對“命題”這一節教材的再認識

【摘要】筆者在近幾年對平面幾何的教學中發現，蘇科版八下數學“圖形的證明”這一章安排在這里感覺不太合適，本文通過對新教材的分析、解讀提出一點小小的見解。

【關鍵詞】基礎數學；命題形式；命題結構

我國著名基礎數學家楊樂院士指出，現在中學數學教學中存在平面幾何知識缺失的現象，許多地方在編寫教材時，認為平面幾何古老，不符合現代化和實用性，大幅減少相關內容。不學習平面幾何，有些同學中學畢業后還不知道如何完整證明一道命題。楊樂為現在中學平面幾何的教學缺失感到憂慮：“平面幾何培養人的直觀想象力、分析與證明能力，很難用其他課程替代。”當我讀到上面這段話的時候我感慨頗深。本人在初中數學這門課程的教學中深知平面幾何說理的重要性。新教材把“圖形的證明”中11.2說理安排八年級下冊，對初中學生學習幾何推理知識有點稍后，若安排在七年級我覺得幫助大些，如能對“命題”這節知識的應用再系統性些，則對初中學生的幾何入門學習效果會更好。一個數學結論的正確性如何確認呢？人類對數學命題進行的證明的研究已有2000多年的歷史了。公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得寫出來舉世聞名的巨著《原本》。在這本書中，他挑選了一些基本定義和基本事實作為證實其它命題的出發點，推到出400多條定理，《原本》構建了數學史上第一個公理系統，開創了科學理論系統的先河。他不僅對數學發展的影響超過了同時代任何其它的書，而且對科學和文化的發展產生了深遠的影響。《原本》作為課本被人們推崇2000多年，是人類歷史上所沒有的。我們的教材來源于《原本》，下面是我對這一節知識的淺薄的看法。

一、命題的形式“籠統”

判斷一件事情的句子叫做命題。例如，（1）等角的余角相等；（2）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；（4）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。上面四個句子都是命題，通常講的判斷句中含有“是”、“叫做”等詞時一般認為是命題。但像祈使句、疑問句等都不是命題：如，形狀相同的三角形是全等三角形嗎？過一點畫已知直線的垂線。命題的形式常見有①如果…那么…，如（2）；②…如果…那么…，如（3）；③沒有“如果…那么…”字樣的三種類型，如（1）。教材中沒有對命題進行形式上有一種分類，這讓初學者對所見到的命題沒有直觀感覺，感到有點混亂，對下一步證明的學習缺少條理性。

二、命題的結構“模糊”

每個命題都由條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推出的事項。例如如

對命題進行如上表結構分析，那么不難對命題中的形式①、②的條件和結論把握準確到位，只是形式③的結構不好找出，要進行命題結構整改，這是對平面幾何說理的基礎分析，對教學中的重點和難點的有效把握，對下一步的證明命題過程進行自然過渡。本節教學難點就是形式③沒有“如果…那么…”字樣命題的研究。

三、命題的改寫“隱身”

教材中對命題的改寫這部分內容沒有涉及，可能編委認為沒必要，我卻認為這個知識點恰恰是教學的難點，如果這一知識點老師一帶而過，那么學生就會模模糊糊的一笑而過，留下的只是感覺上的所謂輕松，實質上的空白。怎樣才能對這節知識掌握清晰明了呢，就要對難于理解的簡潔命題進行形式結構再改造。如“對頂角相等”這個命題，條件和結論不明顯，學生可能把這個命題分成“對頂角”和“相等”兩部分，認為這個命題的條件是“對頂角”這個命題的結論是“相等”。實際上，“兩個角是對頂角”，“這兩個角相等”是結論。前一種表述中，條件和結論都不是完整的句子，即都不是命題，而后一種表述清楚準確。為什么會出現這種觀點？因為數學課本中很多命題的簡潔形式不容易判斷出他們的結構。即找不準這個命題的條件和結論。那么會對下一步證明過程帶來障礙。如何在教學時讓學生對這類沒有如果…那么…形式簡化的命題作出正確的判斷，要訣是結合證明的一般步驟。（1）根據命題，畫出圖形。（2）根據命題，結合圖形，寫出已知、求證；已知部分是已知事項（即命題的條件），求證部分是論證的事項（即命題的結論）。（3）寫出證明的過程。

比較上面對同一個命題的兩種改寫成“如果…那么…”形式，可見兩種改寫都正確，前一種受大多數同學的青睞，后一種少有人這樣寫，最終我們要選擇哪一種改寫形式作為我們要證明的選擇呢？當然是后者，因為前者已知中只出現兩個相等的角，沒有出現這兩個相等角的補角，則求證中無法寫出證明的全過程，而后者的改寫，則完全具備了證明的已知；∠1、∠2，∠3、∠4之間的關系，而結論就是要證明∠3=∠4，完全具備證明的要求。可見要判斷一個命題的條件（“如果”部分）結論（“那么”部分），要牢牢結合證明過程中的三個步驟，做到合情推理，感受推理的重要性。因為人類的發現和創造往往發端于合情推理。所以本節的命題的條件和結論的判斷要依賴于命題的證明過程，而這點恰恰是學生和教師容易忽略的地方，教材理應突出體現這個難點，這樣更能協調發展學生的推理能力。

（作者單位：江蘇省邳州市紅旗中學）