怎樣利用集合的交\\并\\補下結論

一道完整的解答題過程應由說明性語言、論述性語言、結論性語言構成，解題到了下結論的時候（包括階段性結論和終結性結論），要慎重對待。如有不慎，輕則結果存有瑕疵，重則前功盡棄，所以下結論也是解題中的重要環節。本文舉例說明怎樣利用集合的交、并、補下結論，希望對讀者有所啟發。

一、取交集

例1（2008.江蘇高考.14題）設f（x）=ax3-3x+1（x∈R）

若對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立。則實數a的值為_____。

分析：（1）當x=0時。f（x）=1≥0恒成立，a∈R。

（2）當x>0即x∈(0，1]時，f（x）=ax3-3x+1≥0可化為：

a≥-。設g（x）=-。則g′（x）=

所以g（x）在(0，]上單調遞增，在[，1]上單調遞減。

因此g（x）max=g()=4，從而a≥4。

（3）當x<0即x∈[-1，0)時，f（x）=ax3-3x+1≥0可化為：

a≤-。g（x）在[-1，0)上單調遞增，因此g（x）min=g（-1）=4從而a≤4。

此時，參數的范圍取交集還是取并集？因為對任意x∈[-1，1]恒有f（x）≥0。三者之間是“且”的關系，所以，以上三種情況應同時成立，取交集得a=4。

二、取并集

例2（2010.全國高考新課標.文科.24題） 設函數f（x）=│2x-4│+1。

（I）略

（II）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍。

解：（I）略

（II）據題意：存在x∈R，使f（x）≤ax成立。

（1）當x=0時，不存在實數a，使f（x）≤ax成立，因此a∈

（2）當x>0時，原不等式f（x）≤ax可化為a≥記g（x）=。當0

當x>2時，g（x）=2-∈(，2)。所以當x>0時，g（x）∈[，+∞)。

因此，a≥。

（3）當x<0時，原不等式可化為：a≤-2，-2∈（-∞，-2），

因此，a<-2。

此時，a的三種范圍到底取交集還是并集？

以上三種情況至少有一種成立，三者之間是“或”的關系。

所以取并集得a的取值范圍為：（-∞，-2）∪[，+∞)。

三、取補集（略）

小結：

1.從以上幾例可以發現，邏輯上的“或”、“且”、“非”，對應著集合的“并”、“交”、“補”。解題中經常要用到集合中的“并”、“交”、“補”。正確理解數學語言中隱含的“或”、“且”、“非”是關鍵。通俗地講：“或”指幾種情況至少有一種成立，“且”指幾種情況同時成立，“非”指一定范圍內對立的兩種情況非此即彼的意思。

2.在解題過程中，往往要綜合考慮“并”、“交”、“補”的運用，下結論時，既不取交集，也不取并集，而是分類總結列出，或合并后再分類總結列出也是常見的，相信讀者對此種類型會作出正確的處理，在此不再贅述。

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學）