“重疊問題”教學紀實與反思

教學內容：人教版小學數學3年級下冊第9單元“數學廣角——重疊問題”。

教材分析：本冊教材和前幾冊教材編排的知識板塊基本一樣，教材除了在有關單元滲透相應的數學思想方法以外，還專門安排了“數學廣角”這一單元來介紹一些數學思想方法，讓學生學會運用這些數學思想方法解決一些簡單的實際問題。本課主要是結合生活實際，引導學生初步體會集合的思想方法。本節內容首先通過統計表的方式列出參加語文小組和數學小組的學生名單，通過統計表可以看出：參加語文小組的有8人，參加數學小組的有9人。但實際上參加這兩個課外小組的總人數卻不是17人，引起學生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖把這兩個課外小組的關系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名同學同時屬于這兩個小組，所以計算總人數時只能計算一次，從而引導學生學會利用集合圖來解決這個問題，在此基礎上，掌握解決此類問題的計算方法及含義。

《數學課程標準》明確指出：“數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發，創設生動有趣的情境，讓學生在生動具體的情境中學習數學。”根據這一理念，結合本節課教學內容，我大膽地對教材進行重組，以學生熟悉的體育活動為情境貫穿教學始終。讓學生在自主探究——體驗交流——形成方法的過程中構建模型，引導學生有效地參與學習。

學情分析：

集合是比較系統、抽象的數學思想方法，是數學中最基本的思想。從學生一開始學習數學，其實就已經在運用集合思想方法了，所以對集合有一定的生活經驗和知識基礎。例如在數數時，把1個人、2朵花、3枝鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這樣表示出的數學概念更直觀、形象。而以后學習的平面圖形之間的關系都要用到集合的思想，如：把若干圖形分類，需要一定的標準，這種分類思想就是集合理論的基礎，集合的重要性由此可見一斑。但這些都只是單獨的一個集合圈。本節課教材例1借助學生熟悉的題材，滲透了集合的有關思想，并利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數。教學要使學生理解用直觀圖（集合圈）表示“重疊現象”的方法，了解到直觀圖各部分的意義，特別是重疊部分（交集）的意義，掌握根據直觀圖列式計算總數（兩個集合的并集）的方法。對于3年級學生來說，學習這部分內容，思維力度較強，有一定的挑戰性。

教學目標：

1.通過使學生借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實際問題，并能運用數學語言進行描述。

2.通過活動，豐富學生對直觀圖的認識，培養學生的觀察能力、思考能力、創新能力、評價說理能力。

3.通過使學生在主動參與數學活動過程中體驗身邊數學的價值，獲得成功的體驗，提高學生學習數學的興趣。

教學重、難點：使學生初步體會集合的有關思想方法并能用之來解決實際問題。

教學過程：

一、創設情境，激發興趣

1.情境創設。

師：我們在學習新知識之前，你們愿意幫助老師解決一個有趣的問題嗎？（愿意。）有兩個兒子和兩個爸爸一同去看電影，可是只買了3張票，猜一猜他們能順利地進入劇場嗎？（能。）說說你是怎么想的？

生：免票或兩個兒子半價票。

師：可以這樣想，有這種可能性，但是今天的這兩對父子買的都是同樣價錢的票，怎么回事呢？

生：重復了，有一個人既是兒子的父親，又是爺爺的兒子。

2.揭示課題。

師：同學們真聰明。其實，生活中這樣的現象有很多，在數學上，我們把它叫做重疊問題。（板書課題。）

【意圖：這一環節的設計聯系現實生活中學生易于感興趣的情境引入課題，有效地喚起了學生的生活經驗。學生對新概念的出現不會感到陌生，這既能激發學生學習新知識的興趣，又能為他們更好地理解新知識做好鋪墊。】

二、構建新知，理解新知

1.現場調查，收集、整理信息。

師：同學們，今天我們來進行一次小調查：調查一下，哪些同學喜歡跳繩，哪些同學喜歡游泳，怎么樣？（板書：喜歡跳繩、喜歡游泳。）

…………

師：按我們全班同學分成的4組來進行，并且老師還為你們準備了統計表，你們要從前往后依次填寫。由于老師并不知道同學們的名字，所以統計表上每一個序號就代表一名同學。你喜歡哪一項，就在這一格里畫上“√”；如果你都喜歡呢？就分別畫上“√”，并且最后一桌同學要統計出來你們小組喜歡跳繩的有多少人，喜歡游泳的有多少人，明白嗎？但是我們在調查之前，老師有一個小小的要求：每名同學至少要選擇其中的一項，好嗎？我們比一比，哪組同學進行得迅速而且無聲，調查現在開始。

【意圖：對教材整體結構很清晰，在教材處理上，沒有利用原有例題，而是重組教材。選擇更貼近學生實際生活的題材——現場調查學生喜歡跳繩、游泳的情況。這樣處理使學生置身于熟悉的生活情境中，多種感官被調動起來，感受到數學問題來源于自己的身邊。學生的姓名，用數字代替，向學生滲透了符號化思想，也為日后進一步優化韋恩圖（直接用數字表示）起了重要的“橋梁”作用。同時還培養了學生收集信息整理信息的能力。】

2.引導學生利用直觀圖來理解“重復”。

師：調查現在結束了。（收回統計表。）我們先來看看第一小組同學的調查情況。為了方便同學們研究，誰來看著統計表，指揮說序號，老師對應著將數字卡片貼到黑板上。都有哪些同學是喜歡跳繩的？喜歡游泳的同學都有誰？（貼數字卡片。）

師：這些是喜歡跳繩的。（白色粉筆圈起來。）站起來，讓我們看看都有誰。數一數有多少人？（8人。）這些是喜歡游泳的。（紅色粉筆圈起來。）站起來，也和我們見見面？數一數有多少人？（6人。）

生：發現有人站起來兩次，貼了兩張卡片。

師：你真善于觀察。誰站起來兩次？向我們揮揮手。怎么回事：他們為什么站起來兩次？

生：既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：喜歡跳繩的和喜歡游泳的一共有多少人呢？

生：14人。

師：好，請這幾名同學起立，數一數。（12人。）咦，奇怪了，實際站起來的人數怎么和同學們數的結果不一樣啊？

生：有人貼了兩張卡片或有人站起來兩次。

師：他們為什么站起來兩次？為什么貼了兩張卡片？

生：我們既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：他用到了一組關聯詞向大家解釋了原因。（板書：既……又……）說得真清楚。因為他們既喜歡跳繩，又喜歡游泳。我們把喜歡跳繩的他們往中間移一移，把喜歡游泳的他們也往中間靠一靠。咦？靠到一起了，現在你們能不能想想辦法，將老師之前畫上的這兩個圓圈調整一下，讓我們更清楚地看清哪些同學是喜歡跳繩的，哪些同學是喜歡游泳的，哪些同學是既喜歡跳繩，又喜歡游泳？前后桌的同學可以研究一下，動筆畫一畫。

（生展示。）

師：能說說你是怎么想的嗎？你們同意他的做法嗎？那我就尊重你們的選擇，我把它畫到黑板上。

【意圖：通過貼放學生的序號卡片，教師及時引導學生歸納、小結，這既能讓學生體會出集合圖本身各部分之間所存在的關系，又能讓他們直觀地感知各個數據與集合圖之間的關系。引導學生畫圖，給孩子們創設一種自主探究的學習氛圍，讓學生在探究中發現問題、提出問題、解決問題。經歷用韋恩圖表示重疊的意義進一步加深對集合思想的理解。】

3.認識集合圖、明確各部分的意義。

師：請看圖說一說各部分表示什么意思？既喜歡跳繩，又喜歡游泳的有幾人呢？怎樣擺會讓我們一眼就可以看出有多少人？

生：雖然是兩張卡片，但是序號相同，表示的卻是一個人。

師：同學們真了不起，知道你們創造的這個圖和誰想到了一起嗎？

生：韋恩。

師：你知道的可真多，真是個愛學習的好孩子！是的，和英國的大數學家韋恩想到了一起，他早在1881年率先創造了這個圖，后來世人為了紀念他，就以他的名字命名這個圖，叫韋恩圖。看來，發明和創造并不難，只要肯動腦筋，一切皆有可能，掌聲送給自己。

師：數學家愛思考，我們也不能停下思考的腳步。指出圖中各部分的意義，并說出有多少人參加各項活動。喜歡跳繩和只喜歡跳繩只有一字之差，它們有什么區別嗎？

【意圖：充分考慮學生已有的知識基礎和學生的心理特點，讓學生表述“韋恩圖”各部分之間的關系，給了學生一個完整的認知，通過讓學生仔細觀察，交流感知，嘗試畫圖，明確集合圖的作用，各部分表示的意義，從而突破本課的重難點。同時還滲透了數學思想和數學文化。】

4.列式計算。

師：現在老師將這些卡片拿掉，你能根據我們已經找到的數學信息，用列式計算的方法求出喜歡跳繩和喜歡游泳的有多少人嗎？自己寫一寫。（生：匯報。）

（1）用喜歡跳繩的人數加上喜歡游泳的人數再減去重復計算的人數就是我們要求的總人數。

（2）只喜歡跳繩的人數加上既喜歡跳繩又喜歡游泳的人數再加上只喜歡游泳的人數也是我們要求的總人數。

（3）只喜歡跳繩的人數加上喜歡游泳的人數也是我們要求的總人數。

（4）只喜歡游泳的人數加上喜歡跳繩的人數也是我們要求的總人數。

師：大家同意嗎？

…………

師：同學們的思維真靈活，一道題就能用這么多種方法解決，真棒。

師：同學們，現在我們知道了，喜歡跳繩的和喜歡游泳的有14人，看圖，你能求出既喜歡跳繩又喜歡游泳的有幾人嗎？喜歡游泳的又有多少人呢？

師：對重疊問題同學們掌握得比較好，看來學習韋恩圖對于我們解決這類重疊問題很有幫助啊！

三、練習鞏固，擴展提升

師：同學們，這幅圖是我們大家一起探討出來的，下面我就給你們一個機會。（展臺：展示另一組數據信息。）能不能用韋恩圖表示這組數據呢？自己畫一畫，畫好后同桌交流一下。

（生匯報展示。）

師：能說說你的想法嗎？你們和他做的一樣嗎？

師：同學們，今天我們學習了——重疊問題，并找到了解決這類問題的方法——畫韋恩圖。那你們能借助圖解決幾個實際問題嗎？請看第一題。

第一題：兩塊木板分別長20厘米、25厘米，如圖拼成一塊長30厘米的木板，中間重疊部分長多少厘米？

第二題：3年1班一共有30人，其中喜歡吃桔子的有15人，有5人既喜歡吃桔子又喜歡吃蘋果（每人至少喜歡吃一種），問喜歡吃蘋果的有多少人？

【意圖：本著“由淺入深、循序漸進、既注重基本知識，又重視新知識的應用”的原則，培養了基本數學思想，形成基本經驗，體會數學知識應用與生活的價值。】

四、拓展延伸

師：同學們，通過我們共同的努力，不僅認識了韋恩圖，還學會了借助韋恩圖來解決生活中的一些實際問題，其實，生活中也有很多重疊的現象。比如：在排隊的時候，從前數有多少人，從后數有多少人？就是重疊問題。

師：（課件演示。）以后學習面積的時候也會遇到重疊問題。生活中的許多現象都是重疊形成的：這是光的三原色，光譜研究中，不同顏色的光重疊在一起會產生奇妙的現象。這就是利用色彩的重疊設計的海報，見過這個嗎？這就是著名的千手觀音，人與人的身體重疊在一起，通過手臂的不同角度，給人一種美的享受。

五、總結

師：同學們，數學來源于生活，生活中處處有數學，喜歡數學嗎？大聲讀出來“我愛數學，我與數學共成長”。 雖然我們相處的時間很短，但在老師的心目中你們的未來是不可估量的，我相信，我們3年1班的同學們一定能在數學這塊廣闊的大地中展翅飛翔。

謝謝同學們，再見！

反思：

1.培養學生收集、整理信息的意識和能力。

集合的抽象性是在它最終形成結論才具有的，而在結論形成過程中，必然以大量的具體內容為基礎。本著從實踐中來到實踐中去的原則，課堂上我們讓學生從生活實際中親身感知集合的思想，并使他們親身體驗集合圖的產生過程，讓學生在過程中體驗集合的思想，在過程中感悟重疊，并頓悟重疊問題的解決方法。讓學生經歷問題解決的數學化過程，獲得數學學習體驗。

2.培養學生思維的嚴密性、嚴謹性是數學學科的基本特征之一。

數學的教學，最重要的不僅是數學知識的教學，而且是數學思維，數學思想方法的教學。數學思想貫穿整個數學體系的始終。所以，從小就給學生滲透一些數學思想是非常必要而且非常重要的。而其中重要的一環就是學生數學思維的嚴謹性的培養。嚴謹性是數學學科的基本特征之一。反思教學過程，我覺得我也很注重培養學生思維的嚴謹嚴密性，如解讀韋恩圖的過程中，讓學生表述各個部分的意思。大圈是表示“喜歡跳繩”和“喜歡游泳”，而去掉了都參加的部分后是“只喜歡跳繩”，“只喜歡游泳”，多了一個字“只”，雖然只有一字之差，但是意思完全不一樣。還有“既喜歡跳繩，又喜歡游泳”讓學生明白這是同時都喜歡的，課堂上時時注重學生嚴密的思維。如果這里再多讓學生互相說一說就更好了。

3.教學中要注意克服學生的思維定式。

數學中的思維定勢對于形成學生的解題能力是有必要的，但思維定式也限制了學生思維創造性，這種情況往往在很大程度上限制了學生思維火花的閃現。所以，在課的練習設計上，設計了變式練習，鍛煉學生的思維。但是由于時間關系沒有更充分的開放拓展。

（作者單位：哈爾濱市民生路小學）

編輯/魏繼軍