我對《變量與函數(shù)》一節(jié)課的感悟

【摘 要】新課標的實施，不僅要求教師在課前對知識的加深和理解、吃透教材，而且還要求教師對課堂有一個正確的把握，課后不斷地反思這節(jié)課的長處和不足，有利于提高課堂效果。

【關(guān)鍵詞】概念 數(shù)學原型 逆向思維

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）10－0169－01

通過《變量與函數(shù)》的教學，我對概念課的教學設(shè)計與教學實踐有了更深入的了解。

本設(shè)計呈現(xiàn)的課堂結(jié)構(gòu)為：（1）揭示學習目標；（2）引入數(shù)學原型；（3）抽象出數(shù)學現(xiàn)實，逐步達到數(shù)學形式化的概念；（4）鞏固概念練習（概念辨析）；（5）小結(jié)（質(zhì)疑）。

一 揭示學習目標

概念課的引入要考慮學生關(guān)心如下問題：這節(jié)課學什么概念？為什么要學這樣的概念？數(shù)學源于生活而高于生活，數(shù)學概念的引入可從生活的需要、數(shù)學的需要等方面引入。高中涉及的函數(shù)概念的核心是“量與量之間的特殊對應關(guān)系”。本節(jié)課中，我在導言中提出兩個問題：

引例1：《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場的腳印，鎖定疑犯的身高。你知道其中的道理嗎？

引例2：我們班一同學與職業(yè)運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

學生對上述問題既熟悉又感到意外。引例1涉及兩個量的關(guān)系，腳印確定，對應的身高有多個取值；引例2涉及多個量的關(guān)系。上述問題，不僅僅是引起學生的注意，更重要的是讓學生了解客觀世界中量與量之間聯(lián)系的多樣性、復雜性，而函數(shù)研究正是量與量之間的各種關(guān)系中的“特殊關(guān)系”。數(shù)學研究有時從最簡單、特殊的情況入手，化繁為簡。讓學生明確，這一節(jié)課我們只研究兩個量之間的特殊對應關(guān)系。“特殊在什么地方？”學生需帶著這樣的問題開始這一課的學習。概念的引入應具有“整體觀”，不僅要提供符合函數(shù)原型的單值對應的實例，還應提供其他量與量之間關(guān)系的實例（如多個量的對應關(guān)系、兩個量間的“一對多”關(guān)系等），使學生在更廣泛的背景中經(jīng)過篩選，提煉出新的數(shù)學知識，逐步領(lǐng)悟“化繁為簡”的數(shù)學研究方法。當然，這里的問題是作為研究“背景”而呈現(xiàn)的，教學時應作“虛化”處理，以突出主要內(nèi)容。

二 選取合適的數(shù)學原型

從數(shù)學的“學術(shù)形態(tài)”看，數(shù)學原型所蘊藏的數(shù)學素材應與數(shù)學概念的內(nèi)涵相一致；從數(shù)學的“教育形態(tài)”看，數(shù)學原型應真實、簡潔、簡單。在此我設(shè)計采用了三個數(shù)學原型的問題：

問題1：“票房收入與售出票數(shù)問題”（可用解析式表示）。

問題2：成績登記表中的一次數(shù)學測試的“成績與學號問題”（表格表示）。

問題3：“氣溫變化與時間問題”（圖象表示）。

這三個問題從不同層面、不同角度體現(xiàn)了函數(shù)的“單值對應關(guān)系”，也都是學生生活中的真實問題，問題簡單易懂，學生容易基于上述生活實例抽象出新的數(shù)學概念。由于不少學生在理解“彈簧問題”時面臨列函數(shù)關(guān)系式的困難，可能淡化對函數(shù)概念的學習，故本節(jié)課沒有采用該引例。對于繁難的概念，我們更應注重為學生構(gòu)建學生所熟悉的、簡單的數(shù)學現(xiàn)實，化繁為簡、化抽象為形象。過難、過繁的問題背景會成為學生學習抽象新概念的“攔路虎”。

三 引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)學化、形式化的過程

“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學”，面對抽象的數(shù)學內(nèi)容，老師會想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)易于學生理解的數(shù)學情境。但如何從具體的實例中提煉出數(shù)學的素材、形式化為數(shù)學知識是教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。從具體情境到數(shù)學知識的形式化，需要教師為學生搭建合適的“腳手架”，提出能引發(fā)學生思考、過渡到數(shù)學形式化的問題。我在學生完成問題情境的幾個問題后，提出了如下一些問題：

問題4：上述幾個問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？

問題5：哪些量的變化會引會另一個量的變化？

問題6：通過哪一個量可以確定另一個量？

由問題1～3的共性“單值對應關(guān)系”與“腳印與身高”問題中反映的“一對多關(guān)系”進行對比，抽象出函數(shù)的概念，逐步了解了如何給數(shù)學概念下定義，并理解概念的本質(zhì)特征。

四 引用反例

學生對概念的理解需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的過程，通過正例與反例的對照，才能準確理解概念的內(nèi)涵。反例引用的時機、反例的量要恰到好處。在備課時，我從“氣溫問題”中的函數(shù)圖象引導學生發(fā)現(xiàn)問題，時間t取定一個值時，所得T的對應值只有一個，學生習慣性地提出問題“溫度T取定一個值時，時間t是否唯一確定？”全體同學從正反兩個方面認識“唯一確定”的含義，在這樣的基礎(chǔ)上再歸納出函數(shù)的定義，學生能較好地掌握函數(shù)中的單值對應關(guān)系。而在實際中第一個班上課時，在概念的形成前期，忙中出漏，沒有抓住“氣溫問題”中的函數(shù)圖象講解“唯一確定”，特別是沒有從反面（溫度T＝8，時間t＝12~14）幫助學生理解“唯一性”，也沒有強化“腳印與身高”反映的“一對多關(guān)系”，只在涉及“單值對應關(guān)系”的實例基礎(chǔ)上引出概念，跳過后面提到的三個反例，學生在后面的概念辨析練習中錯漏較多，為糾正學生的理解花費了九牛二虎之力。后來在第二個班上課時，在完成例1、例２的教學后，還用到如下反例：

問題2變式：在這次數(shù)學測試中，成績是學號的函數(shù)嗎？

問題3變式：北京春季某一天的時間t是氣溫Ｔ的函數(shù)嗎？

練習2（3）變式：汽車以60千米/秒的速度勻速行駛，t是s的函數(shù)嗎？

學生借助這三個逆向變式，根據(jù)生活經(jīng)驗理解“兩個量間的對應關(guān)系”是否為“單值對應關(guān)系”，有利于學生明確“由哪一個量能唯一確定另一個量”，從而更好地理解自變量與函數(shù)的關(guān)系，更重要的是讓學生養(yǎng)成逆向思維的習慣。

總之，通過這一節(jié)函數(shù)概念的教學，教師應通過具體實例的分析讓學生進一步感受對應的思想，使感受向領(lǐng)悟靠近。同時，還應當通過非概念變式讓學生明確函數(shù)中“單值”的對應，即只有“唯一”確定的變量y與變量x對應。

〔責任編輯：李錦雯〕