錯誤資源——數學課堂的“四促進”
2011-12-31 00:00:00李素玲
中學教學參考·理科版 2011年10期
“人非圣賢，孰能無過”.在數學課堂教學中，由于種種原因，學生難免會出現很多始料未及的錯誤.教師要站在新的視角，用資源的眼光看待學生學習中的錯誤，在錯誤上做文章，就可變“廢”為“寶”，正確利用“錯誤資源”，就可促進教學，讓錯誤資源為課堂教學服務.
一、“錯誤資源”，促進學生增強自信
在課堂上，學生解題總會出現這樣那樣的錯誤，其原因是多方面的.而“錯解”往往有它合理的一面，它多是學生在新舊知識之間的符號、表象或概念、命題之間的聯系上出現了編碼錯誤，或是產生負遷移，這是正常現象，實際上還帶有普遍性，因而教師可靈活地將“錯解”作為很好的教學資源.
【例1】在一次初三數學復習課中，復習“分式的運算”時，我出了這樣一道計算題：
2a2-1
-1a-1，并
請黃磊和李勇兩位同學上黑板演算，其中黃磊的解法是：
解：2a2-1
-1a-1
=2(a+1)(a-1)
-1a-1
=2－（a+1）
=1－a.
顯然，解錯了.當我點評黃磊同學的解法時，引來了一些學生的嘲笑.我問：“錯在哪兒？”學生回答：“‘張冠李戴’，把分式方程變形（去分母）搬到解計算題上，把分式的化簡當作分式方程，乘以（a+1）（a-1）進行去分母，把分母丟了.”于是我來一個“順水推舟，將錯就錯”，啟發學生：剛才這位同學把分式的化簡當作分式方程來解，雖然解法錯了，但給我們一個啟示，若能將該題用去掉分母的方法來解，其“解法”確實簡潔明快，那么我們能否考慮利用方程來解它呢？只見黃磊的頭慢慢地抬了起來.
解：設2a2-1
-1a-1=x，
2(a+1)(a-1)
-1a-1=x，
去分母，得：
2-（a+1）=（a+1）（a-1）x
1-a=（a+1）（a-1）x
解得：x=-1a+1.
學生：真妙！
我說：確實黃磊的解法是錯誤的，但他的這種用方程的思想解“分式計算題”，卻是一種尋求簡便的思想，是自己思維的真實展示，給了我們有益的啟示.
這時黃磊笑了，臉上充滿了自信的笑容.
令我沒有想到的是，往后的數學課黃磊都是昂首挺胸，信心十足的，課余對數學也是“情有獨鐘”，上課更是大膽發言，對有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨到見解.
由此可見，教學中，我們要以一顆平常心看待錯誤，善于從學生的錯解中找出其合理的成分，研究它與正確方法之間的聯系，這既體現了數學的嚴謹性，又表達了對學生人格的尊重，運用“錯誤資源”，幫助學生找回了學好數學的自信.
二、“錯誤資源”，促進學生主動參與
教學中，要使學生成為課堂上真正的主人是教師的目標.要造就學生成為真正的主人，不是教師代替學生的主體地位，而是為學生創造各種成為“學習的主人”的條件.布魯納說“學生的錯誤都是有價值的”，教師不僅應該引導學生在疑惑、反思的境界中“去粗取精，去偽存真”，讓學生去發現錯誤，還要適當地設置一些有一定思維價值、能激發學生驚奇感的問題，讓學生在辨析錯誤的同時激發學生探索知識的興趣，并帶著如何解決這些問題的強烈愿望去遷移知識、分析思考，加深對知識本質的理解，從而合理利用“錯誤資源”，促進學生增強對學習的自主參與意識.
【例2】在探索分式方程“增根”產生的原因之后，我出示了一解方程的錯解：x2=3x，等式兩邊同時除以x得x=3.對于這個結果學生很疑惑，他們發現這比他們用常規解法得出的解少了一個根——x=0，這極大地提高了學生的學習興趣，并產生了認知沖突，從而給學生創造一個尋找“錯誤”的機會，學生很自覺地去尋找此解法的錯誤原因.馬上就有學生站起來回答說：方程兩邊不能都除以x，因為只有確保x不為0時才可以使用，而此題x=0恰好是這個方程的一個根，這就出現了“失根”的情況.我又緊接著出示了另一解方程的錯解：x=6x，兩邊都除以x得：1=6，此題同樣因為錯誤地運用了等式性質2，致使了荒唐的結果.
這樣的教學將課堂的主動權交給學生，讓學生在主動參與的過程中辨析錯誤，發現了知識間的聯系點，鞏固了等式性質2的應用，相信學生在今后的學習中碰到應用等式性質2的時候會“小心行事”，避免重蹈覆轍.
三、“錯誤資源”，促進學生探討交流
課堂上，教師要努力營造寬容的課堂氛圍，與學生建立民主平等、和諧融洽的師生關系，讓學生敢于暴露自己的錯誤思維，從而促進學生針對某一錯誤認識進行體驗感悟、探討交流.
【例3】學習了《直線與圓的位置關系》后，我發現作業本上的一個題目很多學生都做錯了．
題目：如右圖，點A在⊙O上，sinB=1/2，能否判定直線AB和⊙O相切？請說明理由．顯示題目后，仍然有很多數學生說“相切”．
生1：∵sinB=1/2，∴△OAB是直角三角形．
即OA⊥AB，∴AB是⊙O的切線．
師：sinB=1/2，就能說明△OAB是直角三角形嗎？
生2（理直氣壯地說）：∵sinB=1/2，
∴∠B=30°．∵∠B=30°，∴∠O=60°.
∴∠OAB=90°.
師：∠B=30°，為什么∠O=60°呢？
生3（很得意地說）：∵在直角三角形中，∠B=30°，得出∠O=60°
師：哪里說是直角三角形呢？
若說是直角三角形了，還需要“∵∠B=30°，∠O=60°，∴∠OAB=90°”嗎？
生4：這很簡單．∵sinB=1/2，銳角三角函數值只能在直角三角形中求出來的，
∴△OAB是直角三角形．
師：對啊！銳角三角函數值只能在直角三角形中求出來的．
現在是已知∠B的正弦值了，還用求嗎？
生5（急不可待）：∵sinB=1/2，已知直角邊等于斜邊的一半了，怎么不會是直角三角形呢？（這時大多數學生都笑出聲來了）
師：怎么了？
生6：還不知道是直角三角形又默認是直角三角形了．
師：對呀！那么“sinB=1/2”只說明什么呢？
生7：只說明了∠B=30°．其他的角是多少度還不能說明．
案例中，學生對銳角三角函數的概念還比較模糊，由于受先前經驗的影響，想當然得出三角形OAB是直角三角形．當學生出現錯誤時，教師給學生足夠的時間和機會去發現，去探討交流，去糾正錯誤，從而使學生的知識主動建構，形成了正確的知識．數學是一門邏輯性、抽象性很強的學科，學生出錯是不可避免的．教師要尊重、理解、寬容出錯的學生，學生在課堂上才會沒有精神壓力，從而心情舒暢、情緒飽滿地進行探討交流．在這種情況下，學生的思維最活躍，表現能力最強.
四、“錯誤資源”，促進學生拓展創新
數學家波利亞說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試錯的方法.”課堂上，教師要善于研究學生的認知心理，預測學生可能出現的認知錯誤，來個“將計就計”，引導學生不斷地通過集體、個人的各種探究，從而發現認知錯誤背后的價值，盡快走出誤區，掌握技能、陶冶情操、拓展思維、激發創新，為學習注入不竭的動力.
【例4】求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的個位數字．
許多學生拿到題目后馬上用計算器進行計算，結果卻是計算器顯示錯誤（用科學記數法表示），得不到正確答案.而有一名學生在短暫的幾秒鐘后回答：結果等于6吧？那場景就如同高斯小時候計算“1+2+3+…+100＝5050”那樣讓人大吃一驚！在許多學生的笑聲中（認為該同學不可能這么快做出來，答案肯定不對），教師卻說：“這個結果是正確的！有請這位同學說出充分的理由來.”教師肯定的贊許激起了這位學生的熱情講解，一個妙法誕生了：在原式的前面添上（2-1），則原式變為（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）+1，利用平方差公式計算其結果是264，顯然其個位數字為6.解法簡單，結果也一目了然，教室里掌聲剛要響起，又有一個男同學說“我這個方法更簡單，用一休哥的感覺，不用動筆計算，一看就出結果.”“快說！”其他同學激動地喊著，作為教師的我也急了，我還真不知另有方法，以為他胡說（他平日表現并不突出）.該男同學說：“其實，我是看到同桌在用計算器計算時候，發現它們乘積個位數字總是5，再加上1就等于6.”“哎，這么簡單呢！”“我怎么沒發現呢？”……教室里掌聲真正響了起來.
教師有意讓學生利用計算器這一學習工具，引起全班的強烈反響，制造了學生的思維沖突，誘發了學生的靈感，從而拓展了學生的思維，激發學生不斷創新.
總之，在數學課堂上，錯誤始終伴隨著教學.教師要巧妙地把錯誤作為一種智力發展的教育資源，機智靈活地加于利用，這樣“錯誤資源”就能促進教學，為數學課堂添加一道亮麗的風景線.
參考文獻
［1］周振芳.“錯誤”也是一種資源［J］.中小學教材教學，2004（3）.
［2］.鄭強編著.初中數學課堂教學的55個細節［M］.成都：四川教育出版社，2006.
(責任編輯金鈴）
