“重疊問題”教學紀實與反思

教學內容：人教版小學3年級下冊第9單元《數學廣角——重疊問題》。

教材分析：“數學廣角——重疊問題”是人教版數學3年級下冊新增設的一個內容。“重疊問題”是日常生活中應用比較廣泛的數學知識。教材主要是讓學生通過實際生活中容易理解的題材，初步體會集合思想方法。集合是一種比較系統、抽象的數學思想方法。而教材例1編排的意圖是借助學生熟悉的題材，通過統計表的方式列出參加語文小組和數學小組的學生名單，這與實際參加這兩個課外小組的總人數不相符合，從而使學生學會利用集合圖來解決這個問題。在此基礎上，掌握解決此類問題的計算方法及含義。

本節課的設計，立足于培養學生良好的數學思維能力，從學生的生活經驗和知識經驗出發，在觀察、交流、反思、體驗等數學活動中尋找解決問題的方法，在解決問題中初步體會數學方法的應用價值，從而真正落實在自主探究中學生的數學思維得以提升的目標。

學情分析：集合思想對3年級的學生而言，既熟悉又陌生。熟悉，是因為學生在3年的學習過程中，其實早就已經在體驗和運用集合的思想了。例如，學生在學習分類時，學會將同一種物品圈在同一個圈里；在學習數數時，學會將5棵樹、6枝筆、8只小鳥圈在一個封閉圈中，其實這些都蘊涵著集合思想的原型。陌生，是因為學生此前對集合從沒有主動、充分地感知過，教材中的集合圖也僅僅是以單個圈（或框）的方式來呈現的，而本節課學習的卻是含交集的集合圖。因此，針對3年級學生的認知水平，在教學中，側重親自去感知、體驗韋恩圖的優勢，對比中提升思維，進而明確本節課的目標是借助直觀的韋恩圖，利用集合的思想方法解決重疊問題。

教學目標：

1.通過活動實例，初步滲透集合的思想方法，引導學生學會用韋恩圖表示兩個集合及它們的交集。

2.培養學生探索能力和會用集合思想解決實際問題的能力。

3.培養學生善于觀察、善于思考，養成良好的學習習慣

教學重、難點：理解集合圖的各部分意義及解決簡單問題的計算方法。

教學過程：

一、問題情境，導入新課

1.以校春季運動會為主題，引出兩個運動項目的報名人數及總共的人數情況，發現問題。

師：校春季運動會即將召開了，第一組同學已將參加跳繩、跑步兩項比賽項目的報名情況上交，今天我們來統計一下。

出示表格：

師：快速算算，第一組同學有多少人報名參加比賽？

生：8+7=15人。

生：不對，不對，他們組一共才有12人，你怎么算出15人了。

生： 是啊，你算錯了。

師：喲，可不是嗎？來，研究研究，怎么回事？兩項加起來的總人數怎么和實際的總人數不一樣了。

生：有人重復報名了。

生：不能用兩種比賽項目報名人數相加，這樣不合理。

生： 對，不能算重復的。

師：你真善于觀察，思維更是敏銳，一眼就發現了問題的根源，了不起。

2.揭示學習內容。

師： 今天我們就共同來研究數學廣角里的重疊問題。（板書：重疊問題。）

【意圖：以現實生活為情境，引導學生由已有經驗認知水平去感知、體驗韋恩圖。學生對召開的運動會比較感興趣，從實際報名人數情況中，引發問題矛盾，產生疑問，利用實際參加這兩種比賽項目與總人數不相符合的情形，而引起學生認知沖突，思考問題根源——重復。同時這也滲透了集合的思想，引出可以利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數。】

二、自我建構新知，理解韋恩圖

1.引導學生利用直觀圖來理解“重復”。

師：看來在有重復現象的情況下，表格不太直觀，不方便我們統計總人數。

師：那么到底有多少人報名參加比賽了？想想，有什么好辦法來解決？

生：我可以數一數，遇到重復的就不再數了。

生：把參加報名比賽的同學名字一個一個寫下來，如果重復了，就不再寫他了。

生：我們也可以畫圖來解決。

師：畫圖？這的確是個好辦法，你們真了不起，學會自己想辦法解決問題。下面我們就來研究一下，怎么畫圖解決。

師：如果要用兩個圈表示參加跳繩和跑步的人數，你覺得用哪副圖來表示參加兩個小組人數之間的關系比較合適？

生：第二種。

【意圖：把學生探究“集合圖”的過程，變為教師直接給出兩幅“集合圖”，并讓學生結合自己的生活經驗，說說兩個集合圖所表示的實際意義，同時又拓展了學生對集合圖的認知，為建構抽象的數學模型搭建了平臺，也體現了基于學生認知基礎出發的教學理念。引導學生結合自己的生活經驗，帶著問題小組交流，通過小組討論交流找出解決問題的方法，了解兩個集合圖所表示的實際意義，進一步加深了學生對集合圖的認知，把學習的主動權還給學生。交流對話中，思考發現問題的根源——重復。】

師：仔細想一想，你們剛才所說的，重復同學的名字放在什么地方比較合適？

生：把重復同學放中間。

師：你能跟大家說說你是怎么想的嗎？

生：我是這樣想的，把重復的名單寫在中間，表示這些同學既參加跳繩比賽又參加跑步比賽，他們的名字只寫一遍就可以了。

師：你說得真好，聽了這位同學的解釋，我們都明白了，把重復出現的名單寫在中間是個很好的創意。

2.揭示韋恩圖：簡單介紹其來歷。

師：其實，這種方法就是我們數學中常用的韋恩圖，你們真了不得！

師：我們再來看看韋恩圖是怎樣得來的。（課件呈現。）

3.觀察韋恩圖，引導學生自主進行填寫。

師：現在，請小組合作，根據你們自己的想法，把同學的名字填在相應的圈里。

4.交流韋恩圖，理解各部分的含義。

師：誰來說一說每個圈表示的意思。

生：第一個圈里只填上報名參加跳繩比賽的同學，第二個圈里只填上報名參加跑步比賽的同學。

師：重復的部分又是什么意思？

生：重復部分就是兩項比賽都報名的同學。

師：誰把剛才幾位同學說的信息完整地說一遍。

師：你說得非常準確，而且回答問題的時候聲音很響亮。

【意圖：讓學生表述“韋恩圖”各部分之間的關系，引導學生構筑一個完整的認知結構，同時使學生對“韋恩圖”的認知更趨于明朗化。讓學生在反思中比較，使學生深刻體會到應用“韋恩圖”的實際意義。】

5.交流解決問題的計算方法及含義。

師：同學們都能看明白這幅圖了，現在咱們根據這幅圖列式算一算一共有多少名同學報名參加比賽？

匯報：

生1：7－3＋8=12。

生2：8＋7－3=12。

生3：8－3＋7=12。

生4：5＋3＋4=12。

師：你算得真快，把你的算法寫在黑板上。你也寫下你的算法。

師：請你們結合圖說說算式的意思。

…………

師：你們不但算得快，說得也很清楚，真棒。

師：根據韋恩圖呈現的信息，我們很快，也很準確地算出了參加報名參加兩項比賽的一共有多少名同學。

6.課堂小結。

師：剛才大家經過小組交流，找出了解決此類問題的不同方法。

三、練習鞏固，擴展提升

1.基本練習：課本110頁第1題。

師：你們喜歡動物嗎？認識這些動物嗎？這些動物有的會飛，有的會游。請把這些動物的序號填入下圖中合適的位置！

（學生展示作品。）

2.拓展運用，升華主題。

出示問題：3年級有20個同學參加競賽，其中參加數學競賽的有15人，參加作文競賽的有13人。既參加數學競賽又參加作文競賽的有幾人？只參加數學競賽的有幾人？只參加作文競賽的有幾人？

師：請你們試著利用圖來解決這個問題，

（生畫圖，匯報交流。）

師：看來同學們都會用咱們學習的圖分析問題了。周老師準備了兩盒文具獎勵大家。

師：請同學們猜猜，兩個盒子中的文具一共有多少種？

出示：兩個盒子，標明各有5種文具。

生1：9種。

生2： 8種。

…………

師：怎么會有這么多不同的情況？請把你的想法先跟同組的同學說說。

師：剛才同學們討論得很熱烈，誰愿意跟大家分享。

生3：5種。

師：說說你的想法。

生3：當兩個盒子中的文具都一樣時，就一共有5種文具。

師：什么一樣時，是數量一樣還是……

生：種數一樣時。

生4：10種。

師：說說你的想法？

生：如果盒子中沒有重復的，就一共有10種文具。

師：如果在這種情況下，還真的有10種文具。

師：其他同學呢，你們還有什么想法？

師：那大家一起說說，兩個盒子中至少一共有幾種文具，最多呢？

（學生匯報后，教師出示。）

【意圖：這個拓展練習的設計，給學生提供了自主探究的空間，同時學生在解決這一開放性題目的過程中，既進一步鞏固、完善對“韋恩圖”的認知，又培養了學生的思維能力。不僅加深了學生對韋恩圖意義的理解，同時還為將來進一步學習集合問題打下了堅實基礎。】

四、課堂總結

師：這節課我們解決了什么問題？在解決這一問題的過程中用到了什么方法和策略？

…………

反思：

1.找準知識的生長點，進行有效探究。

在教學設計上，我力求從學生的認知起點和困惑點以及認知沖突的矛盾之處，恰到好處地尋找出符合學生學習的有效的教學途徑。如：在導入環節尋找出新知生長的結點，既喚醒學生已有的知識經驗，又讓他們感知新知的生長點就在此而生。在探究環節，更是充分展現學生解決問題的能力，從自主感受到用集合圖來解決問題的價值，到讓學生掌握使用集合圖解決重疊問題的方法，給學生充分交流、反思，體驗“韋恩圖”的價值和拓展對“韋恩圖”的認知。

2.創設自主探究的空間，拓展學生的數學思維。

在教材的處理上，我選擇了更貼近學生生活實際的題材——統計本班春季運動會報名的實際情況，改編了教材的內容，課前我讓學生自主進行體育項目報名，并將第一組的情況制成統計表，從學生的生活實際出發，讓學生從自己感興趣的題材中初步感受到集合的思想。

在教學過程中，巧妙設計問題情境，形成學生的認知沖突，以“第一組參加比賽的同學一共多少人”這個問題，讓學生自己自主發現問題的癥結所在——重復，學生出現分歧后，再引導學生，借助一種圖表來幫助解決這一問題。適時推薦兩種圖表，供學生選擇，實際上就是在考查學生對“重復”的理解，讓學生明確用這種集合圈表示這樣的兩種數據之間的關系有什么好處？以及如何來解決這類問題的能力。這樣，既為突破教學重點提供了保證，又為學生自主解決問題尋求到支點。

3.體驗知識的產生過程，尋求解決問題的方法。

學習任何知識的最佳途徑是由自己去發現。因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。每個學生都有自己的生活經驗和知識基礎，而對同一個問題又都有各自不同的思維方式，他們的自主建構是任何人都無法替代的。如：學生在解決報名參加兩項比賽的同學一共有多少人時，學生自己去發現、討論、體驗“重復3人的解決辦法”，最終提交了4種解決辦法。我想，這樣對知識的理解才是深刻而有效的。

在練習的安排上，讓學生多層次練習，進一步學會利用集合的數學思想，來解答這一類的數學問題。充分體現讓數學來源于生活，又服務于生活，真正將訓練學生應用能力落到實處。

總之，課堂是學生充分展示生命智慧的舞臺，我們就要為學生提供平等、寬松、自由的課堂氛圍，還要做一名欣賞者。唯有這樣，學生探索知識的過程才會更加精彩，數學課堂才能成為學生學習的樂園，也才能成為學生充分表現和發揮個性的舞臺。

（工作單位：哈爾濱市群力兆麟小學）

編輯/魏繼軍