淺談如何使數學解題方法更靈活

【摘 要】數學是集科學性、思想性、方法性和知識性于一體的基礎性科學，數學思想是對數學知識內容和所使用方法的本質認識，是數學知識在更高層次的抽象概括和提煉，數學思想支配著數學的實踐活動。本文結合具體的例子，從四個方面闡述了利用數學思想，使解題思路更開闊、更靈活的方法。

【關鍵詞】方法 數學思想 解題 靈活

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）10－0004－02

數學是集科學性、思想性、方法性和知識性于一體的基礎性科學，數學的學習使學生獲得適應未來社會生活必需的數學知識和基本數學思想方法及必要的應用技能。北京師范大學錢佩玲教授指出：“數學思想方法是以數學內容為載體，基于數學知識，又高于數學知識的一種隱性知識，是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。”數學思想是對數學的知識內容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數學認識過程中提煉和概括出來的，而在后繼的認識活動中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征，是對數學規律的理性認識，數學思想直接支配著數學的實踐活動。

一 利用數學思想做指導，使解題方法更靈活

數學思想能把知識的學習和培養能力、發展智力有機地聯系起來。數學思想方法作為數學知識的本質，它為分析、處理、解決數學問題提供了指導方法和解題策略，為靈活解題提供了指導性的觀點。在數學學習中，常用的數學思想方法大致有以下幾類：一般與特殊思想、轉化思想、函數思想、數形結合思想等。只要我們善于分析歸納，靈活利用數學思想解題，定會起到事半功倍的效果。下面結合幾個具體的例子，談談如何利用數學思想做指導，使我們的解題思路更開闊，解題方法更靈活。

1．函數思想

函數是刻畫變量間關系的常用模型，函數的思想是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題轉化問題，從而使問題獲得解決。函數知識揭示了在運動與變化過程中，量與量存在的一般性規律，研究函數的性質和圖像，即探尋用運動、變化的觀點來觀察、分析問題。尤其是對于一些常見的實際問題的處理，我們更需要轉化為數學問題，分析變量之間的聯系，構造函數，利用相關函數的思想借助導數等相關定理解決問題。

例1：設AD、BE、CF為銳角三角形ABC的三條高線，則三角形DEF稱為三角形ABC的垂足三角形。證明：這些高線平分垂足三角形的內角。

解析：根據問題的條件及所給出數量關系，構造函數關系式，使原問題在函數關系中實現轉化，再借助函數圖像與性質，就能化難為易，從而解決問題。該題可轉化為一次函數問題，從而能利用解析幾何的有關知識來處理，從而使問題的解決思路更開闊靈活。

證明：以AD、BC分別為y軸和x軸建立直角坐標系，D為坐標系原點。設三角形的頂點和垂心坐標為A（0、α），B（β，0），C（γ，0），P（0，λ），用截距式寫出BD，AC

的方程 ， 聯立解得交點M的坐標，

所以直線DM的斜率為 。在此，寫出直線DN的

斜率 。可見直線DM與DN對稱于x軸和y軸。

所以AD為角MDN的角平分線。同理，可證的另外兩線為角平分線。

2．轉化與化歸的思想

數學方法論中所論及的轉化是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或者解決比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法，該方法在解題中被廣泛用到。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，數與形的轉化，多元向一元轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現，同時也包含了由復雜向簡單的轉化、由未知向已知的轉化、由抽象向直觀的轉化、由函數向方程的轉化等多種轉化與化歸思想解決問題的方法。

例2：已知f（－x）＋2f（x）＝ ，求函數f（x）

的最大（小）值。

解析：該題目可考慮把復雜函數轉化為簡單函數。已知的等式中的位置具有自反性用－x代替x得到的新方程與原方

程聯立就可求出f（x）經過運算得f（x）＝ 令y＝（x），

則yx2－2x＋y＝0，當y≠0時，要使x∈R，△≥0，判別式△＝4－4y2≥0，－1≤y≤1。

3．特殊化思想

特殊化思想的意義在于當研究的對象比較復雜時，通過對其特殊情況的研究，將會使我們對研究的對象有一個初步了解，并且幫助我們熟悉所面臨問題的類型，這對于進一步處理以至最終解決這個問題有很大好處。另外，事物的共性存在于個性之中。對個別的特殊情況的討論，常常可以凸現問題的關鍵，從而揭示問題的本質。只要我們尋找到題目蘊涵的特殊和一般之間的聯系，運用特殊化思想能起到事半功倍的效果。

例3，已知：在橢圓中，AB為橢圓的直徑（即AB過橢圓的中心），從橢圓上一點C作切線EF與過點A、點B的切線交于E、F，過點C作CD∥AE∥BF交AB于D，連接BE交CD于M。求證：BE平分CD。

解析：該題直接證明復雜，而歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，可以用仿射觀點研究一些歐氏幾何命題。仿射變換保留點線的結合性，很多一般形狀的圖形都可以由特殊圖形仿射變換得到，所以對于只涉及點線的有關數學問題，我們可以利用從特殊到一般的思想，只就特殊問題證明，一般問題的結論自然就成立。因為橢圓可以由圓徑仿射變換而得，因此只就圓證明即可，對圓來說結論顯然。

4．數形結合的思想

數形結合的思想就是把問題中的數量關系與相應的圖形結合起來，由數的性質得到相應圖形的性質，或由圖形的特征得出相應的數量關系，從而解決問題。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。

例4，求方程lgx－sinx＝0的解的個數。

解析：對于這道題，用我們常用的解方程的知識難以判斷出其解的個數的，但是，如果用數形結合的思想分析一下此題就會知道：此方程解的個數為y＝lgx的圖像與y＝sinx的圖像的交點個數。因為sinx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10。平面直角坐標系中作出兩個函數的圖像，形中覓數，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

二 結論

數學思想是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識中，經過思維活動而產生的結果，要提高我們分析和解決問題的能力，形成用數學的意識解決問題，這些都離不開數學思想。除了上述討論的幾種數學思想以外，如分類討論思想、類比思想、方程思想等都是數學解題中常用的思想，只要我們善于分析歸納，將數學思想靈活運用，定能開闊解題思路，更好地掌握這門課程的知識。

參考文獻

［1］莫里斯#8226;克萊因.古今數學思想［M］.上海：上海科學技術出版社，2007

［2］張順燕.數學的思想、方法和應用［M］.北京：北京大學出版社，2009

［3］同濟大學數學系編.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2007

［4］朱德祥.初等幾何研究［M］.北京：高等教育出版社，2008

〔責任編輯：王以富〕

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文