緊扣本質 精心構建 著眼素養

【摘 要】高三復習不是以往教學的簡單重復，而是繼續與深化。根深才能葉茂，基礎知識扎實，解題才會靈活、準確。圍繞目標，抓住重難點，緊扣知識本質，精心構建，形成素養。問題延拓，同類題型集中講解，強化學習，注重知識的聯系和比較，形成能力。精選例題，精心設計教學問題，使問題恰當、高效，形成有效的問題鏈，既調節課堂氣氛，又促進思維發展。小結應既回顧知識和方法，又引導學生深入思考，向更高層次發展，但不喧賓奪主。

【關鍵詞】拋物線 定義 本質 能力 素養

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）10－0149－02

〖教學目標〗

目標：（1）深化理解和掌握拋物線的定義、標準方程及幾何性質；（2）熟練運用定義解決拋物線問題；（3）在解決拋物線相關問題中提高綜合能力。

〖教學重點〗

重點：（1）基礎知識的深化理解；（2）運用定義及性質解題。

〖教學難點〗

運用綜合知識解題及綜合能力的提高。

〖教學方法〗

以講授為主，輔以提問，共同完成。

〖思考〗

高三的復習不是以往教學的簡單重復，而是繼續與深化；運用拋物線定義解題，既可減少運算量，體現技巧，也是考查運用數學本質解題的常用題型，在課標教材已不要求橢圓、雙曲線第二定義的情況下，它在高考中的應用將更為突出；拋物線問題的解決有賴于數學的綜合能力，反之，解決拋物線問題的過程，也是數學綜合能力和數學素養得到應用和提高的過程。能力和素養是教學的終極目標，有了這個意識，就會滲透到教學的方方面面，進而提高教學效益。因此，結合考試說明制定了以上教學目標。如果目標確定了，重難點就容易掌握了，它對教學起到綱舉目張的作用，是施教者應首先考慮的問題。基于平時教學與高考要求落差大，教學任務重的特點，本節課采用以教師講授為主，輔以提問的方法，力求以明確的目標，清晰的思路和符合學生心理特點的引導、分析與講解，達成預期目的。

〖教學過程〗

一 引入課題

1．橢圓、雙曲線研究的程序：定義（幾何條件）——標準方程——幾何性質——問題解決。

2．橢圓、雙曲線的定義分別是（齊答）。它們都用到兩個焦點，今天要復習的曲線只有一個焦點——拋物線，研究的程序仍然是：定義（幾何條件）——標準方程——幾何性質——問題解決。

思考：上課伊始，學生注意力最集中，聽課效率最高，課題引入應簡明扼要，高屋建瓴，快速進入正題。

二 知識回顧

1．定義：|PF|＝dF－1，其中F為定點，l為定直線， 。

說明：（1） ？（2）結合作圖強調定義的應用：化兩點間距離為點線距離，當線垂直坐標軸時，優勢極為明顯。（3）過渡到標準方程。

2．標準方程（焦點在軸上，焦點到準線的垂線段中點為原點，即頂點在原點）有四種形式：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py（p＞0）。

說明：（1）p的幾何意義：焦準距。（2）特點：左邊是x或y的平方式且系數為1，右邊是另一個坐標的一次項，且常數項為0。

3．簡單幾何性質：標準方程、圖形、焦點、準線、范圍、頂點、對稱軸、離心率（列表待填，表格略）。

說明：（1）以上表格師生共同完成一列，強調五個特點：

（0，0），（ ，±p），（2p，±2p）；學生調板完成一列，余者課

后完成。（2）表格中后四行性質由圖形得到，還是由方程得到？（3）y2＝mx（m≠0），x2＝2ny（n≠0）的焦點和準線如何寫出？（4）從定義到方程到幾何性質與橢圓雙曲線有哪些異同點？課后自行歸納。

思考：（1）根深才能葉茂，基礎知識扎實，解題才會靈活、準確，復習時不可忽略。（2）知識復習不能簡單重復，要圍繞中心目標，抓住重難點，深化理解，順應學生心理需求，還要注意橫向聯系。

三 基礎訓練

1．拋物線y2＝4ax2（a＜0）的焦點坐標為（ ）。

A．（ ，0） B．（0， ）

C．（0， ）D．（ ，0）

2．過拋物線y2＝－2px（p＞0）的焦點F作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1＋x2＝3p，則|AB|＝（ ）。

A．2pB．4pC．6pD．8p

3．過點（－3，2）的拋物線的標準方程是。焦點在x－2y－4＝0上的拋物線的標準方程是。

4．點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x＋5＝0的距離少1，則點M的軌跡方程為_____。

處理方法：學生練習，巡視，提問，糾錯，簡單說明2、4兩題（參考答案略）。

思考：學完知識，做幾道基礎題，既是應用，也是鞏固，有利于調節學習情緒，應精選，控制難度。

四 典例分析

例1，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，探求以AB為直徑的圓與拋物線的準線位置關系？

分析：作圓（見圖1），寫出直線AB方程，求出AB中點，即圓心到準線距離和弦AB的長，可以嗎？條件應用得恰當嗎？看到焦點和準線應想到利用什么？

簡解：取AB中點M，分別過A、B、M作拋物線準線l的垂線，垂足分別是ABM，由已知得：|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|。

∴|AB|＝|AF|＋|BF|，且|MM1|＝ 。

∴|MM1|＝ |AB|，∴準線與圓相切。

說明：（1）方法回顧：定義，梯形中位線，幾何知識推證。（2）結合圖形，本題結論可改為證明：∠AMB＝90°。（3）圖中也可證明：∠AFB＝90°（簡單提示證明方法）（4）應用如右圖幾何畫板動畫圖形驗證結論。

延拓1：過拋物線y2＝2px（p＞0）的所有焦點弦中，求弦長的最小值。

處理方法：由上分析得：|AB|＝2|MM1|，弦長最小即圓半徑最小，由圖形動畫知所求最小值為通徑2p（此時弦所在直線斜率不存在）。

延拓2：已知點A與B都在拋物線y2＝4x上，且|AB|＝6，求AB中點M到y軸距離的最小值，并求此時直線AB的方程（簡要提示，解答略）。

說明：（1）運用定義解題，既考查了定義理解程度，也考查了數形結合，而且可以回避繁雜運算，是高考中較為常考的技巧題型，其中延拓2是高考題的改造題。（2）同類題型集中講解，可順勢而下，加深印象，強化學習，是重點題型重點學習的常用方法。（3）課堂時間有限，延拓的解答書寫只能簡略，要求學生課后自行整理，并探尋其他方法，爭取使例題效能最大化。

例2，圖2中傾斜角為α的直線過拋物線y2＝8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（1）求拋物線的焦點坐標和準線l的方程；（2）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于p點，證明：|FP|－|FP|#8226;cos2α為定值，并求此定值。

分析：定義解題，中垂線如何體現，無從下手，該怎么想呢？不可忘記，解析幾何的核心是：用代數運算即方程的方法去解決幾何問題。

略解：F（2，0），記k＝tana，A（x1，y1），B（x2，y2）AB中點M（x0，y0）把直線AB方程y＝k（x－2）代入拋物線y2＝8x方程得：

x 2－（4＋ ）x＋4＝0

x0＝2＋

|MF|＝|x0－xF|

＝

在Rt△MFP中，|FP|＝ ＝ 。

∴|PF|－|PF|cos2α＝|PF|#8226;2sin2α＝8為定值。

提問：還有其他方法嗎？（1）寫出中垂線MP方程，得到點P坐標，求FP的長。（2）用拋物線定義解題，真的是死胡同嗎？請課后研究。

延拓：（2001年全國高考）設拋物線y2 =2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明直線AC經過原點o。

說明：（1）解析幾何的教學一定不可忽略核心思想和根本大法：代數運算推導幾何結論。（2）寫出中垂線MP方程，得到點P坐標，求FP的長，這種思路應該是大部分學生都能夠想到的，而課堂講解的方法加強了思維深度，縮短了運算，這對學生能力和良好習慣的培養都是有好處的。（3）筆者參考其他教輔材料，大部分的第二個例題是選用1987年高考理科第八大題，或選用1998年高考理21題。對前一題筆者認為用代數計算太過繁雜，難度較大，且計算不具典型意義，其價值主要在于方法的理解與掌握，因此歸為例1延拓題；后一題主要圍繞定義展開計算，在解析幾何有關計算中典型性也不強，因此例題不選，考慮放到以后的練習中。（4）本題牽涉到中點、垂直、線段長的計算，這些都是解析幾何學習中經常用到的，屬于支撐知識和能力的基礎，具有一定綜合性，難度適中，適于作為第一輪復習的例題。

例3，一水渠的橫截面積見圖3，它的橫截面邊界AOB是拋物線的一段，已知渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，水面EF距AB為0.5m，（1）求水面EF寬度；（2）如果把此水渠改造為橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不準往回填土，只準挖土，試求截面梯形的下底邊長為多大時，才能使所挖的土最少？

說明：學以致用，本題是拋物線應用問題，這種類型在教材的例習題均有出現，應予以重視。解決的辦法通常是：建系，求方程，代數運算。

略解：（1）以O為原點，過O的水平線為x軸，建立直

角坐標系，由已知得：A（－1， ），B（1， ）在拋物線：

x2＝2py上，求得p＝ ，AOB所在拋物線為x2 = y，直線

EF方程：y＝1，求得EF長為 米。

（2）分析：結合右邊圖形思考，如何使所挖的土最少？假設腰的傾斜程度固定，則必使腰與拋物線相切，因此問題轉化為探求切點在何處。

解：設其中一個切點為M（x0，y0），0＜x0≤1，∴y＝3x。

∴過M的切線為：y－ ＝3x0（x－x0），它交x軸于

點p（ ，0），交直線AB：，y＝ 于點Q（ ， ），梯

形面積S＝ （2xp＋2xQ）#8226; ＝ （x0＋ ）≥ （下略）。

思考：（1）本題情景親切、新穎，運算量不大，但綜合程度較高，是貼近教材，貼近學生，貼近生活的好題。（2）開口向上或向下的拋物線寫為函數形式，求導數解決切線問題，符合在知識交匯處命題，是近幾年考查綜合能力的新題型。（3）本題第二個問題分為兩級思考：由定傾斜發現腰應為切線，再尋找切線。這是探求抽象問題的常用方法。是否有更優秀的方法？

五 教學小結

1．本節課你認為哪幾個知識點在解題時最需要關注？（1）定義；（2）標準方程；（3）幾何性質。

2．拋物線切線通常有幾種求法？它們的要點和注意點分別有哪些？（1）求導法。要點：切點入手。注意點：可導及準確求導；（2）判別式法。要點：化為x或y的一元二次方程。注意點：計算準確。

3．本節中簡化運算方法有哪些？（1）運用幾何性質；（2）運用韋達定理，設而不求。

六 課后作業

１．教材部分（略）。

２．自主探究：除探求拋物線與橢圓雙曲線異同點外，附下題：已知拋物線x2 =4y的焦點為F，A、B是拋物線上兩動點，且 ，過A、B兩點分別作拋物線的切線，它們交于點M；（1）證明 為定值；（2）設△ABM的面積為s，寫出s＝f（ ）的表達式，并求出s的最小值。

七 教學反思

1．本節課深入思考，細心設計，力求扣準知識本質，精心構建知識網絡，著眼能力和素養的培養，從實際授課情況看，是取得預期效果的。

2．本節課教學內容較為充實，能精心設計教學問題，并盡量留給學生思考的時間，努力使問題恰當、高效，爭取形成有效的問題鏈，力求達到既調節課堂教學氣氛，活躍學生情緒，又促進思維，提高能力和素養。但畢竟時間有限，大部分探究是師生共同完成的，學生真正自主學習與探究的時間是否偏少？

3．課件努力圍繞教學目標，促進教學效果而用，但用得較為粗糙，水平有待提高。

4．教學小結在課堂中經常時間不夠，甚至沒有時間，如何小結才能切合教學實際，才能高效：既回顧知識和方法，又引導學生深入思考，向更高層次發展，而且不沖淡當堂課教學中心，是個很值得研究的問題。

5．教學理念是重要的，記住也是容易的，但落實好卻不容易，它需要知識淵博，經驗豐富，認真研究。作為教師，個人研究品性的形成，學識水平的提高，都需要長期磨煉與吃苦，然后輔以理念的方向指導。只有教師喜歡研究，學生才會喜歡研究；只有教師善于研究，才能引導學生研究，研究才能出真知。

6．關于教學，筆者心中一直存有一個設想圖，本節課是在設想圖指導下的一次教學嘗試。它正確與否，如何完善，請讀者幫忙思考。面對紛繁復雜的教學理念，筆者常想，如果能制作一個簡單的設想圖，揭示教學應該思考的內容和注意點，對把握教學規律，提高教學效益，必有促進；如果教師能針對設想圖三省乎己：教學目標是否達到？聯系與延拓是否恰當？有否改進？對自身的提高將大有幫助。下為設想圖及說明。

說明：（1）新課引入言簡意賅，低起點，緊湊，承上啟下，切合目標，忌高難度，以免費時過多，喧賓奪主。（2）向上向下指難度，向前向后指知識，延拓與聯系適度，服務當堂課目標，著眼學生發展和實效。（3）小結體現“小”與“結”：切中要點難點，簡要回顧與歸納，同時關注發展性問題的拋出。（4）作業目的是鞏固與實踐，同時也是教學延伸，關注難度、分層、覆蓋面，更關注發展，以培養興趣，提供發展空間。

參考文獻

［1］教育部.普通高中數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2004

［2］福建省教育廳高考考試說明編寫組.普通高等學校招生全國統一考試福建省數學考試說明［M］.福州：福建教育出版社，2010

［3］教育部考試中心.普通高等學校招生全國統一考試大綱［M］.北京：高等教育出版社，2010

〔責任編輯：李繼孔〕

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文