淺談韋達定理法在解析幾何解題中的應用

韋達定理是中學數(shù)學的一個重要內容，其知識脈絡貫穿于中學數(shù)學教學的始終。利用一元二次方程根與系數(shù)關系的韋達定理解題的方法叫韋達定理法。在平面解析幾何中，韋達定理法是解決其習題的主要技巧之一。在教學中通過一些典型例題的分析，可以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)慕忸}習慣和提高學生解決問題的能力。本文通過教學體會，著重探討了如何通過韋達定法理解決解析幾何習題中的有關問題。

一、利用韋達定理法解決關于弦中點的問題

在處理圓錐曲線中特殊點的軌跡方程時，若能靈活利用韋達定理法來求解會帶來很大的方便。

例1.過橢圓+=1內一定點（1，0）引弦，求該弦的中點的軌跡方程。

解：設過點（1，0）的弦所在的直線方程為y=k（x-1），弦的中點坐標為P（x0，y0），則得方程組：y=k（x-1）+=1消去y，并整理后得：

（9k2+4）x2-18k2x+9k2-36=0。

根據(jù)韋達定理可得x1+x2=

因此中點P的坐標為x0==，y0=k（x0-1）=

所以=-k，由此可得k=-。將k=-代入y0=k（x0-1）中得y0=-（x0-1），整理后得4x02+9y02-4x0=0

將x0、y0分別換成x、y，故所求軌跡方程為4x2+9y2-4x=0。

二、利用韋達定理法解決關于弦長的問題

弦長問題在解析幾何中是一個典型常見的問題，解決此類問題時韋達定理法常常起到關鍵的作用。

例2.頂點在原點，焦點在軸上的拋物線，被直線y=2x+1截得弦長為，求該拋物線的方程。

解：設拋物線的方程為y2=2px，將y=2x+1代入上拋物線方程中得（2x+1）2=2px，整理后得4x2+2（2-p）x+1=0。

∵△=[2（2-p）]2-4×4×1>0∴p<0或p>4。

設直線與拋物線的兩交點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），根據(jù)韋達定理有x1+x2=（p-2），x1x2=

∵│AB│==

==。

∴= 解得p1=-2，p2=6

故所求的拋物線方程為y2=-4x或y2=12x。

三、利用韋達定理法解決坐標關系式問題

在處理有關坐標關系的習題時，若能巧用韋達定理法來解題往往會取得事半功倍的效果。

例3.已知點M（x1，y1）在第一象限，過點M的兩個圓與兩坐標軸都相切，且它們的半徑分別為r1、r2，求證：r1#8226;r2=x12+y12。

證明：設過M的兩個圓分別為⊙O1、⊙O2。

∵兩圓均與坐標軸相切，則它們的方程分別為：

（x-r1）2+（y-r1）2=r12，（x-r2）2+（y-r2）2=r22

又∵點M（x1，y1）均在這兩圓上，

∴（x1-r1）2+（y1-r1）2=r12，（x1-r2）2+（y1-r2）2=r22

即r12-2（x1+y1）r1+x12+y12=0，r22-2（x1+y1）r2+x12+y12=0

由此可知，r1、r2是方程r2-2（x1+y1）r+x12+y12=0的兩個根。

于是根據(jù)韋達定理可得:r1#8226;r2=x12+y12。

四、利用韋達定理法解決直線垂直問題

對于解題過程中出現(xiàn)一元二次方程的情況，若能巧妙應用韋達定理法，會讓過程變得更簡潔。

例4.求證自點P（4，2）作圓x2+y2=10的兩條切線互相垂直。

證明：設切線方程是y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0。

∵圓心到切線的距離等于半徑，由點到直線的距離公式得=，整理后得3k2-8k-3=0，

∴該方程的兩根k1、k2即是兩切線的斜率。

由韋達定理得k1#8226;k2=-1。

所以兩切線互相垂直。

五、利用韋達定理法解決線段關系問題

線段關系問題在圓錐曲線習題中也是一種常見的題型，利用參數(shù)方程和韋達定理法相結合的方法求解可以起到化難為易，化繁為簡的良好效果。

例5.在拋物線y2=2px+p2（p>0）中，設有過原點且相互垂直的兩條直線，分別交曲線于A、B和C、D四點，問何時|AB|+|CD|為最小？

解：設直線AB的參數(shù)方程為x=tcosθy=tsinθ（t為參數(shù)）

直線CD的參數(shù)方程為x=-tsinθy=tcosθ（t為參數(shù)）

分別代入y2=2px+p2中，得t2sin2θ-2ptcosθ-p2=0，

t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0

則|AB|=，|CD|=，∴|AB|+|CD|=2p（+）=

當sin2θ=±1，即θ=或θ=時，（|AB|+|CD|）min=8p。

綜上所述，利用韋達定理可以實現(xiàn)設而不求、整體換元，從而實現(xiàn)解題的簡化運算。特別在解析幾何中研究直線和曲線的位置關系等問題時，韋達定理對于減少運算量，整體解決問題具有獨特的作用。因此在教學中我們要抓住韋達定理法這一解題工具，適時加強學生的解題意識，拓寬學生的解題思路。這樣不僅可以提高學生運算能力，還可增強思維的靈活性，從而提高學生的數(shù)學綜合能力。

【參考文獻】

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[2]翟連林.《平面解析幾何一題多解》.北京出版社.1996

[3]劉兼、黃翔.《數(shù)學新課程與數(shù)學學習》.高等教育出版社.2003

（作者單位：廣東省江門幼兒師范學校）