對單擺振動周期公式的討論
2011-12-31 00:00:00陳小波
中學教學參考·理科版 2011年10期
單擺做簡諧運動時，周期公式為T=2πLg，此公式不僅適用于基本單擺裝置，也適用于其他較為復雜情況下的簡諧運動，此時“L”應為等效擺長，“g”為等效重力加速度。靈活運用等效擺長和等效重力加速度，能給我們處理問題帶來很多方便。在教學中，教師要注重知識的拓展和延伸，使學生能從本質上把握單擺模型，真正達到學以致用。
一、關于等效擺長“L”
1.單線擺：最簡單、最基本的單擺模型
圖1
【例1】如圖1有一單擺，擺球為一空心球殼，內裝滿水，在擺球正下方有一小孔，在擺動過程中水不斷從里面流出，則此單擺的周期將如何變化？
分析：本題中擺球不能看成質點，擺長是從懸點到擺球重心之間的距離，當水流出時，擺球的重心下移，等效擺長變長，周期變大，
但當水全部流出后，重心又上移到球心位置，故周期先
變大后變小。
2.復線單擺：懸線不止一根的變形單擺
圖2
【例2】如圖2為一雙線擺，可視為質點的擺球由兩根長度均為l的細線懸掛在天花板上，且懸線與水平方向的夾角為α，求擺球垂直于紙面做簡諧振動的周期。如果左側擺線長度l′與右側不相等，且l′>lsinα，結果又怎樣？
分析：本題擺長l是擺球擺動的圓弧所對應的圓心到擺球重心的距離。無論左右兩側擺線是否相等，只要l′>lsinα，單擺等效擺長L=lsinα，故周期T=2πlsinα/g。
3.組合單擺：指全振動的一個周期內由幾個不同擺長的單擺復合而成
【例3】
如圖3，一擺線長為L的單擺，在離懸點O正下方h處釘一小釘。試求此擺做簡諧運動的周期。
圖3
分析：此單擺在振動過程中，由于小釘的阻擋，它的第二和第三個1/4周期內的等效擺長為l-h，在第一和第四個1/4周期內的等效擺長仍為l，故該擺在擺長為l-h和l的情況下各做1/2周期的簡諧運動，此復合單擺的周期T=πl/g+π(l-h)/g。
4.比擬單擺：指形狀不像單擺而實質卻是單擺的裝置
圖4
【例4】如圖4為一半徑為R的光滑圓弧槽，現將一半徑為r的小球稍稍從偏離最低點的位置釋放，求往復運動的周期。
分析：單擺的擺球運動時繩子只是一種約束，即提供一個指向圓心方向的拉力，這種約束也可以由圓弧來限定，可把該裝置等效為懸點在球心O，擺長為R-r的單擺。由于擺角很小，所以小球的振動可認為是簡諧運動，其運動周期為T=2π(R-r)/g。
二、關于等效重力加速度“g′”
1.g與單擺所處的空間位置有關
由GMm/R2＝mg可知g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g＇代入公式進行計算。
【例5】有一宇航員在某一星球表面測出一擺長為l的單擺的振動周期為T，已知該星球的半徑為R，那么該星球的平均密度為多少？
分析：測出單擺的周期T，便可以算出該星球表面的重力加速度g=4π2l/T2，由mg=GMm/R2和M=4ρπR3/3，可得ρ=3πl/GRT2。
2.g與單擺系統的運動狀態有關
通常情況下g等于單擺靜止在平衡位置時的擺線張力與擺球質量之比值。但在非慣性系中，如類似超重、失重等較復雜的情況下，單擺在平衡位置時所受拉力大小與其質量之比為等效重力加速度，并不等于當地的重力加速度大小。
【例6】求單擺在以下幾種狀態下的周期：
①在正常運轉的人造地球衛星中；②在以加速度a加速上升的升降機中；③在以加速度a加速下降的升降機中；④如圖5，單擺隨物體在傾角為θ的光滑斜面下滑時。
圖5
分析：顯然，①中擺球處于完全失重狀態，等效重力加速度為零，故周期為無窮大，即單擺不會振動；②中單擺處于超重狀態，其等效重力加速度g＇＝g＋a，故T=2πL/(g+a)；③中單擺處于失重狀態，g＇=g-a，T=2πL/(g-a)，當a=g時，即升降機自由下落時，單擺完全失重，情況與①相同；④中單擺平衡時，擺線與斜面垂直，g＇=gcosθ，T=2πL/gcosθ。
3.g與單擺所處的物理環境有關
如帶電小球做成的單擺處在電場、磁場等環境中，等效重力加速度g＇也不相同。
圖6
【例7】如圖6，一長為l的細繩，上端固定，下端拴一質量為m的帶正電小球，現加一水平向右的勻強電場E和垂直紙面向里的勻強磁場B，當小球平衡時，細線與豎直方向成α角，若將小球拉離平衡位置一很小的角度，求小球經多長時間再次回到平衡位置?
分析：擺球在平衡位置周圍往復運動時，除了重力、拉力和電場力外，還將受到洛侖茲力作用，而洛侖茲力的方向總是沿著擺線方向，不影響擺球的回復力，故不影響擺球的周期，在平衡位置時，擺球所受到的外力中除去所有的始終沿著擺線方向的力，剩余的各力沿著擺線方向的合力F回＝mg/cosα，g′=F回/m=g/cosα。因此，單擺的周期是T=2πLcosα/g。本題若在懸點處再固定一個帶正電的小球，同樣不會影響小球的擺動周期。
從以上幾例可以看出，一些問題看起來很復雜，有些運動模型粗看起來并不是單擺，解題中若能抓住單擺的本質特征，通過類比等方法可將其等效為單擺，再通過等效擺長和等效重力加速度求它的振動周期，便可使得問題的解決變得十分簡便。
(責任編輯黃春香）
