我對《變量與函數》一節課的感悟

【摘 要】新課標的實施，不僅要求教師在課前對知識的加深和理解、吃透教材，而且還要求教師對課堂有一個正確的把握，課后不斷地反思這節課的長處和不足，有利于提高課堂效果。

【關鍵詞】概念 數學原型 逆向思維

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）10－0169－01

通過《變量與函數》的教學，我對概念課的教學設計與教學實踐有了更深入的了解。

本設計呈現的課堂結構為：（1）揭示學習目標；（2）引入數學原型；（3）抽象出數學現實，逐步達到數學形式化的概念；（4）鞏固概念練習（概念辨析）；（5）小結（質疑）。

一 揭示學習目標

概念課的引入要考慮學生關心如下問題：這節課學什么概念？為什么要學這樣的概念？數學源于生活而高于生活，數學概念的引入可從生活的需要、數學的需要等方面引入。高中涉及的函數概念的核心是“量與量之間的特殊對應關系”。本節課中，我在導言中提出兩個問題：

引例1：《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南根據案發現場的腳印，鎖定疑犯的身高。你知道其中的道理嗎？

引例2：我們班一同學與職業運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

學生對上述問題既熟悉又感到意外。引例1涉及兩個量的關系，腳印確定，對應的身高有多個取值；引例2涉及多個量的關系。上述問題，不僅僅是引起學生的注意，更重要的是讓學生了解客觀世界中量與量之間聯系的多樣性、復雜性，而函數研究正是量與量之間的各種關系中的“特殊關系”。數學研究有時從最簡單、特殊的情況入手，化繁為簡。讓學生明確，這一節課我們只研究兩個量之間的特殊對應關系。“特殊在什么地方？”學生需帶著這樣的問題開始這一課的學習。概念的引入應具有“整體觀”，不僅要提供符合函數原型的單值對應的實例，還應提供其他量與量之間關系的實例（如多個量的對應關系、兩個量間的“一對多”關系等），使學生在更廣泛的背景中經過篩選，提煉出新的數學知識，逐步領悟“化繁為簡”的數學研究方法。當然，這里的問題是作為研究“背景”而呈現的，教學時應作“虛化”處理，以突出主要內容。

二 選取合適的數學原型

從數學的“學術形態”看，數學原型所蘊藏的數學素材應與數學概念的內涵相一致；從數學的“教育形態”看，數學原型應真實、簡潔、簡單。在此我設計采用了三個數學原型的問題：

問題1：“票房收入與售出票數問題”（可用解析式表示）。

問題2：成績登記表中的一次數學測試的“成績與學號問題”（表格表示）。

問題3：“氣溫變化與時間問題”（圖象表示）。

這三個問題從不同層面、不同角度體現了函數的“單值對應關系”，也都是學生生活中的真實問題，問題簡單易懂，學生容易基于上述生活實例抽象出新的數學概念。由于不少學生在理解“彈簧問題”時面臨列函數關系式的困難，可能淡化對函數概念的學習，故本節課沒有采用該引例。對于繁難的概念，我們更應注重為學生構建學生所熟悉的、簡單的數學現實，化繁為簡、化抽象為形象。過難、過繁的問題背景會成為學生學習抽象新概念的“攔路虎”。

三 引領學生經歷數學化、形式化的過程

“數學教學是數學活動的教學”，面對抽象的數學內容，老師會想方設法創設易于學生理解的數學情境。但如何從具體的實例中提煉出數學的素材、形式化為數學知識是教學的關鍵環節。從具體情境到數學知識的形式化，需要教師為學生搭建合適的“腳手架”，提出能引發學生思考、過渡到數學形式化的問題。我在學生完成問題情境的幾個問題后，提出了如下一些問題：

問題4：上述幾個問題中，分別涉及哪些量的關系？

問題5：哪些量的變化會引會另一個量的變化？

問題6：通過哪一個量可以確定另一個量？

由問題1～3的共性“單值對應關系”與“腳印與身高”問題中反映的“一對多關系”進行對比，抽象出函數的概念，逐步了解了如何給數學概念下定義，并理解概念的本質特征。

四 引用反例

學生對概念的理解需要經歷一個從模糊到清晰的過程，通過正例與反例的對照，才能準確理解概念的內涵。反例引用的時機、反例的量要恰到好處。在備課時，我從“氣溫問題”中的函數圖象引導學生發現問題，時間t取定一個值時，所得T的對應值只有一個，學生習慣性地提出問題“溫度T取定一個值時，時間t是否唯一確定？”全體同學從正反兩個方面認識“唯一確定”的含義，在這樣的基礎上再歸納出函數的定義，學生能較好地掌握函數中的單值對應關系。而在實際中第一個班上課時，在概念的形成前期，忙中出漏，沒有抓住“氣溫問題”中的函數圖象講解“唯一確定”，特別是沒有從反面（溫度T＝8，時間t＝12~14）幫助學生理解“唯一性”，也沒有強化“腳印與身高”反映的“一對多關系”，只在涉及“單值對應關系”的實例基礎上引出概念，跳過后面提到的三個反例，學生在后面的概念辨析練習中錯漏較多，為糾正學生的理解花費了九牛二虎之力。后來在第二個班上課時，在完成例1、例２的教學后，還用到如下反例：

問題2變式：在這次數學測試中，成績是學號的函數嗎？

問題3變式：北京春季某一天的時間t是氣溫Ｔ的函數嗎？

練習2（3）變式：汽車以60千米/秒的速度勻速行駛，t是s的函數嗎？

學生借助這三個逆向變式，根據生活經驗理解“兩個量間的對應關系”是否為“單值對應關系”，有利于學生明確“由哪一個量能唯一確定另一個量”，從而更好地理解自變量與函數的關系，更重要的是讓學生養成逆向思維的習慣。

總之，通過這一節函數概念的教學，教師應通過具體實例的分析讓學生進一步感受對應的思想，使感受向領悟靠近。同時，還應當通過非概念變式讓學生明確函數中“單值”的對應，即只有“唯一”確定的變量y與變量x對應。

〔責任編輯：李錦雯〕