如何在微積分教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想

摘要：在課堂教學(xué)當(dāng)中引進(jìn)數(shù)學(xué)小模型，不但有助于提高數(shù)學(xué)課堂的趣味性和生動(dòng)性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)重要性的直觀認(rèn)識(shí)，真正從認(rèn)識(shí)當(dāng)中對(duì)其引起足夠的重視，從而為數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)的開展奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：微積分教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)，建模思想

1、引言

數(shù)學(xué)是大部分院校的一門必修課，尤其是數(shù)學(xué)當(dāng)中的微積分這一分支，更是必不可少，絕大多數(shù)專業(yè)都要學(xué)習(xí)。但長期以來，數(shù)學(xué)所留給人們的印象始終是“枯燥”、“無趣”的，經(jīng)常會(huì)使一些學(xué)生對(duì)其望而卻步，更不要是對(duì)其充滿探索的興趣了。但實(shí)際上，數(shù)學(xué)的思維方式是極為活躍的，需要保持高度集中的注意力以及思維的跳躍性和連貫性，一旦涉及其中，就會(huì)感受到數(shù)學(xué)本身所具有的意想不到的活力。這樣，對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，擺在面前的一項(xiàng)十分關(guān)鍵性的工作就是如何激發(fā)學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣以及積極深入探索的欲望，從而有機(jī)會(huì)感受到數(shù)學(xué)所獨(dú)有的魅力，筆者結(jié)合多年來在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中所總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，主張可以借用數(shù)學(xué)小模型的教學(xué)手段，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、思維方式的引導(dǎo)以及具體知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力的訓(xùn)練，營造出一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境和學(xué)習(xí)氛圍，以充分激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)微積分課程教育動(dòng)態(tài)進(jìn)行深入探討。

當(dāng)前，數(shù)學(xué)模型這一數(shù)學(xué)課程就倍受教育界推崇。數(shù)學(xué)理論知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問題的解決之間是通過數(shù)學(xué)建模這一紐帶相連的，所謂數(shù)學(xué)建模，就是采取包括數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、計(jì)算方法以及相關(guān)程序等數(shù)學(xué)語言對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行重新描述。數(shù)學(xué)建模受到社會(huì)各界的廣泛關(guān)注，一方面，數(shù)學(xué)建模以學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的應(yīng)用及駕馭能力為重點(diǎn)，通過對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維等方面的考察，有助于其樹立數(shù)學(xué)重要性的正確認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)獨(dú)特魅力；另一方面，數(shù)學(xué)建模還有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、借助計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)模型的能力，同時(shí)，學(xué)生搜集資料，撰寫論文的能力也會(huì)相應(yīng)提高。數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是解決實(shí)際問題，所以，在課堂教學(xué)中，可以試著適當(dāng)?shù)氖÷砸恍┓爆嵉淖C明過程，篩選適宜的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)。具體到微分教學(xué)中，就可以適當(dāng)?shù)囊M(jìn)數(shù)學(xué)建模步驟的介紹，下面，筆者將以“商品廣告模型”為例，闡述數(shù)學(xué)微積分教學(xué)課堂設(shè)計(jì)方案。

2、問題的提出

隨著社會(huì)的進(jìn)步，商品廣告在商品市場銷售方面所具有的重要意義逐漸引起了人們的普遍關(guān)注。然而如何了解廣告與銷售之間的關(guān)系?如何對(duì)不同時(shí)期的廣告效果加以評(píng)判?對(duì)于生產(chǎn)商以及廣告商而言，這些都是需要重點(diǎn)考慮的內(nèi)容，下面筆者將對(duì)獨(dú)家銷售廣告模型進(jìn)行探討。

3、模型假設(shè)

獨(dú)家銷售廣告模型的設(shè)計(jì)要建立在三個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)之上：假設(shè)一，商品銷售廣告會(huì)加快產(chǎn)品的銷售速度，但是商品廣告對(duì)商品銷售速度的影響是有限的，隨著商品在市場上趨于飽和，也就意味著銷售速度趨于極限值，一旦速度達(dá)到極限值，商品廣告對(duì)于產(chǎn)品的銷售速度將無濟(jì)于事，銷售速度呈現(xiàn)出下降趨勢；假設(shè)二，銷售速度突出特點(diǎn)之一就是自然衰減，所謂自然衰減指的是隨著商品銷售率的上升，商品銷售速度呈現(xiàn)下降趨勢；假設(shè)三，t時(shí)刻商品的銷售速度用s(t)表示; t時(shí)刻廣告水平用A(t)表示;M代表銷售的飽和水平，也就是市場對(duì)商品的最大容納能力，標(biāo)志著銷售速度的上極限;衰減因子，也就是隨時(shí)間增加廣告作用自然衰減的速度，是大于零的常數(shù)。

4、模型建立

筆者所探討的主要問題中涉及的是商品銷售速度與時(shí)間之間的關(guān)系，即：商品銷售速度的變化=增長-自然衰減

為了對(duì)商品銷售速度增長進(jìn)行準(zhǔn)確描述，根據(jù)模型假設(shè)一，不難得出，商品銷售速度的凈增長率r(s)應(yīng)該是商品銷售速度s(t)的減函數(shù)，并且存在飽和水平M，使得r(M)=0。為了進(jìn)行更加直觀的說明，設(shè)s(t)的線性減函數(shù)為r(s)，則：r(s)=p[1-]。p表示響應(yīng)函數(shù)，也就是廣告水平A(t)對(duì)商品銷售速s(t)度的影響能力，p為常數(shù)。于是，相應(yīng)的微分方程模型為：p[1-]A(t)-s(t)

5、模型討論

當(dāng)銷售水平較低的情況下，每增加單位廣告產(chǎn)生的效果，銷售速度s(t)接近極限速度M時(shí)增加廣告取得的效果，二者相比，前者的效果更顯著。

上面只是為說明問題而假設(shè)的一個(gè)例子，在教學(xué)過程中，可以根據(jù)講解的具體內(nèi)容適當(dāng)?shù)囊M(jìn)一些小模型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行較為深入的分析，例如，在講解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)定理的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，就可以相應(yīng)的介紹一些數(shù)學(xué)模型，以使看似抽象復(fù)雜的問題更加容易被學(xué)生理解。通過解決問題的講解，根據(jù)課本中相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，可以使學(xué)生對(duì)于新數(shù)學(xué)概念接受變得更加輕松。社會(huì)在進(jìn)步，時(shí)代在發(fā)展，在素質(zhì)教育備受關(guān)注的當(dāng)今，作為數(shù)學(xué)老師，有責(zé)任也有義務(wù)對(duì)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)方式開展深入的探討和研究。

例如在微積分中我們常常會(huì)用到評(píng)價(jià)模型，教師可以舉例來說明情況，由于我們運(yùn)用的主要是專家的隱性知識(shí)對(duì)系統(tǒng)要素進(jìn)行相對(duì)重要性判斷，不同的評(píng)審人員對(duì)不同影響因素的度量值是有差異的，為了得到各個(gè)評(píng)審人員所給出的W的相似性和關(guān)聯(lián)性，我們對(duì)其中的相似的程度進(jìn)行矩陣計(jì)算，設(shè)相似系數(shù)為R，多層次之間的個(gè)別相似值分別為Ri和Rj，則Ri與Rj組成的相似系數(shù)之間的矩陣為：

（4.4），其計(jì)算的公式為：

（4.5），從式（4.4）和式（4.5）得到：Rij為第i位專家的意見與最后計(jì)算出的權(quán)重結(jié)果之間的相關(guān)程度，Rij越大，就表示其相關(guān)系數(shù)越大，很明顯得：Rij=1，并且Rij=Rji。

雖然不同的項(xiàng)目其影響因素的層次并不相同，但是由于進(jìn)行估計(jì)的矩陣模型是相似的并且原理都是一致的，因此其輸出的評(píng)價(jià)集合都是 ，

在前面步驟的基礎(chǔ)上，得到評(píng)估與分值之間的模糊評(píng)價(jià)模型： 。

由式得到綜合評(píng)判的集合，設(shè)為J， ，可以推出：

由此可以對(duì)建設(shè)項(xiàng)目的影響因素進(jìn)行確定：

6、其他說明

首先，講授以及實(shí)踐的學(xué)時(shí)的劃分。在微積分教學(xué)引子的課程當(dāng)中，可以向?qū)W生進(jìn)行大致的課時(shí)安排，即在學(xué)完相關(guān)課時(shí)之后可以對(duì)現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的實(shí)際問題進(jìn)行解決，當(dāng)微積分方程基本理論知識(shí)大致講解完畢之后，則可以著手引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解決實(shí)際問題相關(guān)能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，講授以及實(shí)踐具體課時(shí)劃分的最佳方案是：講授課時(shí)占一到兩個(gè)學(xué)時(shí)，最好用一個(gè)學(xué)時(shí)主要針對(duì)學(xué)生所進(jìn)行的相關(guān)練習(xí)以及教師所布置的課后作業(yè)進(jìn)行較為詳細(xì)和深入的講解和點(diǎn)評(píng)，并注意在進(jìn)行講解時(shí)要突出重點(diǎn)，詳略得當(dāng)。

其次，教師以及學(xué)生對(duì)在微積分教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的放映。當(dāng)前在微積分教學(xué)單元中引進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想還是處于試點(diǎn)階段，從當(dāng)前的試點(diǎn)實(shí)際情況來看，將數(shù)學(xué)建模思想引入到微積分教學(xué)單元取得了令人滿意的效果，具有極大的實(shí)際應(yīng)用及進(jìn)一步推廣的價(jià)值。根據(jù)試點(diǎn)的實(shí)際情況，教師以及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于微積分教學(xué)單元的做法的反映主要體現(xiàn)在以下幾方面：第一，無論是教師還是學(xué)生都對(duì)此表現(xiàn)出極大才興趣和參與積極性；第二，絕大多數(shù)教師和學(xué)生表示該種教學(xué)實(shí)踐探索是可以接受的；第三，對(duì)于將數(shù)學(xué)建模思想引入到微積分教學(xué)單元的探索中教師所布置的相關(guān)練習(xí)以及課后作業(yè)，除此之外，還有個(gè)別學(xué)生在按時(shí)按質(zhì)按量完成相關(guān)的練習(xí)和課后作業(yè)的基礎(chǔ)前提下，還能夠與教師針對(duì)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中所遇到的問題進(jìn)行交流和討論；第四，通過該試點(diǎn)，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的重要性都有了更加深刻的認(rèn)識(shí)，切身感受到了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活問題解決當(dāng)中的極大的價(jià)值，這就在很大程度上增加了學(xué)生進(jìn)行微積分學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

最后，相關(guān)的體會(huì)及完善建議。將數(shù)學(xué)建模思想引入到微積分教學(xué)單元尚處于試點(diǎn)階段，比較常用的基本方式是，教師先進(jìn)行建模任務(wù)的布置，之后進(jìn)行相應(yīng)的點(diǎn)評(píng)和示范，此種做法具有背景清晰確定、與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系十分密切等特點(diǎn)，盡管存在多種建模角度，但在具體的研究方法方面卻具有較大的相似性。對(duì)于初次接觸的學(xué)生而言，比較容易接受和掌握，并且自從將那些與學(xué)生的實(shí)際生活具有密切聯(lián)系的問題引人到建模當(dāng)中后，廣大的教師及學(xué)生表現(xiàn)出極大的興趣。微分方程是數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，一定要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際知識(shí)結(jié)構(gòu)情況以及所具有的學(xué)習(xí)能力，安排一個(gè)適宜的數(shù)學(xué)建模融入的教學(xué)單元，如果時(shí)間比較緊張，制作出PPT，在一邊示范的同時(shí)加以講解的方法是個(gè)不錯(cuò)的選擇。

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作者簡介：帥鯤，男，（1982-10-），漢族，四川成都人，研究方向：偏微分方程