金融資產(chǎn)的等價(jià)鞅測度定價(jià)方法研究綜述

【摘要】金融資產(chǎn)定價(jià)是金融工程研究的核心之一。作為金融資產(chǎn)定價(jià)的新興方法，等價(jià)鞅測度定價(jià)方法于上個(gè)世紀(jì)80年代開始運(yùn)用，因其求解精確簡單，成為現(xiàn)代金融工程理論界和實(shí)務(wù)界不可或缺的定價(jià)工具。文章通過等價(jià)鞅測度應(yīng)用于金融資產(chǎn)定價(jià)的發(fā)展過程，闡釋了等價(jià)鞅測度定價(jià)方法的原理，并將其與其他定價(jià)方法作了簡單的對(duì)比，以指出其優(yōu)勢(shì)與不足。

【關(guān)鍵詞】金融資產(chǎn)定價(jià) 等價(jià)鞅 等價(jià)鞅測度

近三十年來，以大規(guī)模交易的金融期權(quán)、期貨為代表的金融產(chǎn)品創(chuàng)新，成為國際金融領(lǐng)域中最引人矚目的一幕。如何給期權(quán)等金融資產(chǎn)定價(jià)，也就隨之成為了現(xiàn)代金融理論研究和實(shí)踐運(yùn)用中的最前沿和時(shí)尚的問題。

金融資產(chǎn)定價(jià)的主要方式一般有四種：偏微分方程定價(jià)方法（PDE）、二叉樹期權(quán)定價(jià)法（BOPM）、蒙特卡羅模擬定價(jià)方法（MCS）和等價(jià)鞅測度定價(jià)方法（MPM）。其中，等價(jià)鞅測度定價(jià)方法是求解精確定價(jià)公式的最簡單方法，是現(xiàn)代金融工程理論界和實(shí)務(wù)界不可或缺的定價(jià)工具。因此，研究金融資產(chǎn)的等價(jià)鞅定價(jià)方法具有十分重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

一、基本概念

1. 鞅（martingale）

鞅是一個(gè)滿足一定條件的隨機(jī)過程。金融資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)過程與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)，布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)鞅過程，這意味著，金融資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)與鞅相關(guān)。然而，一般情況下，金融資產(chǎn)的價(jià)格變化，在給定的信息集下，并非完全不可預(yù)測。因此，大多數(shù)金融資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)不是鞅。

由于鞅是用條件期望來定義的，而條件期望的計(jì)算總是基于某種概率分布和特定信息集合。我們?nèi)绻苷业侥骋环N概率分布，把金融資產(chǎn)的未來價(jià)格用無風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)之后，轉(zhuǎn)變成一個(gè)鞅，則所謂的資產(chǎn)定價(jià)基本原理就可用于現(xiàn)實(shí)的金融產(chǎn)品定價(jià)工作中。

2. 等價(jià)鞅測度（Equivalent Martingale Measure）

概率測度的轉(zhuǎn)化要通過Girsanov定理來實(shí)現(xiàn)。該定理表明，不同的概率測度之間是可以相互等價(jià)轉(zhuǎn)換的，而聯(lián)系等價(jià)概率測度之間的紐帶就是Novikov導(dǎo)數(shù)，Novikov導(dǎo)數(shù)是某個(gè)濾波下的鞅。在P測度下，其的期望值可轉(zhuǎn)化為Q測度下示性函數(shù)的期望值，實(shí)際上，這是一個(gè)概率。該概率測度Q就是等價(jià)鞅測度。

二、等價(jià)鞅測度方法的發(fā)展

“鞅”這個(gè)名詞首先由法國概率學(xué)家Lévy在1939年引進(jìn)，并作了若干奠基性的工作。后來由美國概率學(xué)家Doob發(fā)揚(yáng)光大。鞅在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是隨著Harrison和Kreps(1979)、Harrison和Pliska(1981)的兩篇經(jīng)典論文的發(fā)表開始的。在論文中，作者建立了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的無套利、完全市場等概念和鞅分析理論中的等價(jià)鞅測度概念、鞅表示定理之間的聯(lián)系，為鞅分析理論在期權(quán)定價(jià)理論中的應(yīng)用開辟了道路。

Dalang R C，Morton A，and Willinger W(1990)，Schachermayer W(1992)以及Kabanov Y M，Kramkov D O(1994)等分別用不同的方法對(duì)市場無套利條件下任意基本資產(chǎn)價(jià)格的等價(jià)鞅測度定價(jià)作了進(jìn)一步研究。Yan H，Liu S(2003)在假設(shè)原概率測度即為等價(jià)概率鞅測度的條件下，推導(dǎo)了股票價(jià)格的期望增長率以及泊松跳躍過程的參數(shù)均為變函數(shù)時(shí)，歐式期權(quán)的價(jià)格公式。

薛紅，彭玉成（2000）、田蓉，柴?。?003）分別研究了等價(jià)鞅在未定權(quán)益定價(jià)和外匯期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用；李娜，柴俊，陳勇（2005）對(duì)支付已知紅利股票的歐式期權(quán)定價(jià)的鞅方法做了進(jìn)一步研究；彭勃，杜雪樵（2007）研究了支付紅利股票的跳擴(kuò)散過程下期權(quán)定價(jià)的鞅方法；鄒杰濤，汪海燕，于海濱，吳潤衡（2009）、熊炳忠（2009）則分別對(duì)公司負(fù)債的鞅定價(jià)以及平方根連續(xù)履約價(jià)選擇權(quán)的鞅定價(jià)做了探索性研究。

三、金融資產(chǎn)的等價(jià)鞅測度定價(jià)方法的原理（以支付紅利的股票為例）

在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)常假定支付紅利的股票價(jià)格St滿足下列隨機(jī)微分方程：

這里μ稱為漂移率，σ是波動(dòng)率，q是紅利率，wPt是概率測度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

通過Girsanov定理，將概率測度P轉(zhuǎn)換為概率測度Q之下的隨機(jī)過程，此時(shí)，支付紅利的股票價(jià)格St滿足下式：

對(duì)比兩式可知，在概率測度Q下，原來的μ已被無風(fēng)險(xiǎn)利率r取代，但原來標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率并未受到概率測度轉(zhuǎn)化的影響。因此，稱概率測度Q是風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測度，即等價(jià)鞅測度。

很多時(shí)候在風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測度Q下求期望很不容易。因此需要再次利用Girsanov定理，將風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的另一種風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測度R。這種定價(jià)方法稱為等價(jià)的鞅測度定價(jià)方法。

等價(jià)鞅測度概念能夠很好地說明為什么在公式Black-Scholes中不含有標(biāo)的股票的預(yù)期收益和投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。在金融市場均衡中，每種股票在等價(jià)鞅測度下的預(yù)期收益率正好是無風(fēng)險(xiǎn)收益率。所以，無論投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡或者是風(fēng)險(xiǎn)愛好者，運(yùn)用等價(jià)鞅測度，他們都將按照同一風(fēng)險(xiǎn)收益率r來衡量標(biāo)的資產(chǎn)的收益。

參考文獻(xiàn)

[l] BLACKF，SCHOLES M. The Pricing of options and Corporate Liabilities [J].Journal of Political Economy，1973，81(7):637-655.

[2] HARRISON J， KREPS P M.Martingales and Arbitrage in Mul-tiperiods Securities Markets [J].JEeon Theory，1979，20(2):38-48.

[3] 李娜，柴俊，陳勇.支付已知紅利股票的歐式期權(quán)定價(jià)的鞅方法[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005(12):132-134.

[4]田蓉，柴俊.等價(jià)鞅測度模型在外匯期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（6）:27-31.

作者簡介：肖佳麗（1988-），女，漢族，河南駐馬店人，四川大學(xué)工商管理學(xué)院，研究方向：企業(yè)微金融決策。