初中數學課堂主線式教學設計復習課例探究

復習課是初中數學課堂的重要課型之一，是教師指導學生溫習已學過的教材，強化知識，加深理解，使知識系統化，重新再建構的過程。然而，在課堂實踐中，復習效果往往不太理想，存在兩類情形：一是僅注重知識點的簡單回顧，對知識間聯系及方法探究不夠，導致學生缺乏知識的靈活應用；二是教師為了講題而講題，采用“滿堂灌”的方式教學，沒有給予學生思考和交流的時間，學生的主動參與嚴重缺乏，也就無法促進學生的發展。如何提高復習的有效性是當前數學教師研究的問題之一。下面結合教學實際談談“主線式教學設計”的做法與認識。

一、以一個基本圖形問題為主線，提煉模型

《 數學課程標準 》在幾何方面的學習要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”。教學中，根據需要對某一基本圖形進行研究，提高學生從復雜圖形中獲取基本圖形的能力，促進幾何學習的理解。

案例1 三垂直圖形及其推廣的應用（圖1中有三個垂直的條件，我們稱圖1為“三垂直圖形”）。

1．提煉基本模型

問題1：如圖1，P是線段BC上的一點，∠B=∠C=∠APD=90°，問△ABP與△PCD有什么關系？請說明理由。如圖2，若∠B=∠C=∠APD=α，問△ABP與△PCD又有什么特點呢？——相似

將條件“三個角都等于90°”改變為“三個角相等”，結論還成立，因此我們把圖2稱為“三垂直圖形的推廣圖”。

采用“提出問題—解決問題—提煉模型—應用模型”的方式，給學生思考的空間，培養學生的觀察、歸納、應用等能力，發展學生的思維。

2．應用基本模型

（1）直接利用模型

問題2：如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上任意一點（不與點B、C重合）。連接AP，過P作PQ⊥AP交DC于Q。

① 求證：△ABP∽△PCQ。

② 設BP的長為xcm，CQ的長為ycm。

請你建立y與x之間的函數關系式。

③ 求點P在BC上運動過程中y的最大值。

呈現第①問時，學生很快發現基本圖形，教師立即運用電腦課件動畫把它分離出來，學生的興奮點得以集中，接著再設計和解決其他兩個問題，這樣的“小步距”問題情境的創設，起點低而作用大。

（2）間接利用模型

問題3：如圖4，平面直角坐標系中，M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點，OD=BC=2，B(5，0)，∠DMC=∠DOB=60°，求點M坐標。

有部分學生很難發現基本圖形，此時，教師引導學生分析條件∠DMC=∠DOB=∠CBO=60°，共同找到基本圖形。教師再次運用動畫將基本圖形分解出來。

（3）構造基本模型

問題4：如圖5，已知拋物線y=ax２-2ax-b（a>0）與x軸的一個交點為B（-1，0），與y軸負半軸交于點C，頂點為D。

①直接寫出拋物線的對稱軸和另一交點A的坐標。

②以AD為直徑的圓經過點C，連結AC、CD。

A．請你構造一個三垂直圖形，并求出點C、D的坐標（用含a、b的式子表示）。

B．求拋物線的解析式。

此問題是根據2009年廣西柳州市中考壓軸題改編的，對能力要求高，覆蓋相似三角形、圓、二次函數等知識。第②問環節，目的由學生親自經歷構造出三垂直圖形的過程，加強對圖形的真正理解，更好地讓學生發現三垂直圖形在解題中的關鍵。

3．模型總結

《 數學課程標準 》過程性目標要求是：“學生在特定的數學活動中，獲得一些初步的經驗；參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些經驗……”在幾何學習中，教師要注意引導學生善于發現問題的共性，及時總結形成技能。現整理如下：

（1）等邊△ABC，∠ADE=60°（圖6）。

（2）鈍角△ABC，∠A=∠B=∠EDF（圖7）。

（3）正方形ABCD，∠APQ=90°（圖8）。

（4）等腰梯形ABCD，∠A=∠BEF=120°（圖9）。

點評：復習課中，有的教師僅習慣于“基礎知識的再現、例題的展示和試題的高強度”，學生由此感到枯燥。本節課教師從眾多的題中發現“三垂直圖形”的獨特之處，對它進行總結、整理以及展現，進而提高復習效率，這樣的方式對教師和學生來說都有所收獲。

二、以一個函數問題為主線，激活知識

知識的復習由一個函數串聯起來，利用聯系的整體觀點達到一氣呵成的效果。問題設計自然、流暢，由淺入深，層層推進，使不同學生得到不同的發展，更讓學生體會知識的聯系，理解知識點之間并不是孤立的。

案例2 二次函數的復習課。

問題1：若y=（m-1）xm -3m+4-2x-3是二次函數，求m的值及它的解析式。

教師對問題1不是直接講解，而是先讓學生獨立思考，得出二次函數的解析式。這樣，學生在解決問題時自主復習了二次函數的定義（強調二次項系數不為0），并進一步提出二次函數的圖像是什么和從圖像復習的必要性。

問題2：二次函數的圖像是什么？請你畫出它的圖像，并說出根據圖像能夠得到哪些基本信息？

教師鼓勵學生多方面地思考，如在圖10中，學生得到的信息有的是直接的，如開口方向、頂點坐標、增減性等，還有的分別求出△ABC的周長和面積等。

利用數形結合的認知過程創設一個開放性問題，讓學生根據自己原有的知識結構得到相應的信息，通過生生、師生交流和探索，歸納并獲得二次函數的基本信息的分析方法，有利于加深對圖像的理解。

問題3：拋物線y1=x２-2x-3與直線y2=kx+b（k≠0）交于點D（，n），E（-2，m）。根據圖11，解決下列問題：

（1）當x取什么值時，y1=y2？

（2）當x取什么值時，y1＞y2？

（3）求不等式x２-2x-3＜kx+b的解集。

雖說一元二次不等式是高中階段內容，在初中不作要求，但函數的圖像具有很強的直觀性，利用它的圖像可以巧妙地解決一元二次不等式問題。

問題4：如圖12是二次函數的圖像，與x軸交于點A、B，頂點為點M。

（1）在二次函數的圖像上是否存在點P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標。

（3）將二次函數的圖像在軸下方的部分沿軸翻折，圖像的其余部分保持不變，得到一個新的圖像（如圖13），請你結合這個新的圖像回答：當直線與此圖像有兩個公共點時的取值范圍。

第（1）問在拋物線找點，使它與一些特殊點形成三角形問題。教學中，引導學生將問題變為與四邊形ABMC的面積問題等，這體現二次函數與圖形的面積問題。第（2）問是研究二次函數與平行四邊形的問題，還可以繼續研究它還可以和哪些特殊四邊形進行結合，如等腰三角形、直角梯形等，使學生的思維得到發展。第（3）問是研究二次函數的變換問題，再次突出數形結合的優勢。這些問題常是中考命題的熱點問題。

問題5：（布置作業）圖14是二次函數的圖像，頂點為點M。

（1）設拋物線與y軸交于點C，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PMC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由。

（2）若點N是拋物線上的一點，以B、C、M、N為頂點的四邊形是直角梯形，試求點N的坐標。

以一個二次函數為主線，圍繞二次函數的定義、圖像及其性質、與不等式以及與其他問題結合等進行“問題組”設計，內容覆蓋了二次函數的基本知識，形式多樣、層層深入，引導學生主動思考，開拓思路，總結規律，形成技能。

三、以幾何多解問題為主線，解出要害

初中數學蘊含著豐富的知識內容、思想方法以及探究過程中體現的情感和價值，內容既包含幾何中的三角形、四邊形、圓等；思想方法既有數形結合、分類討論、方程等思想，又有換元法、配方法、待定系數法等數學方法，這些構成了數學的諸多問題。

案例3 幾何多解問題。

1．無附圖的幾何多解問題

問題1：在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD=5，AB=2，DC=3，P為AD上一點，以P、A、B為頂點的三角形與以P、D、C為頂點的三角形相似，求此時AP的長。

問題2：已知點P到圓上的最短距離為3cm，最長距離為7cm，求圓的直徑。

問題3：已知⊙O半徑為5，弦AB//CD，且AB=8，CD=6， 求AB與CD間的距離。

問題4：在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別是和，求∠BAC的度數。

2．圖形運動中形成的多解問題

問題5：P為正比例函數y=x的圖像上一個動點，⊙P的半徑為3，設點P的坐標為（x，y），求⊙P與直線x=2相切時點P的坐標。

問題6：如圖15，點A、B在直線MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半徑均為1cm，⊙B以每秒2cm的速度向左運動，同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（秒）之間的關系式為r=1+t（t≥0）。問：當點A出發后多少秒兩圓相切？

以“問題組”形式呈現，學生經歷問題的提出和解決，能夠加深對無附圖問題和圖形運動問題的多解性的理解，提高學生自主探究、合作交流和解決問題的能力，逐步培養數學思維的嚴密性和深刻性，從而更好地提高復習的效果。

目前，主線式設計模式已成為課堂教學設計的主流，教學的主線是圍繞教學重點目標、把握教學內容及方法、貫穿課堂教學首尾的主要脈絡，使課堂教學結構條理清晰、環環相扣，內容重點突出，學生參與性強，富有挑戰性，進而使“四維目標”得以順利完成，使復習課高效地進行。

（作者單位：廣西師范大學附屬外國語學校，廣西 桂林，541000）