發揮數學思想方法的真正作用

有位數學教育家就曾說過：“學生們在初中或高中所學到的知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會運用，因而這種作為知識的教學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管他們從事什么業務工作，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用。”現代數學教育論認為：數學知識本身是非常重要的，但是對學生后續的學習、生活和工作長期起作用，并使其終身受益的是數學思想方法。所謂數學思想方法，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段。

作為一線的數學教師，我覺得要把數學思想方法真正服務于教學，需做好以下幾點：

一 提高認識

數學思想方法教學的重要性，雖已日益引起人們的注意，但尚未完全被廣大數學教師所認識，這表現在數學教學中只注重數學知識的傳授，忽視知識發生過程中數學思想方法的教學的現象依然普遍存在，比如有的教師常常因教學時間緊，將它作為“軟任務”擠掉，對學生的要求則是能領會多少算多少。因此我們提倡加強數學思想方法教學，其意義在于：促使數學思想方法由盲目的、不自覺的運用向有意識的、自覺的應用轉化，大大縮短學生在黑暗中摸索的歷程，由只有少數人掌握數學思想方法變為多數人都能掌握，從而使數學教育更好地為提高國民素質服務，為國家經濟建設服務。

二 遵循原則

數學思想方法是數學的“靈魂”，它和數學知識一樣，也同樣是數學教學的重要內容之一。由于大量的數學思想方法只是蘊含在數學的知識體系之中，又有高度的抽象性和概括性的特點，因此在教學中如何向學生及時滲透，適度展現教材中所內含的各種數學思想方法，充分發揮數學思想方法的活力，是每一位數學教育工作者需要認真去探索的課題，以使其真正起到抓好雙基、培養能力以及培養學生良好素質的重要作用。因此，為深化數學教育改革，加強數學思想方法的教學，同時應遵循數學思想方法的教學原則。

1．及時滲透性原則

現行教材中對數學思想方法采用隱而未顯的方式，它是將具體的數學知識和各種數學思想方法有機結合的一個整體。因此教師應充分挖掘教材中所包含的數學思想方法，在進行課堂教學方案的設計時，有意識地將它們滲透到具體數學知識的教學當中去，引導學生去領會蘊含在其中的數學思想方法，使其自然地、潛移默化地達到理解和掌握。之所以及時滲透，原因有二：（1）數學思想方法與具體數學知識是有機結合的整體，它們是相互聯系、協同發展的，同時又是不能相互代替的。數學思想方法是以具體的數學知識為載體，在教學的過程中逐步實現的，離開具體數學知識的教學，數學思想方法就成為無源之水、無本之木。因而要想發揮數學思想方法的指導作用，使它成為學生形成良好的認識結構的紐帶和由知識轉化為能力的橋梁，必須及時加強對數學思想方法的滲透。（2）數學思想方法屬于對數學規律的理性認識的范疇，是數學知識和數學方法的抽象和概括，它表現為一種意識，它沒有什么外在的固定形式。因此，為促進學生數學觀念的盡快發展，須不斷地及時滲透，才能為學生所接受，并自覺地指導學生的學習。

2．長期反復性原則

數學思想方法是思維方法和實踐方法的概括，例如，數形結合思想實質上是矛盾分析法，反映了數與形這一對矛盾的對立統一，以及在一定條件下的互相轉化等；又如，化歸原則實質上是轉化矛盾原則，它的基本思想具有深刻的辯證性質。正是數學思想方法的高度抽象性和概括性，要使學生領會和掌握其精神實質，須遵循學生的認識規律：從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級等，不可能一朝一夕來實現，必須長期滲透，在實踐活動中反復檢驗和運用。這就需要我們教師無論是在講概念的發生過程、命題的形成過程、還是結論的推導過程和思路的探求過程，都必須反復向學生展現數學思想方法，并用它來指導我們的課堂教學，從而優化教學過程，也只有這樣，才能使不同認知結構的學生基本上都能掌握各種數學思想方法。

3．系統歸納性原則

要想發揮數學思想方法的整體功能，與具體數學知識一樣，必須形成具有一定結構的系統。就某種數學思想而言，它本身與所相關聯的具體數學知識、所概括的一類數學方法也必須形成自身的體系，才能更好地為學生理解和掌握。為了形成數學思想方法的系統性，可以從下面兩方面去研究：一是研究在各種具體數學知識的教學中，可以進行哪些數學思想方法的教育；二是研究每一種數學思想方法可以在哪些知識點的教學中進行滲透，從而對數學思想方法作以系統的總結，使許多表面上孤立、零亂的數學知識在本質上得到統一，這樣既有利于學生對這些知識的掌握，也有利于知識的靈活運用。

4．適時明確性原則

數學思想方法的教學，在貫徹滲透性、反復性和系統性原則的同時，還要注意明確性原則。只有長期、反復而不明確的滲透，將會影響學生認識的從感性到理性的飛躍，妨礙學生有意識地去掌握和領會。因此在反復滲透的過程中，利用適當的機會，對某種數學思想方法進行概括和強化提高，使它的內容、名稱、規律及使用方法適當明確化。對數學思想方法的教學，是中學數學教學的薄弱環節，教材中也很少有明確的闡述，因此，教師在講及一些重要的思想方法（如數形結合的思想、分類討論思想、函數思想等）時，應結合知識的講解，使蘊含其中的數學思想方法的內容、實質、規律給予明確化，幫助學生領會、掌握這些重要的思想方法，直到靈活運用這些思想方法解決有關問題。在解題教學中，要經常采用一題多解、多題一解的教學。指出：一題多解是不同的數學思想方法在同一問題上的體現；而多題一解則是同一數學思想方法運用于多種問題上。同時將解題過程中蘊含的數學思想方法明確化，有利于學生掌握規律，從題海中解放出來。

三 教學實施

1．指導基礎復習，培養思想方法

基礎知識的復習中要充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法。如求直線和拋物線的交點時的兩種基本方法：一是把直線和拋物線方程聯立，討論方程組解的情況；二是從幾何圖形上考慮直線和拋物線交點的情況，利用數形結合的思想方法，將會使問題清晰明了。注重知識在教學整體結構中的內在聯系，揭示思想方法在知識互相聯系、互相溝通中的紐帶作用。如函數、方程、不等式的關系，當函數值等于、大于或小于一常數時，分別可得方程、不等式，聯想函數圖像可提供方程，不等式的解的幾何意義，運用等價轉化、數形結合的思想，這三塊知識可相互為用。

2．指導解題練習，提高運用意識

第一，注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用。解題的過程就是在數學思想方法的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題干間的差異的過程。解題思想的尋求自然就是運用數學思想方法分析解決問題的過程。

第二，注意數學思想方法在解決典型問題中的運用。例如選擇題中的求解方程： >x+1，雖然可以通過代數方法求解，但若用數形結合，轉化為雙曲線與直線的位置關系，問題將變得非常簡單。

第三，用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引申拓展，培養思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性，批判性。對同一數學問題的多角度的審視引發的不同聯想，是一題多解的思維本源。豐富的合理的聯想，是對知識的深刻理解，及類比、轉化、數形結合、函數與方程等數學思想運用的必然。數學方法、數學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、邏輯嚴密，是提高數學能力的必由之路。

總之，在當前特別強調滲透數學思想，加強觀點教育的形勢下，首先要遵循數學思想方法的教學原則，在加強數學思想方法上有意識地進行嘗試；在足夠的事實基礎上，通過類比、歸納、抽象、概括從而形成概念；通過合情猜測和推理來揭示命題的形成過程；以怎樣打開解題思路為關鍵的講解例題、習題來展現思路的獲得過程，以及時滲透、適時提煉、歸納和總結各種數學思想方法，有計劃、有目的地安排數學思想方法的訓練等。經過幾年的探索，我發現充分遵循數學思想方法的教學原則，合理處理教材內容，不僅有利于學生深刻地理解和實際應用所學數學知識，而且有利于學生了解數學發展的規律，培養學生的能力，因此也收到了良好的教學效果。

〔責任編輯：李繼孔〕