zhuān)程請(qǐng)教了北大附中張思明博士。他告訴我，初中、高中都沒(méi)有這個(gè)概念，重要的是學(xué)生沒(méi)有分?jǐn)?shù)單位的思想，這一點(diǎn)妨礙了學(xué)生對(duì)有關(guān)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的圓滿解答。這樣，我們就可以理解了為什么詢問(wèn)大學(xué)生的時(shí)候，他們都不知道“單位‘1’”這個(gè)概念了。

我們是否也該思考：學(xué)生不能很好解答分?jǐn)?shù)問(wèn)題，是不懂得“單位‘1’”，還是不明白分?jǐn)?shù)的具體意義，不具有單位意識(shí)，沒(méi)有分?jǐn)?shù)思維？以前的先找“單位‘1’”的解題步驟，表面上是找到了“單位‘1’”，實(shí)質(zhì)上是不是在讓學(xué)生回頭再看看題目，去理解分?jǐn)?shù)的意義？

我查找《辭?！罚瑳](méi)有找到“單位‘1’”這個(gè)詞條，而從“單位”、“單位制”、“單位能耗”、“單位吸水量”、“單位面積產(chǎn)量”等詞條，讓我深深感受到“單位”意識(shí)的重要。

我幡然醒悟：?jiǎn)挝黄鋵?shí)就是“1”。教材上的那句話因此可以改為——“一個(gè)物體”、“由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示”，都可以看作是“一個(gè)計(jì)量單位”。

當(dāng)然，作為教材，這句話也可以不出現(xiàn)。只要設(shè)計(jì)出合適的問(wèn)題情境讓學(xué)生體驗(yàn)到，如果要用自然數(shù)1來(lái)表示“由許多物體組成的一個(gè)整體”，那么1的后面就要換上一個(gè)新的單位。比如3“只”變成3“筐”，單位不同，數(shù)量就不一樣。

看來(lái)，“單位”是重要的，“1”是重要的，“單位‘1’”是不重要的?？梢圆恢v“單位‘1’”，但要重講“分?jǐn)?shù)單位”。

2.怎樣講“分?jǐn)?shù)單位”？

“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位?！边@是教材中對(duì)“分?jǐn)?shù)單位”的表述。我們以往對(duì)“分?jǐn)?shù)單位”的教學(xué)往往輕描淡寫(xiě)，一筆帶過(guò)，滿足于學(xué)生能夠解答“一個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是什么，它有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位”一類(lèi)填空題。

單位，是度量中規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)量。那么，如何加重分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)分量呢？怎樣的題目可以承載？哪些環(huán)節(jié)可以“回眸一笑”？

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”的時(shí)候，我創(chuàng)造出了“大頭兒子的難題”的情境，那么在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”時(shí)，是否可以朝花夕拾呢？

華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”度量可以很好地將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。怎樣發(fā)展一下，更好地體現(xiàn)——有單位才有度量，才有溝通與交流？從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位，反應(yīng)了人類(lèi)的進(jìn)步與統(tǒng)一。如果，我把這節(jié)課定位在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上，進(jìn)而認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，那么，用領(lǐng)帶度量沙發(fā)的長(zhǎng)是不是比較合適的選擇？

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)，這樣的領(lǐng)帶量沙發(fā)的問(wèn)題情境是否沒(méi)有難度？是否是從三樓退到二樓，再上四樓呢？可以說(shuō)這樣的問(wèn)題學(xué)生都會(huì)知道用分?jǐn)?shù)表示，可是什么分?jǐn)?shù)呢？需要思量的：分母是多少呢？是7個(gè)1/3，還是7個(gè)1/8呢？既可以用上已學(xué)的知識(shí)——寫(xiě)一個(gè)分?jǐn)?shù)，要考慮分母和分子分別是多少，又提出了今天這節(jié)課需要解決的問(wèn)題——7個(gè)1/8是多少。這是一個(gè)結(jié)合點(diǎn)，也是一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)。同時(shí)，這個(gè)環(huán)節(jié)可以解決孩子關(guān)于對(duì)折三次是平均分成多少份的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，并揭示解決這樣問(wèn)題的方法。“順手一投槍”的事情，一石三鳥(niǎo)，何樂(lè)而不為呢？

那學(xué)生已經(jīng)是五年級(jí)了，已經(jīng)長(zhǎng)大了，是否不再需要故事情境、不再喜歡動(dòng)畫(huà)表達(dá)了呢？我們記住的往往是故事，是畫(huà)面，而不是條文。即使地老天荒，我們?nèi)匀幌矚g聽(tīng)故事，何況他們還是兒童？?jī)和际巧钤谕捁适轮械?。“我真的好想再活五百年”，我們老師可以讓自己慢慢地變老?/p>

可能有人質(zhì)疑：這個(gè)情境是人為編造的，生活中不可能像這樣用領(lǐng)帶去量某個(gè)東西的長(zhǎng)。真是這樣的嗎？沒(méi)有尺的時(shí)候，人們?cè)趺礈y(cè)量？怎么交流長(zhǎng)度？建造金字塔時(shí)法老的“腕尺”就是測(cè)量的工具。買(mǎi)履的“鄭人”拿一根草繩就當(dāng)成一把尺。

可能有人質(zhì)疑：這個(gè)情境用的時(shí)間太長(zhǎng)了吧？是的，這個(gè)情境的播放費(fèi)時(shí)2分5秒。那么，我們要思考：評(píng)價(jià)一個(gè)情境的優(yōu)劣，是要考量它的思維含量和育人價(jià)值，還是要計(jì)量它的時(shí)間長(zhǎng)短和話語(yǔ)多少？我們?yōu)槭裁匆贝掖业刂北贾R(shí)目標(biāo)，而不能讓學(xué)生慢慢地欣賞、慢慢地長(zhǎng)大？

過(guò)重的學(xué)科數(shù)學(xué)的理性，是否讓我們的孩子不堪承受數(shù)學(xué)之重，妨礙數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)？選擇“密位”而棄用學(xué)生熟悉的“時(shí)分秒”就是基于這樣的考慮。那么，會(huì)不會(huì)有老師認(rèn)為，“有必要找這個(gè)我們老師都不懂的素材嗎？”選擇電影《集結(jié)號(hào)》的片段，完全是巧合、幸運(yùn)。我在網(wǎng)上百度“炮兵，目標(biāo)，方向”，碰巧看到一條說(shuō)《集結(jié)號(hào)》中炮兵的說(shuō)法非常專(zhuān)業(yè)……哈哈哈，我的目的，當(dāng)然不是想讓學(xué)生掌握“密位”，而是借助這樣學(xué)生感興趣的陌生的題材，真正思考起來(lái)，明白：第一，不同的需要產(chǎn)生不同的單位，我們可以根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造單位，方便我們?nèi)?shù)。第二，同一個(gè)整體，平均分的份數(shù)不同，單位就不同。第三，單位的背后往往有個(gè)分?jǐn)?shù)。

3.分?jǐn)?shù)的意義是什么？

我再思考：學(xué)生會(huì)背誦“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)”這句話，或者會(huì)依樣畫(huà)葫蘆地說(shuō)出有關(guān)一個(gè)分?jǐn)?shù)的一句話，是否意味著學(xué)生理解并掌握了分?jǐn)?shù)的意義？我們的教學(xué)是重在體會(huì)分?jǐn)?shù)的意義，還是重在體會(huì)分?jǐn)?shù)形式化的“概念”？2010年10月19日凌晨5點(diǎn)左右做夢(mèng)后設(shè)計(jì)的豬八戒吃西瓜的題，是否能很好檢測(cè)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解？

“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，當(dāng)然是在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)上，那是否就該在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深？三年級(jí)“知其然”，五年級(jí)“知其所以然”，可能是應(yīng)該追求的。三年級(jí)時(shí)，知道了用分?jǐn)?shù)表示需要“平均分”，可是為什么呢？三年級(jí)時(shí)說(shuō)分?jǐn)?shù)要強(qiáng)調(diào)是“誰(shuí)的”幾分之幾，可是為什么呢？

分?jǐn)?shù)是相對(duì)于“1”的概念。弗賴登塔爾說(shuō)，“分?jǐn)?shù)”是個(gè)代數(shù)概念。這一點(diǎn)，我們當(dāng)然不用講給學(xué)生聽(tīng)，但是否可以在游戲中滲透給學(xué)生呢？

為什么要有分?jǐn)?shù)？生活中為什么比較少地見(jiàn)到分?jǐn)?shù)？從單位的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)很好玩，很有智慧。既然分?jǐn)?shù)這么好玩、這么可愛(ài)，為什么生活中很少看到分?jǐn)?shù)呢？

一枝鉛筆的長(zhǎng)是8厘米，沒(méi)有分?jǐn)?shù)啊。原來(lái)，是先定義一個(gè)單位，比方“厘米”。什么是厘米？就是“1/100米”。如果只以“米”作單位，鉛筆的長(zhǎng)度，我們只有說(shuō)是8/100米?？磥?lái)生活中不是沒(méi)有分?jǐn)?shù)，而是單位把分?jǐn)?shù)藏了起來(lái)，要看到分?jǐn)?shù)，需要一雙慧眼。

什么是分?jǐn)?shù)？我們能否給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)單而通俗的說(shuō)法？2010年10月19日午飯前我悟出的一句話——分?jǐn)?shù)就是先分后數(shù)的數(shù)，是否合適？是否自洽？

……

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考，我確定的教學(xué)目標(biāo)是——進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位，感受到單位的價(jià)值，理解分?jǐn)?shù)的意義，體會(huì)到數(shù)學(xué)好玩，進(jìn)一步喜歡數(shù)學(xué)。

課后反思

課后，我詢問(wèn)學(xué)生的收獲，不少學(xué)生說(shuō)道：“學(xué)了這節(jié)課，我明白了生活中需要測(cè)量的時(shí)候不一定都要用尺子。”當(dāng)時(shí)的我是欣欣然的，因?yàn)檫@是我當(dāng)初設(shè)計(jì)就追求的副產(chǎn)品。

上海世博會(huì)的主題是“城市，讓生活更美好”，通過(guò)這節(jié)課的思考和實(shí)踐，我覺(jué)得是“單位，讓分?jǐn)?shù)更好玩”！

其實(shí)，“分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)的數(shù)”和傳統(tǒng)的“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)”是一致的，并不矛盾。“分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)的數(shù)”，這樣的表達(dá)乃是一種簡(jiǎn)單的豐富——“分”，就是創(chuàng)造了一個(gè)單位；“數(shù)”，就是數(shù)有多少個(gè)單位。這樣，從單位的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)的意義，更給力，更有后勁。

當(dāng)然，這樣的教學(xué)很有些“不走尋常路”的感覺(jué)。不過(guò)，魯迅先生說(shuō)過(guò)：“其實(shí)地上本沒(méi)有路，走的人多了，也便成了路?！?/p>

我不需要說(shuō)：“走自己的路，讓別人說(shuō)去吧！”因?yàn)槲覀兌荚诼飞?，沒(méi)有看客，大家都在思考。我不需要說(shuō)：“走自己的路，讓別人無(wú)路可走！”因?yàn)榻虒W(xué)研究沒(méi)有最好，只有更好。我也不需要說(shuō)：“走自己的路，讓別人跟著自己走！”因?yàn)槲覀儧](méi)有辦法保證自己所走的，就是一條唯一正確的道路。我需要說(shuō)的是：“走自己的路，讓別人走得更舒服！”因?yàn)槲业恼n并不完美，但我的課一定會(huì)引起大家的思考，思考我們做出的選擇，思考我們的價(jià)值判斷，思考我們的功力提升，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)真的很好玩。

“沉舟側(cè)畔千帆過(guò)，病樹(shù)前頭萬(wàn)木春”的景致雖說(shuō)有些凄美，但我很是向往。

（華應(yīng)龍，北京市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，特級(jí)教師，100031）